2023-2024學(xué)年陜西省西安鐵一中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2023-2024學(xué)年陜西省西安鐵一中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)與軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且，，則橢圓方程為（）A. B.C. D.2．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的遞減區(qū)間為C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極小值3．已知雙曲線(xiàn)離心率為2，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.4．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，5．用這3個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”與事件“這個(gè)三位數(shù)大于342”（）A.是互斥但不對(duì)立事件 B.不是互斥事件C.是對(duì)立事件 D.是不可能事件6．橢圓（）的右頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.7．《米老鼠和唐老鴨》這部動(dòng)畫(huà)給我們的童年帶來(lái)了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個(gè)圓構(gòu)成米奇的簡(jiǎn)筆畫(huà)形象.已知3個(gè)圓方程分別為：圓圓，圓若過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與圓、均相切，則截圓所得的弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.8．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則其前項(xiàng)和取得最大值時(shí)，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或149．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在拋物線(xiàn)和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.10．今天是星期四，經(jīng)過(guò)天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六11．某雙曲線(xiàn)的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，則該雙曲線(xiàn)的方程是（）A. B.C. D.12．已知直線(xiàn)：與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若C為直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且漸近線(xiàn)方程為，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________________.14．在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測(cè)得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為_(kāi)__________海里.15．與圓外切于原點(diǎn)，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為8的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________16．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且．則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國(guó)選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地ABCD（包含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長(zhǎng)為10米，在A(yíng)B邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線(xiàn)方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫成功點(diǎn).（1）求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程；（2）P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若存在兩個(gè)成功點(diǎn)到直線(xiàn)FP的距離為，且直線(xiàn)FP與點(diǎn)M的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列{}的首項(xiàng)＝2，(n≥2，)，，.（1）證明：{+1}為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求證：.19．（12分）如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，是中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若AB是過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的弦，以弦AB為直徑的圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系是什么？先給出你的判斷結(jié)論，再給出你的證明，并作出必要的圖形21．（12分）如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)，且被x軸正半軸分成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為1∶2（1）求圓C的方程；（2）已知點(diǎn)，是否存在弦被點(diǎn)P平分？若存在，求直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22．（10分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值3（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】連結(jié)，設(shè)，則，，由可求出，進(jìn)而可求出，得出橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程：，設(shè)左焦點(diǎn)為，連結(jié)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設(shè)，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，在求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，關(guān)鍵是求解基本量，，.2、C【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系及極值的定義結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上遞減，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上遞增，所以函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.3、C【解析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線(xiàn)C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，所以直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意故選：C4、C【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，是特稱(chēng)命題，所以其否定是全稱(chēng)命題，即為，故選：C5、B【解析】根據(jù)題意列舉出所有可能性，進(jìn)而根據(jù)各類(lèi)事件的定義求得答案.【詳解】由題意，將2,3,4組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的情況有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶數(shù)有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以?xún)蓚€(gè)事件不是互斥事件，也不是對(duì)立事件.故選：B.6、A【解析】求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)從而求得，再結(jié)合題意求得，即可寫(xiě)出橢圓方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可得；又短軸長(zhǎng)為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.7、A【解析】設(shè)直線(xiàn)，利用直線(xiàn)與圓相切，求得斜率，再利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn).由直線(xiàn)與圓、圓均相切，得解得(1).設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為則(2).又圓的半徑直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)結(jié)合(1)(2)兩式，解得8、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，根據(jù)，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)求得公差，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，因?yàn)?，且，，成等比?shù)列，所以，解得，所以，所以當(dāng)12或13時(shí)，取得最大值，故選：C9、B【解析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)，圓化簡(jiǎn)為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點(diǎn)P到圓心的距離，令，則，令，，為開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B10、C【解析】求出二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，得到除以7余數(shù)是1，然后利用周期性進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】解：一個(gè)星期的周期是7，則，即除以7余數(shù)是1，即今天是星期四，經(jīng)過(guò)天后是星期五，故選：11、D【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，利用焦點(diǎn)為求出的值即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，所以可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，則，，所以該雙曲線(xiàn)方程為.故選：D.12、D【解析】先求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，然后分別與直線(xiàn)聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程可知其漸近線(xiàn)方程為：，當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】依題意，設(shè)所求的雙曲線(xiàn)的方程為.點(diǎn)為該雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，.該雙曲線(xiàn)的方程為：，即.故本題正確答案是.14、【解析】利用正弦定理求得甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離.【詳解】，設(shè)甲乙距離，由正弦定理得.故答案為：15、；【解析】設(shè)所求圓的圓心為，根據(jù)兩圓外切于原點(diǎn)可知兩圓心與原點(diǎn)共線(xiàn)，再根據(jù)弦長(zhǎng)列出方程組求出即可.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，因?yàn)閳A的圓心為，與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點(diǎn)，，①所以所求圓的半徑滿(mǎn)足，又被y軸截得的弦長(zhǎng)為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：16、【解析】倒數(shù)型求數(shù)列通項(xiàng)公式，第一步求倒數(shù)，第二步構(gòu)造數(shù)列，求通項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.(2)由題意可得點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線(xiàn)的距離，點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)成功點(diǎn)，可得即,化簡(jiǎn)得因?yàn)辄c(diǎn)需在矩形場(chǎng)地內(nèi)，所以故所求軌跡方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，直線(xiàn)方程為直線(xiàn)FP與點(diǎn)M軌跡沒(méi)有公共點(diǎn),則圓心到直線(xiàn)的距離大于依題意，動(dòng)點(diǎn)需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線(xiàn)的距離即,解得②點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即,解得綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是18、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)利用已知條件證明為常數(shù)即可；(2)求出和通項(xiàng)公式，再求出通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法可求，判斷的單調(diào)性即可求其范圍.【小問(wèn)1詳解】∵＝2，(n≥2，)，∴當(dāng)n≥2時(shí)，(常數(shù))，∴數(shù)列{＋1}是公比為3的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，數(shù)列{＋1}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，∴，∴，∴∵，∴∴，∴∴.當(dāng)n≥2時(shí)，∴{}為遞增數(shù)列，故的最小值為，∴.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合線(xiàn)面角定義進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小問(wèn)2詳解】∵平面平面，交AD于點(diǎn)F，平面，平面平面，∴平面，以為原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.20、（1）；（2）相切，證明過(guò)程、圖形見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，結(jié)合拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線(xiàn)AB的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以設(shè)拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)樵搾佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以有，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；小問(wèn)2詳解】以弦AB為直徑的圓與直線(xiàn)相切，理由如下：因?yàn)锳B是過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的弦，所以直線(xiàn)AB的斜率不為零，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：，則有，設(shè)，則有，因此，所以弦AB為直徑的圓的圓心的橫坐標(biāo)為：，以弦AB為直徑的圓的直徑為：所以弦AB為直徑的圓的半徑，以弦AB為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為：，所以以弦AB為直徑的圓與直線(xiàn)相切.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得圓心C在直線(xiàn)上，設(shè)圓C與x軸的交點(diǎn)分別為E、F，則有，，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，由此求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)存在弦被點(diǎn)P平分，有，由此求得直線(xiàn)AB的斜率可得其方程再檢驗(yàn)，直線(xiàn)AB與圓C是否相交即可.小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閳AC與y軸相切于點(diǎn)，所以圓心C在直線(xiàn)上，設(shè)圓C與x軸的交點(diǎn)分別為E、F，由圓C被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為2∶1，得，所以，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，所以圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，有，所以點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，假設(shè)存在弦被點(diǎn)P平分，則，又，所以，所以直線(xiàn)AB的方程為，即，檢驗(yàn)，圓心