2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)寧市魚臺(tái)縣第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)寧市魚臺(tái)縣第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.1442．已知函數(shù)，那么的值為（）A. B.C. D.3．橢圓的焦點(diǎn)為、，上頂點(diǎn)為，若，則（）A B.C. D.4．若函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.5．橢圓＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作直線（不經(jīng)過焦點(diǎn)F）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF的面積是20，則直線AB的斜率為（）A. B.C. D.6．等比數(shù)列，，，成公差不為0的等差數(shù)列，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（）A. B.C. D.7．已知橢圓與橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.焦距相等 D.離心率相等8．設(shè)集合，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.610．甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離（H-H鍵長）相等，碳原子到四個(gè)氫原子的距離（C-H鍵長）均相等，任意兩個(gè)H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為（）A. B.C. D.11．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，A為橢圓上一點(diǎn)，則________14．如圖，棱長為1的正方體，點(diǎn)沿正方形按的方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿正方形按的方向以同樣的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)分別從點(diǎn)A與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積大小是________.15．對(duì)于下面這個(gè)等式我們除了可以用等比數(shù)列的求和公式獲得，還可以用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)其進(jìn)行證明“”，那么在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，當(dāng)驗(yàn)證是否成立時(shí)，左邊的式子應(yīng)該是_______16．已知為數(shù)列{}前n項(xiàng)和，若，且），則＝___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，滿足，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列對(duì)任意都有恒成立，求.18．（12分）已知函數(shù)，記f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時(shí)y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值19．（12分）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.已知，且（只需填序號(hào)）.（1）求的值；（2）求展開式中的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和20．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，二面角的余弦值為.（1）求PD的長；（2）求異面直線BF與PA所成角的余弦值；（3）求直線AF與平面BCF所成角的正弦值.21．（12分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知點(diǎn)，，線段是圓的直徑.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，，解得，.故選：B.2、D【解析】直接求導(dǎo)，代入計(jì)算即可.【詳解】，故.故選：D.3、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，焦點(diǎn)為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.4、B【解析】函數(shù)既有極大值又有極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在定義域上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).【詳解】因?yàn)榧扔袠O大值又有極小值，且，所以有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)解，所以，且，解得，且.故選:B.5、A【解析】分情況討論當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，可求面積，檢驗(yàn)是否滿足條件，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線AB的方程y＝kx，聯(lián)立橢圓方程，可求△ABF2的面積為S＝2代入可求k【詳解】由橢圓＝1，則焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝0，此時(shí)AB＝4，＝AB?5＝×5＝10，不符合題意；②可設(shè)直線AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面積為S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故選：A6、C【解析】先設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合條件可知，由等差中項(xiàng)可知，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡求出，最后利用分組求和法，以及等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式，即可求出數(shù)列的前10項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成公差不為0的等差數(shù)列，則，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和：.故選：C.7、C【解析】利用，可得且，即可得出結(jié)論【詳解】∵，且，橢圓與橢圓的關(guān)系是有相等的焦距故選：C8、A【解析】解不等式求集合，然后判斷兩個(gè)集合的關(guān)系【詳解】，解得，故，可化為或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要條件故選：A9、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，且，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：D10、A【解析】利用余弦定理求得，計(jì)算出正四面體的高，從而計(jì)算出正四面體的體積.【詳解】設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長均為由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高故該正四面體的體積為故選：A11、C【解析】對(duì)方程進(jìn)行化簡可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.12、C【解析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，解得，又，，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】直接利用橢圓的定義即可求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)分別為，A為橢圓上一點(diǎn)，所以.故答案為：414、##【解析】畫出符合要求的圖形，觀察得到軌跡是菱形，并進(jìn)行充分性和必要性兩方面的證明，并求解出軌跡圖形的面積.【詳解】如圖，分別是正方形ABCD，，的中心，下面進(jìn)行證明：菱形EFGC的周界即為動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)H的軌跡，首先證明：如果點(diǎn)H是動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)，那么點(diǎn)H必在菱形EFGC的周界上，分兩種情況證明：（1）P，Q分別在某一個(gè)定角的兩邊上，不失一般性，設(shè)P從B到C，而Q同時(shí)從到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中點(diǎn)H必在上；（2）P，Q分別在兩條異面直線上，不失一般性，設(shè)P從A到B，同時(shí)Q從到，由于速度相同，則，由于H為PQ的中點(diǎn)，連接并延長，交底面ABCD于點(diǎn)T，連接PT，則平面與平面交線是PT，∵∥平面，∴∥PT，∴，而，∥BC，∴是等腰直角三角形，，從而T在AC上，可以證明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行線的唯一性，顯然H在DG上，綜合（1）（2）可證明，線段PQ的中點(diǎn)一定在菱形EFGC的周界上；下面證明：如果點(diǎn)H在菱形EFGC的周界上，則點(diǎn)H必定是符合條件的線段的中點(diǎn).也分兩種情況進(jìn)行證明：（1）H在CG或CE上，過點(diǎn)H作PQ∥（或BD），而與BC及（或CD及BC）分別相交于P和Q，由相似的性質(zhì)可得：PH=QH，即H是PQ的中點(diǎn)，同時(shí)可證：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合題設(shè)條件（2）H在EF或FG上，不失一般性，設(shè)H在FG上，連接并延長，交平面AC于點(diǎn)T，顯然T在AC上，過T作TP∥CB于點(diǎn)P，則TP∥，在平面上，連接PH并延長，交于點(diǎn)Q，在三角形中，G是的中點(diǎn)，∥AC，則H是的中點(diǎn)，于是，從而有，又因?yàn)門P∥CB，，所以，從而，因此P，Q符合題設(shè)條件.由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一點(diǎn)，則H必是符合題設(shè)條件的動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)，證畢.因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，其中，所以邊長為且，為等邊三角形，，所以面積.故答案為：【點(diǎn)睛】對(duì)于立體幾何軌跡問題，要畫出圖形，并要善于觀察，利用所學(xué)的立體幾何方面的知識(shí)，大膽猜測(cè)，小心驗(yàn)證，對(duì)于多種情況的，要畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.15、【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的定義，即可求解.【詳解】當(dāng)，，故此時(shí)式子左邊=.故答案為：.16、2【解析】第一步找出數(shù)列周期，第二步利用周期性求和.【詳解】,,,，，，可知數(shù)列{}是周期為4的周期數(shù)列，所以故答案為:2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫一式，然后兩式相減，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫一式，然后兩式相減，求出，最后利用錯(cuò)位相減法即可得答案.【小問1詳解】解：因?yàn)?，，所以，，得，所以是?為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，所以，，所以；因?yàn)椋?，又由得，所以是?為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得，即，記，則,,則.18、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)可得f′（x）的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的單調(diào)性，即可求得f（x）的極值，檢驗(yàn)邊界值，即可得答案.【詳解】（Ⅰ）由題意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，所以f（x）的極大值為f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值為1，最小值為﹣319、（1）選①②③，答案均為；（2）66【解析】（1）選①時(shí)，利用二項(xiàng)式定理求得的通項(xiàng)公式為，從而得到，求出n的值；選②時(shí)，利用二項(xiàng)式系數(shù)和的公式求出，解出n的值；選③時(shí)，利用賦值法求解，，從而求出n的值；（2）在第一問求出的的前提下進(jìn)行賦值法求解.【小問1詳解】選①，其中，而的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，所以，解得：；選②，由于，所以，解得：；選③，令中得：，再令得：，解得：；【小問2詳解】由（1）知：n=7，所以，令得：，令得：，兩式相減得：，所以，故展開式中的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)和為66.20、（1）（2）（3）【解析】（1）以為軸，為軸，軸與垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，由空間向量法求二面角，從而求得，得長；（2）由空間向量法求異面直線所成的角；（3）由空間向量法求線面角【小問1詳解】以為軸，為軸，軸與垂直，由于菱形中，軸是的中垂線，建立如圖坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，，即，平面的一個(gè)法向量是，因?yàn)槎娼怯嘞抑禐?所以，（負(fù)值舍去）所以；【小問2詳解】由（1），，，，所以異面直線BF與PA所成角的余弦值為【小問3詳解】由（1）平面的一個(gè)法向量為，又，，所以直線AF與平面BCF所成角的正弦值為21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，并應(yīng)用坐標(biāo)計(jì)算空間向量的數(shù)量積，即可證結(jié)論.（2）求的方向向量，結(jié)合（1）中面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，