人教版高中物理新教材同步講義 必修第一冊(cè)第3章　專題強(qiáng)化　動(dòng)態(tài)平衡問題（含解析）

專題強(qiáng)化動(dòng)態(tài)平衡問題[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.掌握建構(gòu)矢量平行四邊形或三角形的方法，并能用圖解法分析動(dòng)態(tài)平衡問題(重點(diǎn))。2.會(huì)用解析法、相似三角形法解決動(dòng)態(tài)平衡問題(重難點(diǎn))。一、用解析法解決動(dòng)態(tài)平衡問題如圖所示，A、B為同一水平線上的兩個(gè)繞繩裝置，轉(zhuǎn)動(dòng)A、B改變繩的長(zhǎng)度，使帶有輕質(zhì)光滑掛鉤的物體C緩慢下降。當(dāng)物體C緩慢下降過程中，兩繩拉力之間的夾角如何變化？拉力大小如何變化？答案設(shè)物體C重為G，兩繩中拉力為F1、F2。物體C緩慢下降過程中，兩繩夾角θ將變小，由平衡條件和幾何關(guān)系可得2F1coseq\f(θ,2)＝G解得F1＝F2＝eq\f(G,2cos\f(θ,2))G保持不變，兩繩夾角θ變小，則coseq\f(θ,2)變大，故繩上的拉力將變小。1．動(dòng)態(tài)平衡：平衡問題中的一部分力是變力，是動(dòng)態(tài)力，力的大小或方向緩慢變化，所以叫動(dòng)態(tài)平衡，這是共點(diǎn)力平衡問題中的一類題型。2．解析法(數(shù)學(xué)方法)步驟：(1)對(duì)物體受力分析。(2)列平衡方程寫出各個(gè)力之間關(guān)系的解析式。(3)根據(jù)題目中已知力或夾角的變化，應(yīng)用數(shù)學(xué)中的函數(shù)知識(shí)判斷未知力的變化。例1如圖所示，光滑的四分之一圓弧軌道AB固定在豎直平面內(nèi)，A端與水平面相切。穿在軌道上的小球在拉力F作用下，緩慢地由A向B運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)始終沿軌道的切線方向，軌道對(duì)球的彈力為FN。在運(yùn)動(dòng)過程中()A．F增大，F(xiàn)N增大 B．F減小，F(xiàn)N減小C．F增大，F(xiàn)N減小 D．F減小，F(xiàn)N增大答案C解析對(duì)小球進(jìn)行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如圖所示。根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件有：FN＝Gcosθ，F(xiàn)＝Gsinθ，其中θ為支持力FN與豎直方向的夾角，當(dāng)小球向上移動(dòng)時(shí)，θ變大，故FN減小，F(xiàn)增大，故選C。例2(多選)如圖所示，質(zhì)量分別為m、M的甲、乙兩個(gè)物體系在一根通過輕質(zhì)光滑定滑輪的輕繩兩端，甲放在水平地板上，乙被懸在空中，若將甲沿水平地板向左緩慢移動(dòng)少許后，甲仍靜止，則()A．繩中張力變小B．甲對(duì)地面的壓力變大C．繩子對(duì)滑輪的力變大D．甲所受的靜摩擦力變大答案BD解析以物體乙為研究對(duì)象，得到繩子張力F＝mg。以物體甲為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。由平衡條件得地面對(duì)甲的支持力FN＝Mg－Fcosα，靜摩擦力Ff＝Fsinα，甲沿水平地板向左緩慢移動(dòng)少許后α增大，由數(shù)學(xué)知識(shí)得到FN變大，F(xiàn)f變大，根據(jù)牛頓第三定律知甲對(duì)地面的壓力也變大。由力的平行四邊形定則知，繩子對(duì)滑輪的力變小，故選B、D。二、用圖解法解決動(dòng)態(tài)平衡問題如圖所示，前面用解析法進(jìn)行了解答，請(qǐng)通過作圖的方式來直觀的展示出兩繩拉力大小隨夾角的變化規(guī)律。答案如圖所示，作出矢量平行四邊形，兩拉力F1、F2的合力為F，由平衡條件可知F＝G，物體C下降的過程中，θ不斷減小，則F1、F2不斷變小。用圖解法處理三個(gè)共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)平衡問題時(shí)，通常其中一個(gè)為恒力(如重力)，另一個(gè)力方向不變，第三個(gè)力大小、方向都變化，通過作圖分析各力的大小變化情況。例3(2022·大連市高一期末)如圖所示，用網(wǎng)兜把足球掛在豎直墻面上，懸繩對(duì)網(wǎng)兜的拉力為FT，墻壁對(duì)足球的支持力為FN，若不計(jì)墻面摩擦，緩慢增加懸繩的長(zhǎng)度，下列選項(xiàng)正確的是()A．FT和FN都增大B．FT和FN都減小C．FT減小，F(xiàn)N增大D．FT增大，F(xiàn)N減小答案B解析對(duì)足球受力分析，如圖甲，足球受重力G、懸線的拉力FT和墻的支持力FN；畫出力的矢量三角形，如圖乙，緩慢增加懸繩長(zhǎng)度過程中，重力不變，支持力的方向不變，懸線與墻壁間的夾角減小，由圖乙可知，F(xiàn)T與FN均變小，故選B。例4(多選)用輕繩AO、BO懸掛一個(gè)重物，BO水平，O為半圓形支架的圓心，懸點(diǎn)A和B在支架上。懸點(diǎn)A固定不動(dòng)，將懸點(diǎn)B從圖所示位置沿支架逐漸移動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，繩OA和繩OB上的拉力大小的變化情況是()A．繩OA上的拉力逐漸減小B．繩OA上的拉力先減小后增大C．繩OB上的拉力逐漸增大D．繩OB上的拉力先減小后增大答案AD解析將繩AO、繩BO的拉力合成，其合力與重物重力等大反向，逐漸改變繩OB拉力的方向，使FB與豎直方向的夾角變小，得到多個(gè)平行四邊形，如圖所示，由圖可知FA逐漸減小，且方向不變，而FB先減小后增大，且方向不斷改變，當(dāng)FB與FA垂直時(shí)，F(xiàn)B最小，故A、D正確。物體受三個(gè)力而處于動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，首先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，并依據(jù)題圖構(gòu)建初始狀態(tài)的力的矢量三角形。(1)先畫出大小、方向都不變的恒力；(2)再畫出方向不變、大小可變的力，并把表示此力的線段適當(dāng)畫長(zhǎng)一些；(3)明確方向變化的力的方向如何變化，并依次畫出2～3條矢量線段表示變化趨勢(shì)。注意：當(dāng)方向變化的力垂直已知方向的力時(shí)有最小值。三、用相似三角形法解決動(dòng)態(tài)平衡問題在三力平衡問題中，如果有一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力是變力，大小、方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系，多數(shù)情況下力的矢量三角形與幾何三角形相似，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算。例5(多選)(2022·深圳市高級(jí)中學(xué)高一期末)固定在水平面上的光滑半球的半徑為R，在球心O的正上方C點(diǎn)固定一個(gè)光滑的小定滑輪，細(xì)線的一端拴接一小球，另一端繞過定滑輪，現(xiàn)用力FT將小球從如圖所示位置的A點(diǎn)緩慢地拉至B點(diǎn)，在小球到達(dá)B點(diǎn)前的過程中，小球?qū)Π肭虻膲毫N，細(xì)線的拉力FT大小變化情況是()A．FN不變 B．FN變小C．FT變小 D．FT變大答案AC解析在小球被拉至B點(diǎn)前的過程中，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，小球受重力、半球?qū)π∏虻膹椓图?xì)線對(duì)小球的拉力，小球在三個(gè)力作用下緩慢滑至B點(diǎn)，小球在運(yùn)動(dòng)過程中可視為受力平衡。作出小球的受力示意圖如圖所示，故小球所受重力mg、半球?qū)π∏虻膹椓N′和細(xì)線對(duì)小球的拉力FT可以構(gòu)成一個(gè)閉合的三角形，由圖可知，三個(gè)力構(gòu)成的三角形與圖中由繩AC、定滑輪到水平面的高度CO及半球半徑AO構(gòu)成的△ACO始終相似，故有eq\f(FN′,AO)＝eq\f(mg,CO)＝eq\f(FT,AC)，由于小球運(yùn)動(dòng)過程中，CO和AO的長(zhǎng)度不變，AC減小，小球所受重力不變，所以半球?qū)π∏虻膹椓N′不變，細(xì)線對(duì)小球的拉力FT變小，由牛頓第三定律可知小球?qū)Π肭虻膲毫N不變，故A、C正確，B、D錯(cuò)誤。利用相似三角形解決動(dòng)態(tài)平衡問題(1)在圖示狀態(tài)下對(duì)物體進(jìn)行受力分析，并構(gòu)建力的矢量三角形；(2)構(gòu)建與力的矢量三角形對(duì)應(yīng)的幾何三角形；(3)確定三角形的對(duì)應(yīng)邊，利用三角形相似列出比例式；(4)結(jié)合幾何三角形中邊長(zhǎng)的變化，得出力的變化情況。專題強(qiáng)化練1.(2023·西安市長(zhǎng)安一中高一期中)某歐式建筑物屋頂為半球形，一警衛(wèi)人員為執(zhí)行特殊任務(wù)，必須冒險(xiǎn)在半球形屋頂上向上緩慢爬行(如圖)，他在向上爬過程中()A．屋頂對(duì)他的支持力變大B．屋頂對(duì)他的支持力變小C．屋頂對(duì)他的摩擦力變大D．屋頂對(duì)他的摩擦力不變答案A解析對(duì)警衛(wèi)在半球形屋頂上某點(diǎn)受力分析如圖所示將支持力FN與摩擦力Ff進(jìn)行合成，由三角函數(shù)關(guān)系可得FN＝Gcosθ，F(xiàn)f＝Gsinθ當(dāng)警衛(wèi)緩慢向上爬行時(shí)，θ逐漸變小，則支持力FN變大，摩擦力Ff變小，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。2．如圖甲所示，14個(gè)人用14根等長(zhǎng)的繩子拉起一個(gè)鼓，一端系在鼓上，一端用手拉住，每根繩子與豎直面的夾角均相等，若繩子連接鼓的結(jié)點(diǎn)、拉繩子的手分別在其所在圓周上均等間距分布，鼓處于靜止?fàn)顟B(tài)且鼓面水平，忽略繩子質(zhì)量，簡(jiǎn)化圖如圖乙所示。現(xiàn)僅使鼓在繩子的作用下保持鼓面水平沿豎直方向緩慢下降，其他條件不變，則在鼓緩慢下降過程中，下列說法正確的是()A．繩子對(duì)鼓的合力變大B．繩子對(duì)鼓的合力變小C．每根繩子對(duì)人的作用力增大D．每根繩子對(duì)人的作用力減小答案D解析鼓緩慢下降，處于動(dòng)態(tài)平衡，繩子對(duì)鼓的合力等于鼓的重力，繩子對(duì)鼓的合力不變，A、B錯(cuò)誤；根據(jù)平衡條件得14Fcosθ＝mg解得F＝eq\f(mg,14cosθ)鼓緩慢下降過程中繩子與豎直方向的夾角θ變小，cosθ變大，F(xiàn)減小，由牛頓第三定律知每根繩子對(duì)人的作用力減小，C錯(cuò)誤，D正確。3.如圖所示，一光滑小球靜止放置在固定的光滑半球面底端，用豎直放置的光滑擋板水平向右緩慢推動(dòng)小球，則在小球運(yùn)動(dòng)的過程中(該過程小球未脫離球面)，擋板對(duì)小球的推力F1、半球面對(duì)小球的支持力F2的變化情況正確的是()A．F1增大，F(xiàn)2增大 B．F1減小，F(xiàn)2減小C．F1增大，F(xiàn)2減小 D．F1減小，F(xiàn)2增大答案A解析對(duì)小球受力分析，如圖所示，根據(jù)平衡條件得，F(xiàn)1＝mgtanθ，F(xiàn)2＝eq\f(mg,cosθ)，由于θ不斷增大，故F1增大，F(xiàn)2增大，A正確。4.如圖所示，小球放在光滑的豎直墻與裝有鉸鏈的光滑薄板之間，在墻與薄板之間的夾角θ緩慢地增大到90°的過程中()A．墻對(duì)小球的支持力減小B．薄板對(duì)小球的支持力增大C．墻對(duì)小球的支持力先減小后增大D．薄板對(duì)小球的支持力可能小于球的重力答案A解析以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力分析如圖所示。F1為薄板對(duì)小球的支持力，F(xiàn)2為墻對(duì)小球的支持力。由圖可知，在墻與薄板之間的夾角θ緩慢地增大到90°的過程中，墻對(duì)球的支持力F2逐漸減小，薄板對(duì)球的支持力F1逐漸減小，由圖可知薄板對(duì)球的支持力大于或等于球的重力，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。5.如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球拴接了輕質(zhì)彈簧和細(xì)線，并在它們的作用下保持靜止。輕質(zhì)彈簧與豎直方向有一定夾角，細(xì)線處于水平狀態(tài)。現(xiàn)保持彈簧與豎直方向夾角不變，將輕質(zhì)細(xì)線由水平狀態(tài)緩慢轉(zhuǎn)至豎直狀態(tài)，則()A．彈簧的長(zhǎng)度逐漸變長(zhǎng) B．彈簧的長(zhǎng)度逐漸變短C．細(xì)線上的拉力逐漸增大 D．細(xì)線上的拉力逐漸減小答案B解析小球受力情況如圖所示，重力G大小和方向都不變，保持彈簧與豎直方向夾角θ不變，則彈簧彈力F彈方向不變，彈簧彈力與細(xì)線拉力FT的合力和小球受到的重力等大反向，保持不變，由圖可以看出，將輕質(zhì)細(xì)線由水平狀態(tài)緩慢轉(zhuǎn)至豎直狀態(tài)的過程中，細(xì)線上的拉力先減小后增大，彈簧的彈力一直減小，由胡克定律可知，彈簧的長(zhǎng)度逐漸變短，A、C、D錯(cuò)誤，B正確。6．(2022·黔東南高一期末)如圖所示，小球用細(xì)繩系住，繩的另一端固定于O點(diǎn)，現(xiàn)用水平力F緩慢推動(dòng)斜面體，小球在斜面上無摩擦地滑動(dòng)，細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)且不彎折，當(dāng)小球升到接近斜面頂端時(shí)細(xì)繩接近水平，此過程中小球受重力、拉力和支持力作用，其中大小和方向都不變的力是________，方向不變、大小改變的力是________，大小和方向都發(fā)生變化的是________，拉力大小________(選填“變大”“變小”“先變大后變小”或“先變小后變大”)。答案重力支持力拉力先變小后變大解析此過程中小球受重力、拉力和支持力作用，其中大小和方向都不變的力是重力；方向不變、大小改變的力是支持力；大小和方向都發(fā)生變化的是拉力；重力、斜面對(duì)小球的支持力FN和繩子拉力FT組成一個(gè)閉合的矢量三角形，如圖所示：由于重力不變、支持力FN方向不變，且由題圖知開始時(shí)β＞θ，斜面向左移動(dòng)的過程中，拉力FT與水平方向的夾角β逐漸變小，逐漸趨向于0；當(dāng)β＝θ時(shí)，拉力與斜面垂直，此時(shí)細(xì)繩的拉力FT最小，由圖可知，隨著β的變小，拉力FT先變小后變大。7．(2022·山東省模擬)如圖甲，一重物用細(xì)繩AC懸掛于A點(diǎn)，用水平繩BO綁住繩AC的O點(diǎn)，牽引至圖示位置保持靜止。現(xiàn)保持O點(diǎn)的位置不變，改變繩BO牽引的方向，其拉力F隨旋轉(zhuǎn)角度α的變化如圖乙所示，則重物的重力為()A．5N B．10NC．15N D．20N答案B解析由題圖乙可知，當(dāng)α＝30°時(shí)BO拉力最小，最小值為Fmin＝5N，此時(shí)OB與OA垂直，則Fmin＝mgsin30°，解得mg＝10N，故選B。8.(多選)如圖所示，用繩索將小船拉向岸邊，設(shè)船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受水的阻力不變，那么小船在勻速靠岸過程中，下列說法正確的是()A．繩子的拉力F不斷增大B．繩子的拉力F不變C．船所受的浮力不斷減小D．船所受的浮力不斷增大答案AC解析對(duì)小船進(jìn)行受力分析，如圖所示。因?yàn)樾〈鰟蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，所以小船處于平衡狀態(tài)，由題圖知拉力F與水平方向的夾角為θ，有：Fcosθ＝Ff①Fsinθ＋F浮＝mg②小船在勻速靠岸的過程中，θ增大，阻力不變，cosθ減小，根據(jù)平衡方程①知，繩子的拉力F增大；sinθ增大，根據(jù)平衡方程②知，船所受的浮力減小。故A、C正確，B、D錯(cuò)誤。9．(多選)(2022·湖北應(yīng)城市第一高級(jí)中學(xué)模擬)如圖所示，在水平面上豎直放置著一根直桿，桿上A點(diǎn)分別系著不可伸長(zhǎng)的輕繩AB和AC，輕繩AB水平跨過一個(gè)光滑定滑輪，在另一端系著一個(gè)重物，輕繩AC固定在地面，直桿處于平衡狀態(tài)。若縮短AC的長(zhǎng)度，使C點(diǎn)右移，桿仍保持平衡，關(guān)于AC的拉力FTAC和地面對(duì)桿的支持力FN，下列說法正確的是()A．FTAC減小 B．FTAC增大C．FN減小 D．FN增大答案BD解析設(shè)輕繩AC的拉力為FTAC，與豎直桿的夾角為α，輕繩AB的拉力為FTAB，直桿在A點(diǎn)的支持力為F，由于直桿處于平衡狀態(tài)，則在結(jié)點(diǎn)A處三力平衡，有FTAC＝eq\f(FTAB,sinα)，F(xiàn)＝eq\f(FTAB,tanα)縮短AC的長(zhǎng)度，使C點(diǎn)右移，夾角α減小，F(xiàn)TAB還是等于重物的重力，方向也不變，桿仍保持平衡，還是三力平衡，滿足上面的關(guān)系，則FTAC和F均增大，根據(jù)牛頓定律第三定律可知，兩根繩子對(duì)直桿的壓力增大，所以地面對(duì)桿的支持力FN增大，B、D正確。10.(2023·南通市高一期末)如圖所示，甲、乙通過細(xì)繩將物體拉到一定高度時(shí)靜止，此時(shí)繞過定滑輪的細(xì)繩在左右兩側(cè)與豎直方向的夾角相等。若乙緩慢釋放細(xì)繩的同時(shí)保持手中細(xì)繩沿水平方向，甲始終保持靜止，忽略滑輪與繩子間的摩擦和繩子質(zhì)量，則下列說法正確的是()A．乙手中細(xì)繩的拉力不斷增大B．甲手中細(xì)繩的拉力不斷減小C．甲受到的地面支持力不變D．甲受到地面的摩擦力在增大答案B解析設(shè)甲所拉細(xì)繩的左半邊繩與豎直方向的夾角為θ，甲所拉細(xì)繩的張力為FT1，乙所拉細(xì)繩的張力為FT2，重物的質(zhì)量為m，對(duì)甲、乙所拉細(xì)繩的結(jié)點(diǎn)做受力分析，有FT1＝eq\f(mg,cosθ)，F(xiàn)T2＝mgtanθ，當(dāng)乙緩慢釋放細(xì)繩時(shí)，θ在逐漸減小，故FT1、FT2都在減小，故A錯(cuò)誤，B正確；由以上分析可知，F(xiàn)T1在減小，由于甲不動(dòng)，故甲所拉細(xì)繩的右半邊繩與豎直方向的夾角不變，設(shè)為α，甲的重力為G，地面對(duì)甲的支持力為FN，對(duì)甲受力分析易得FN＋FT1cosα＝G，F(xiàn)f＝FT1sinα，在FT1在減小、α不變的情況下，可知FN增大，F(xiàn)f減小，故C、D錯(cuò)誤。11.(2023·玉溪市