人教版高中物理新教材同步講義必修第二冊 第7章 3　萬有引力理論的成就（含解析）

3萬有引力理論的成就[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解萬有引力定律在天文學(xué)中的重要應(yīng)用.2.了解“稱量”地球的質(zhì)量、計算太陽的質(zhì)量的基本思路，會用萬有引力定律計算天體的質(zhì)量，進(jìn)而計算天體密度．一、“稱量”地球的質(zhì)量1．思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的引力．2．關(guān)系式：mg＝Geq\f(mm地,R2).3．結(jié)果：m地＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質(zhì)量．4．推廣：若知道某星球表面的重力加速度和星球半徑，可計算出該星球的質(zhì)量．二、計算天體的質(zhì)量1．思路：質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力．2．關(guān)系式：eq\f(Gmm太,r2)＝meq\f(4π2,T2)r.3．結(jié)論：m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G、行星繞太陽運動的周期T和軌道半徑r就可以計算出太陽的質(zhì)量．4．推廣：若已知衛(wèi)星繞行星運動的周期和衛(wèi)星與行星之間的距離，可計算出行星的質(zhì)量．三、發(fā)現(xiàn)未知天體海王星的發(fā)現(xiàn)：英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國年輕的天文學(xué)家勒維耶根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道.1846年9月23日，德國的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星．四、預(yù)言哈雷彗星回歸英國天文學(xué)家哈雷預(yù)言哈雷彗星的回歸周期約為76年．1．判斷下列說法的正誤．(1)地球表面的物體的重力一定等于地球?qū)λ娜f有引力．(×)(2)若知道某行星的自轉(zhuǎn)周期和行星繞太陽做圓周運動的軌道半徑，則可以求出太陽的質(zhì)量．(×)(3)已知地球繞太陽轉(zhuǎn)動的周期和軌道半徑，可以求出地球的質(zhì)量．(×)(4)海王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性．(√)(5)海王星的發(fā)現(xiàn)和哈雷彗星的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位．(√)2．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半徑R＝6.4×106m，則可知地球的質(zhì)量約為________．(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)答案6×1024kg一、天體質(zhì)量的計算導(dǎo)學(xué)探究1．卡文迪什在實驗室測出了引力常量G的值，他稱自己是“可以稱量地球重量的人”．(1)他“稱量”的依據(jù)是什么？(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，引力常量G，求地球的質(zhì)量．答案(1)若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，G值的確定使萬有引力定律具有了實際的計算意義．(2)由mg＝Geq\f(Mm,R2)得，M＝eq\f(gR2,G).2．如果知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期T，地球與太陽中心間距r，引力常量G，能求出太陽的質(zhì)量嗎？答案由eq\f(Gm地m太,r2)＝m地eq\f(4π2,T2)r知m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，可以求出太陽的質(zhì)量．知識深化計算中心天體質(zhì)量的兩種方法1．重力加速度法(1)已知中心天體的半徑R和中心天體表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于中心天體對物體的引力，有mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得中心天體質(zhì)量為M＝eq\f(gR2,G).(2)說明：g為天體表面的重力加速度．未知星球表面的重力加速度通常這樣給出：讓小球做自由落體、平拋、豎直上拋等運動，從而計算出該星球表面的重力加速度．2．“衛(wèi)星”環(huán)繞法(1)將天體的運動近似看成勻速圓周運動，其所需的向心力都來自萬有引力，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2).(2)這種方法只能求中心天體質(zhì)量，不能求環(huán)繞星體質(zhì)量．例1(多選)一衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為r，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期為T，已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則地球的質(zhì)量可表示為()A.eq\f(4π2r3,GT2)B.eq\f(4π2R3,GT2)C.eq\f(gR2,G)D.eq\f(gr2,G)答案AC解析根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得，M＝eq\f(4π2r3,GT2)，選項A正確，B錯誤；在地球的表面附近有mg＝Geq\f(Mm,R2)，則M＝eq\f(gR2,G)，選項C正確，D錯誤．例2(2021·齊齊哈爾市第八中學(xué)高二開學(xué)考試)“天問一號”是中國首個火星探測器，其名稱來源于我國著名愛國主義詩人屈原的長詩《天問》.2021年2月我國首次火星探測任務(wù)“天問一號”探測器實施近火捕獲制動，成功實現(xiàn)環(huán)繞火星運動，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星．在“天問一號”環(huán)繞火星做勻速圓周運動時，周期為T，軌道半徑為r，已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星的自轉(zhuǎn)．求：(1)“天問一號”環(huán)繞火星運動的線速度的大小v；(2)火星的質(zhì)量M；(3)火星表面的重力加速度g的大?。鸢?1)eq\f(2πr,T)(2)eq\f(4π2r3,GT2)(3)eq\f(4π2r3,T2R2)解析(1)由題意可得v＝eq\f(2πr,T)(2)設(shè)“天問一號”的質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力有Geq\f(mM,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得M＝eq\f(4π2r3,GT2)(3)忽略火星自轉(zhuǎn)，火星表面質(zhì)量為m′的物體所受引力等于重力m′g＝eq\f(Gm′M,R2)得g＝eq\f(4π2r3,T2R2).二、天體密度的計算若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)(1)將M＝eq\f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq\f(3g,4πGR).(2)將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).(3)當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).例3假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，已知引力常量為G，忽略該天體自轉(zhuǎn)．(1)若衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得衛(wèi)星在該處做圓周運動的周期為T1，則該天體的密度是多少？(2)若衛(wèi)星貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T2，則該天體的密度是多少？答案(1)eq\f(3πR＋h3,GT12R3)(2)eq\f(3π,GT22)解析設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M.(1)衛(wèi)星距天體表面的高度為h時，Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T12)(R＋h)，則有M＝eq\f(4π2R＋h3,GT12)天體的體積為V＝eq\f(4,3)πR3故該天體的密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT12·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT12R3)(2)衛(wèi)星貼近天體表面運動時有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T22)R，則有M＝eq\f(4π2R3,GT22)故ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R3,GT22·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT22).例4(多選)(2021·東北師大附中高一月考)已知月球半徑為R，地心與月球中心之間的距離為r，月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為T1，嫦娥四號探測器繞月球表面的運行周期為T2，引力常量為G，由以上條件可知()A．地球質(zhì)量為eq\f(4π2r3,GT12) B．月球質(zhì)量為eq\f(4π2r3,GT12)C．地球的密度為eq\f(3π,GT12) D．月球的密度為eq\f(3π,GT22)答案AD解析月球繞地球公轉(zhuǎn)，由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T12)r，解得地球的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT12)，A正確，B錯誤；地球的半徑未知，所以無法求解地球的密度，C錯誤；探測器繞月球表面運行，由萬有引力提供向心力得Geq\f(mm0,R2)＝m0eq\f(4π2,T22)R，解得月球的質(zhì)量m＝eq\f(4π2R3,GT22)，則月球的密度ρ＝eq\f(m,V)＝eq\f(\f(4π2R3,GT22),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT22)，D正確．考點一天體質(zhì)量的計算1．若測出月球表面的重力加速度g、月球的半徑R和月球繞地球的轉(zhuǎn)動周期T，已知引力常量為G，則關(guān)于月球質(zhì)量m月的表達(dá)式正確的是()A．m月＝eq\f(gR2,G) B．m月＝eq\f(gR2,T)C．m月＝eq\f(4π2R3,GT) D．m月＝eq\f(T2R3,4π2G)答案A2．2021年4月，我國空間站的“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運行．若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和地球半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地球運行周期C．核心艙繞地球運行的角速度和半徑D．核心艙繞地球運行的周期和距地高度答案C解析核心艙做圓周運動的向心力由地球的萬有引力提供，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r可得M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(ω2r3,G)＝eq\f(4π2r3,GT2)，可知已知核心艙的質(zhì)量和地球半徑、已知核心艙的質(zhì)量和繞地球運行周期以及已知核心艙繞地球運行的周期和距地高度，都不能計算出地球的質(zhì)量；若已知核心艙繞地球運行的角速度和半徑可計算出地球的質(zhì)量．故選C.3．(2021·紹興市諸暨中學(xué)高一期中)2019年1月3日，我國探月工程“嫦娥四號”探測器成功著陸月球背面的預(yù)選著陸區(qū)．在著陸之前，“嫦娥四號”探測器在距月球表面高度約為262km的圓形停泊軌道上，繞月飛行一周的時間約為8000s，已知月球半徑約為1738km，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此可計算出月球的質(zhì)量約為()A．7.4×1022kg B．6×1024kgC．6.4×1023kg D．2×1030kg答案A解析根據(jù)Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，解得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，代入數(shù)據(jù)解得M≈7.4×1022kg，故選A.4．已知金星和地球的半徑分別為R1、R2，金星和地球表面的重力加速度分別為g1、g2，則金星與地球的質(zhì)量之比為()A.eq\f(g1R12,g2R22)B.eq\f(g1R22,g2R12)C.eq\f(g2R12,g1R22)D.eq\f(g2R22,g1R12)答案A解析根據(jù)星球表面物體的重力近似等于物體受到的萬有引力有mg＝Geq\f(Mm,R2)，得M＝eq\f(gR2,G)，故eq\f(M金,M地)＝eq\f(g1R12,g2R22)，故選A.5．(2022·松原市模擬)2021年2月，我國首個火星探測器“天問一號”實現(xiàn)了對火星的環(huán)繞．若“天問一號”繞火星做勻速圓周運動的線速度大小為v，周期為T，引力常量為G，則火星的質(zhì)量為()A.eq\f(v3T,2πG)B.eq\f(v2T2,2πG)C.eq\f(vT3,2πG)D.eq\f(v3T,4πG)答案A解析“天問一號”繞火星做勻速圓周運動的線速度大小為v，周期為T，則有T＝eq\f(2πr,v)，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，聯(lián)立解得火星的質(zhì)量M＝eq\f(v3T,2πG)，故選A.考點二天體密度的計算6．地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，可估算地球的平均密度為()A.eq\f(3g,4πRG)B.eq\f(3g,4πR2G)C.eq\f(g,RG)D.eq\f(g,RG2)答案A解析忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，對處于地球表面的物體，有mg＝Geq\f(Mm,R2)，則M＝eq\f(gR2,G)，又V＝eq\f(4,3)πR3，可得地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3g,4πRG)，故選A.7．(2020·全國卷Ⅱ)若一均勻球形星體的密度為ρ，引力常量為G，則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運動的衛(wèi)星的周期是()A.eq\r(\f(3π,Gρ))B.eq\r(\f(4π,Gρ))C.eq\r(\f(1,3πGρ))D.eq\r(\f(1,4πGρ))答案A解析根據(jù)衛(wèi)星受到的萬有引力提供其做圓周運動的向心力可得Geq\f(Mm,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R，球形星體質(zhì)量可表示為：M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，由以上兩式可得：T＝eq\r(\f(3π,Gρ))，故選A.8．若月球繞地球的運動可近似看作勻速圓周運動，并且已知月球繞地球運動的軌道半徑r、繞地球運動的周期T，引力常量為G，由此可以知道()A．月球的質(zhì)量m＝eq\f(π2r3,GT2)B．地球的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)C．月球的平均密度ρ＝eq\f(3π,GT2)D．地球的平均密度ρ′＝eq\f(3π,GT2)答案B解析根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(mM,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，可得地球的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，只能求出中心天體的質(zhì)量，故A錯誤，B正確；由于不清楚月球和地球的半徑大小，所以無法求出它們的平均密度，故C、D錯誤．9．為研究太陽系內(nèi)行星的運動，需要知道太陽的質(zhì)量，已知地球半徑為R，地球質(zhì)量為m，太陽與地球中心間距為r，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為T.則太陽的質(zhì)量為(忽略地球自轉(zhuǎn))()A.eq\f(4π2r3,T2R2g)B.eq\f(T2R2g,4π2mr3)C.eq\f(4π2mgr2,R3T2)D.eq\f(4π2mr3,T2R2g)答案D解析由萬有引力定律和向心力公式得eq\f(GMm,r2)＝eq\f(m4π2,T2)r，假設(shè)地球表面有一個質(zhì)量為m′的物體，忽略地球自轉(zhuǎn)，根據(jù)地球表面的物體受到的萬有引力等于重力，有eq\f(Gmm′,R2)＝m′g.聯(lián)立兩式得M＝eq\f(4π2mr3,T2R2g)，故選D.10．設(shè)在地球上和在某未知天體上，以相同的初速度豎直上拋一物體，物體上升的最大高度比為k(均不計阻力)，且已知地球和該天體的半徑比也為k，則地球質(zhì)量與該天體的質(zhì)量比為()A．1B．kC．k2D.eq\f(1,k)答案B解析在地球和天體的表面附近，物體的重力近似等于物體受到的萬有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，豎直上拋時上升的最大高度H＝eq\f(v02,2g)，聯(lián)立解得M＝eq\f(v02R2,2HG)，則M地∶M天＝(eq\f(R地,R天))2·eq\f(H天,H地)＝k，故選B.11．若地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的81倍，地球表面重力加速度為月球表面重力加速度的6倍．則地球和月球的密度之比為()A.eq\f(2,27)B.eq\f(2\r(6),27)C.eq\f(2\r(6),9)D.eq\f(2\r(6),3)答案D解析根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得R＝eq\r(\f(GM,g))，可得eq\f(R地,R月)＝eq\r(\f(M地,M月)·\f(g月,g地))＝eq\r(81×\f(1,6))＝eq\f(9,\r(6))ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3M,4πR3)＝eq\f(3g,4πGR)，可得eq\f(ρ地,ρ月)＝eq\f(g地,g月)·eq\f(R月,R地)＝6×eq\f(\r(6),9)＝eq\f(2\r(6),3)，故選D.12．若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同