2023-2024學(xué)年江西省豐城四中高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2023-2024學(xué)年江西省豐城四中高二上數(shù)學(xué)期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，則等于（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.3．某校初一有500名學(xué)生，為了培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀習(xí)慣，學(xué)校要求他們從四大名著中選一本閱讀，其中有200人選《三國演義》，125人選《水滸傳》，125人選《西游記》，50人選《紅樓夢》，若采用分層抽樣的方法隨機抽取40名學(xué)生分享他們的讀后感，則選《西游記》的學(xué)生抽取的人數(shù)為（）A.5 B.10C.12 D.154．已知數(shù)列滿足，若.則的值是（）A. B.C. D.5．已知橢圓及以下3個函數(shù)：①；②；③，其中函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個6．已知，,2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標(biāo)系中，點M(x，y)的軌跡為()A. B.C. D.7．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是（）A.4 B.5C.6 D.78．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)m,從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.9．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.10．棱長為1的正四面體的表面積是（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.12．已知等差數(shù)列的前項和為，，，，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某射箭運動員在一次射箭訓(xùn)練中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：8，9，8，10，6，7，9，10，8，5，則命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為___________.14．命題“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定為____________.15．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對分別打洞穿墻．大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺；若城墻厚40尺，則至少在第________天相遇16．某天上午只排語文、數(shù)學(xué)、體育三節(jié)課，則體育不排在第一節(jié)課的概率為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）中，三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（1）求角A；（2）若，角A的角平分線交于D，，求a18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，點到兩點、的距離之和等于，設(shè)點的軌跡為，直線與交于、兩點（1）求曲線的方程；（2）若，求的值19．（12分）已知拋物線的焦點F，C上一點到焦點的距離為5（1）求C方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標(biāo)為-1，求直線l的方程20．（12分）甲、乙等6個班級參加學(xué)校組織廣播操比賽，若采用抽簽的方式隨機確定各班級的出場順序（序號為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩班級之間的演出班級（不含甲乙）個數(shù)X的分布列與期望21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）設(shè)點是平面上任意一點，直接寫出線段長度最小值.（不需證明）22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，是否存在正整數(shù)，使得對任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)向量的線性運算公式化簡可得結(jié)果.【詳解】因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以，，所以，故選：D2、C【解析】由題意得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出對任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，，令，其中，則.，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，所以.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.3、B【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，可得選《西游記》的學(xué)生抽取的人數(shù)為故選：B.4、D【解析】由，轉(zhuǎn)化為，再由求解.【詳解】因為數(shù)列滿足，所以，即，因為，所以，所以，故選：D5、C【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)可得橢圓的圖像關(guān)于原點對稱，因為函數(shù),函數(shù)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點對稱，則①②滿足題意,對于函數(shù)在軸右側(cè)時，，只有時，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對稱，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因為橢圓的圖像關(guān)于原點對稱，對于①，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于②，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于③，對于函數(shù)在軸右側(cè)時，，只有時，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對稱，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，即函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)有2個，故選C.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的對稱性，重點考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】已知，,2成等差數(shù)列,得到，化簡得到【詳解】已知，,2成等差數(shù)列,得到，化簡得到可知是焦點在x軸上的拋物線的一支.故答案為A.【點睛】這個題目考查的是對數(shù)的運算以及化簡公式的應(yīng)用，也涉及到了軌跡的問題，求點的軌跡，通常是求誰設(shè)誰，再根據(jù)題干將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，從而列出方程，化簡即可.7、C【解析】按照分層抽樣的定義進行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類：植物油類：動物性食品類：果蔬類=4:1:3:2，抽20個出來，則糧食類8個，植物油類2個，動物性食品類6個，果蔬類4個，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是6個.故選：C.8、A【解析】根據(jù)分步計數(shù)乘法原理求得所有的)共有12個，滿足兩個向量垂直的共有2個，利用古典概型公式可得結(jié)果.【詳解】集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù),有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)，有3種方法，所以，所有的共有個，由向量與向量垂直,可得，即,故滿足向量與向量垂直的共有2個：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【點睛】本題主要考查分步計數(shù)乘法原理的應(yīng)用、向量垂直的性質(zhì)以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.9、D【解析】利用分布計數(shù)原理求出所有的基本事件個數(shù)，在求出點落在直線x+y=4上包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率個數(shù)求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36，其中每個結(jié)果出現(xiàn)的機會都是等可能的，點P（m，n）在直線x+y=4上包含的結(jié)果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個，所以點P（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點：古典概型點評:本題考查先判斷出各個結(jié)果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎(chǔ)題10、D【解析】采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)邊長，結(jié)合正四面體的概念，計算出正三角形的面積，可得結(jié)果【詳解】如圖由正四面體的概念可知，其四個面均是全等的等邊三角形，由其棱長為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為，故選：D11、B【解析】利用等差中項的性質(zhì)可求得的值，進而可求得的值.【詳解】由等差中項的性質(zhì)可得，則.故選：B.12、A【解析】由可求得，利用可構(gòu)造方程求得.【詳解】，，，，，解得：.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用求平均數(shù)的公式即可求解.【詳解】由已知得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故答案為：.14、【解析】根據(jù)還有一個量詞的命題的否定的方法解答即可.【詳解】命題“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定為“”.故答案為：.15、①.##0.25②.6【解析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，構(gòu)造等式，即可得解.【詳解】由題意知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為，且數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，又城墻厚40尺，所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為：；6.16、【解析】寫出語文、數(shù)學(xué)、體育的所有可能排列，找出其中體育不排在第一節(jié)課的情況，利用概率公式計算即可.【詳解】所有可能結(jié)果如下：（語文，數(shù)學(xué)，體育）；（語文，體育，數(shù)學(xué)）；（數(shù)學(xué)，語文，體育）：（數(shù)學(xué)，體育，語文）；（體育，語文，數(shù)學(xué)）；（體育，數(shù)學(xué)，語文）,其中體育不排在第一節(jié)課的情況有四種，則體育不排在第一節(jié)課的概率三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理統(tǒng)一三角函數(shù)化簡即可求解；（2）根據(jù)角平分線建立三角形面積方程求出b,再由余弦定理求解即可.【小問1詳解】由及正弦定理，得∵，∴∵，∴∵，∴【小問2詳解】∵，∴，解得由余弦定理，得，∴.18、（1）；（2）.【解析】（1）本題可根據(jù)橢圓的定義求出點的軌跡；（2）本題首先可設(shè)、，然后聯(lián)立橢圓與直線方程，通過韋達(dá)定理得出、，最后通過得出，代入、的值并計算，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為點到兩點、的距離之和等于，所以結(jié)合橢圓定義易知，點的軌跡是以點、為焦點且的橢圓，則，，，點的軌跡.（2）設(shè)，，聯(lián)立，整理得，則，，因為，所以，即，整理得，則，整理得，解得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)橢圓定義求動點軌跡以及直線與拋物線相關(guān)問題的求解，橢圓的定義為動點到兩個定點的距離為一個固定的常數(shù)，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計算能力，是難題.19、（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線的定義，結(jié)合已知有求p，寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，由中點公式有，進而求k值，寫出直線方程.【詳解】（1）由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線方程，得：，，若，則，而線段AB中點的縱坐標(biāo)為-1，∴，即，得，∴直線l的方程為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）利用拋物線定義求參數(shù)，寫出拋物線方程；（2）由直線與拋物線相交，以及相交弦的中點坐標(biāo)值，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點公式求直線斜率，并寫出直線方程.20、（1）（2）X01234p期望為.【解析】（1）求出甲、乙兩班級的出場序號中均為偶數(shù)的概率，進而求出答案；（2）求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，寫出分布列，求出期望值.【小問1詳解】由題意得：甲、乙兩班級的出場序號中均為偶數(shù)的概率為，故甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率；【小問2詳解】X的可能取值為0,1,2,3,4，，，，故分布列為：X01234p數(shù)學(xué)期望為21、（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）設(shè)，連結(jié)，根據(jù)中位線定理即可證，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）由菱形的性質(zhì)可知，可證，又底面，可得，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)等體積法，即，經(jīng)過計算直接寫出結(jié)果即可.【小問1詳解】證明：設(shè)，連結(jié).因為底面為菱形，所以為的中點，又因為E是P