2023-2024學(xué)年上海市楊思中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題含解析

2023-2024學(xué)年上海市楊思中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖在平行六面體中，與的交點記為．設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.2．關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為A. B.C. D.3．已知直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.4．已知函數(shù)在處取得極小值，則（）A. B.C. D.5．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒訕?biāo)識（圖1），標(biāo)識由黨徽、數(shù)字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動展現(xiàn)中國共產(chǎn)黨團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個“0”設(shè)計為兩個半徑為的相交大圓，分別內(nèi)含一個半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.6．從某個角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.7．曲線在點處的切線方程是A. B.C. D.8．直線的傾斜角為（）A B.C. D.9．已知，且，則的最大值為（）A. B.C. D.10．已知拋物線：的焦點為F，準(zhǔn)線l上有兩點A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C.或 D.11．拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)是A.（0,2） B.（0,1）C.（2,0） D.（1,0）12．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去找老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有位優(yōu)秀，位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（）A.乙、丁可以知道自己的成績 B.乙、丁可以知道對方的成績C.乙可以知道四人的成績 D.丁可以知道四人的成績二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個端點）有個點，相應(yīng)的圖案中點的個數(shù)記為，按此規(guī)律，則___________，___________.14．一條直線過點，且與拋物線交于，兩點．若，則弦中點到直線的距離等于__________15．如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂?shù)交诘闹本€的距離）．由于河流上游降雨，導(dǎo)致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時橋洞中水面的寬度為______米16．雙曲線離心率__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，（1）證明：；（2）設(shè)平面平面，求l與平面MND所成角的正弦值18．（12分）已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時，求取值范圍.19．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，其前n項和為（1）若，，求數(shù)列的前n項和；（2）若，，成等差數(shù)列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數(shù)m，n，p，使得，，成等差數(shù)列；（3）若存在正整數(shù)，使得數(shù)列，，…，在刪去以后按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列，求所有數(shù)對所構(gòu)成的集合，20．（12分）如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點.（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.21．（12分）已知橢圓（）的離心率為，一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點，直線（）與橢圓交于不同的兩點，且與x軸交于點，為線段的中點，點關(guān)于軸的對稱點為.證明：是等腰直角三角形.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右兩個焦點為、，動點P滿足（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）設(shè)過且不垂直于坐標(biāo)軸的動直線l交軌跡E于A、B兩點，問：線段上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請給出證明：若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】故選：B.2、B【解析】設(shè)，解集為所以二次函數(shù)圖像開口向下，且與交點為，由韋達(dá)定理得所以的解集為，故選B.3、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當(dāng)時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗可知符合題意.故選：A4、A【解析】由導(dǎo)數(shù)與極值與最值的關(guān)系，列式求實數(shù)的值.【詳解】由條件可知，，，解得：，，檢驗，時，當(dāng)，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，當(dāng)，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，滿足條件.所以.故選：A5、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個弓形面積，結(jié)合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點坐標(biāo)，四邊形邊長均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B6、B【解析】設(shè)出雙曲線方程，把雙曲線上的點的坐標(biāo)表示出來并代入到方程中，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】以O(shè)為原點，AD所在直線為x軸建系，不妨設(shè)，則該雙曲線過點且，將點代入方程，故離心率為，故選：B【點睛】本題考查已知點在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎(chǔ)題目7、D【解析】先求導(dǎo)數(shù)，得切線的斜率，再根據(jù)點斜式得切線方程.【詳解】，選D.點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線點斜式方程，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C9、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】由基本不等式知；（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最大值為.故選：A.10、C【解析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【詳解】由題意得，當(dāng)時，，解得；當(dāng)或時，，解得，所以拋物線的方程是或.故選：C.11、D【解析】的焦點坐標(biāo)為，故選D.【考點】拋物線的性質(zhì)【名師點睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)是我們要重點掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握12、A【解析】分析可知乙、丙的成績中必有位優(yōu)秀、位良好，結(jié)合題意進(jìn)行推導(dǎo)，可得出結(jié)論.【詳解】由于個人中的成績中有位優(yōu)秀，位良好，甲知道乙、丙的成績，還是不知道自己的成績，則乙、丙的成績必有位優(yōu)秀、位良好，甲、丁的成績中必有位優(yōu)秀、位良好，因為給乙看丙的成績，則乙必然知道自己的成績，丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】利用題中所給規(guī)律求出即可.【詳解】解：由圖可知，，，，，因為符合等差數(shù)列的定義且公差為所以，所以，故答案為：，.14、【解析】求出弦的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離，進(jìn)一步得到弦的中點到直線的距離【詳解】解：如圖，拋物線的焦點為，，弦的中點到準(zhǔn)線的距離為，則弦的中點到直線的距離等于故答案為：15、【解析】以橋的頂點為坐標(biāo)原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則根據(jù)點在拋物線上，可得拋物線的方程，設(shè)水面與橋的交點坐標(biāo)為，求出，進(jìn)而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點為坐標(biāo)原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設(shè)河水上漲1米后，水面與橋的交點坐標(biāo)為，則，得，所以此時橋洞中水面的寬度為米故答案為：16、【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【詳解】由已知，可得，所以，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】∵PD⊥平面ABCD，，以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小問2詳解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由（1）知，設(shè)平面MND的一個法向量，則，取，則，于是是平面MND的一個法向量，因為，設(shè)l與平面MND所成角為，則18、(1)時,在是單調(diào)遞增；時,在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）.【解析】（Ⅰ）由,可分,兩種情況來討論；（II）由（I）知當(dāng)時在無最大值,當(dāng)時最大值為因此.令,則在是增函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)時,因此a的取值范圍是.試題解析：（Ⅰ）的定義域為,,若,則,在是單調(diào)遞增；若,則當(dāng)時,當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時在無最大值,當(dāng)時在取得最大值,最大值為因此.令,則在是增函數(shù),,于是,當(dāng)時,,當(dāng)時,因此a取值范圍是.考點：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用及分類討論思想.19、（1）（2）,證明見解析.（3）不存在，【解析】（1）數(shù)列為首項為公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)果；（2），，成等差數(shù)列，則+=2，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算可解得，進(jìn)而計算可得，即可判斷結(jié)果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，解方程組可得無解，則所有數(shù)對所構(gòu)成的集合為.【小問1詳解】，，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，，數(shù)列為，數(shù)列為首項為公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和.【小問2詳解】，，成等差數(shù)列，+=2，當(dāng)時,+=,2,不符題意舍去，當(dāng)時，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，，，.【小問3詳解】由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，,即，解得：方程組無解.即符合條件的不存在，所有數(shù)對所構(gòu)成的集合為.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)即證；（2）利用坐標(biāo)法，結(jié)合條件可求，然后利用體積公式即求.【小問1詳解】，是的中點，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小問2詳解】，，，取的中點，連接，則，平面，以為坐標(biāo)原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得，∵二面角的大小為，，解得，，則三棱錐的體積.21、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）由題知，進(jìn)而結(jié)合求解即可得答案；（2）設(shè)點，，進(jìn)而聯(lián)立并結(jié)合題意得或，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理得，再的中點為，證明，進(jìn)而得，，故，綜合即可得證明.【小問1詳解】解：因為橢圓的離心率為，一個焦點為所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點，則點,所以聯(lián)立方程得，所以有，解得，因為，故或設(shè)，所以設(shè)向量，所以，所以，即，設(shè)的中點為，則所以，又因為，所以，所以，因為點關(guān)于軸的對稱點為.所以，所以，所以是等腰直角三角形.22、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意用定義法求解軌跡方