2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圓錐曲線微專題-橢圓雙曲線拋物線的基本性質(zhì)專項訓(xùn)練二選擇題含解析

Page212023屆高考復(fù)習(xí)圓錐曲線微專題——橢圓、雙曲線、拋物線的基本性質(zhì)專項訓(xùn)練二（選擇題）1、(2022·晉中新一雙語學(xué)校模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2同時為橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C2：eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))－eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(a1>0，b1>0)))的左、右焦點，設(shè)橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)交于點M，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，O為坐標(biāo)原點，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))，則eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)D．22、過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點作x軸的垂線，交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點.若以AB為直徑的圓與l存在公共點，則C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))3、(2021·安徽蚌埠質(zhì)檢)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，一個焦點F(2,0)，則該雙曲線的虛軸長為()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)4、(2021·云南、貴州、四川、廣西聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為C左支上一點，N為線段MF2上一點，且|MN|＝|MF1|，P為線段NF1的中點．若|F1F2|＝4|OP|(O為坐標(biāo)原點)，則C的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2x5、(2021·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)已知點F是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，點E是該雙曲線的左頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若∠AEB是鈍角，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1＋eq\r(2)，＋∞) B．(1,1＋eq\r(2))C．(2，＋∞) D．(2,1＋eq\r(2))6、設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為()A.±eq\f(1,2) B.±eq\f(\r(2),2) C.±1 D.±eq\r(2)7、已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))8、(2020·全國Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點.若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A.4 B.8 C.16 D.329、(多選)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\f(2\r(3),3)，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點，則()A.漸近線方程為y＝±eq\r(3)xB.漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)xC.∠MAN＝60°D.∠MAN＝120°10、(2022·蘇北四市調(diào)研)橢圓G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M是橢圓上一點，且滿足eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0.則橢圓離心率e的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))11、(多選)如圖，兩個橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線C，P是曲線C上的任意一點，下列四個說法正確的為()A．P到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四點的距離之和為定值B．曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱C．曲線C所圍區(qū)域面積必小于36D．曲線C總長度不大于6π12、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P為橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的下頂點，M，N在橢圓上，若四邊形OPMN為平行四邊形，α為直線ON的傾斜角，若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，則橢圓C的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))13、已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，點M是該橢圓上的一個動點，那么|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|的最小值是()A．4 B．6C．8 D．1014、設(shè)A，B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是()A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)15、設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點.若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)16、(2022·長春市質(zhì)量監(jiān)測)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個頂點分別為A，B，點P為雙曲線上除A，B外任意一點，且點P與點A，B連線的斜率分別為k1，k2，若k1k2＝3，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2x17、(2022·安徽皖南名校聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其右支上存在一點M，使得eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，直線MF2平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)18、(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A．eq\f(\r(7),2) B．eq\f(\r(13),2)C．eq\r(7) D．eq\r(13)19、(2020·全國Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A．4 B．8C．16 D．3220、已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，在雙曲線上存在點P滿足2|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up7(→))|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1,2] B．[2，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．[eq\r(2)，＋∞)21、(2020·高考天津卷)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點和點(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝122、已知離心率為eq\f(\r(5),2)的雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點，若S△OMF2＝16，則雙曲線的實軸長是()A．32 B．16C．84 D．423、(2020·新高考卷Ⅰ改編)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列說法錯誤的是()A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為eq\r(n)C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，則C是兩條直線24、(多選)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq\f(x2,m＋n)－eq\f(y2,m－n)＝1的左、右焦點，且|F1F2|＝4，則下列結(jié)論正確的有()A．m＝2B．當(dāng)n＝0時，C的離心率是2C．F1到漸近線的距離隨著n的增大而減小D．當(dāng)n＝1時，C的實軸長是虛軸長的兩倍25、(多選)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2－eq\f(y2,b)＝1的左、右焦點，過F2作x軸的垂線與C交于A，B兩點，若△ABF1為正三角形，則()A．b＝2 B．C的焦距為2eq\r(5)C．C的離心率為eq\r(3) D．△ABF1的面積為4eq\r(3)26、(多選)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e1，橢圓C1的上頂點為M，且eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，雙曲線C2和橢圓C1有相同焦點，且雙曲線C2的離心率為e2，P為曲線C1與C2的一個公共點．若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，則下列各項正確的是()A．eq\f(e2,e1)＝2 B．e1e2＝eq\f(\r(3),2)C．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(5,2) D．eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝127、已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)28、已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線為l，過點F2且與l平行的直線交雙曲線C于點M，若|MF1|＝2|MF2|，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.eq\r(5) D.eq\r(6)29、已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4eq\r(2)，且兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的實軸長為()A．2 B．4C．6 D．830、已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)31、(2021·高考全國卷甲)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A.eq\f(\r(7),2) B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7) D.eq\r(13)32、(2021·新高考卷Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點到直線y＝x＋1的距離為eq\r(2)，則p＝()A．1B．2C．2eq\r(2)D．433、已知O為坐標(biāo)原點，M(2，2)，P，Q是拋物線C：y2＝2px上兩點，F(xiàn)為其焦點，若F到準(zhǔn)線的距離為2，則下列說法正確的有()A．△PMF周長的最小值為2eq\r(5)B．若eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(FQ,\s\up6(→))，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))最小值為2eq\r(2)C．若直線PQ過點F，則直線OP，OQ的斜率之積恒為－2D．若△POF外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓面積為eq\f(9π,4)34、(2021·吉林省吉林市調(diào)研)已知拋物線y2＝4x的焦點F，點A(4,3)，P為拋物線上一點，且P不在直線AF上，則△PAF周長取最小值時，線段PF的長為()A．1 B．eq\f(13,4)C．5 D．eq\f(21,4)35、(2021·湖北荊州模擬)從拋物線y2＝4x在第一象限內(nèi)的一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝9，設(shè)拋物線的焦點為F，則直線PF的斜率為()A．eq\f(6\r(2),7) B．eq\f(18\r(2),7)C．eq\f(4\r(2),7) D．eq\f(2\r(2),7)36、(2017·全國)橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，點P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝eq\f(2π,3)，則C的長軸長為()A．2 B．2eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)2023屆高考復(fù)習(xí)圓錐曲線微專題——橢圓、雙曲線、拋物線的基本性質(zhì)專項訓(xùn)練二（選擇題）（解析版）1、(2022·晉中新一雙語學(xué)校模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2同時為橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C2：eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))－eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(a1>0，b1>0)))的左、右焦點，設(shè)橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)交于點M，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，O為坐標(biāo)原點，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))，則eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)D．2解析：選D.如圖，設(shè)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＝m，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝n，焦距為2c，由橢圓定義可得m＋n＝2a，由雙曲線定義可得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1.當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))時，則∠F1MF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2，即a2＋aeq\o\al(2,1)＝2c2，由離心率的公式可得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝2.2、過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點作x軸的垂線，交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點.若以AB為直徑的圓與l存在公共點，則C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：由題設(shè)知，直線l：eq\f(x,－c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c，0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±eq\f(b2,a)，即圓的半徑r＝eq\f(b2,a).又圓與直線l有公共點，所以eq\f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq\f(b2,a)，化簡得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(5),5).又0＜e＜1，所以0＜e≤eq\f(\r(5),5).3、(2021·安徽蚌埠質(zhì)檢)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，一個焦點F(2,0)，則該雙曲線的虛軸長為()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)解析：因為雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，一個焦點F(2,0)，所以a2＋b2＝c2＝4，①eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，②聯(lián)立①、②可得：a2＝3，b2＝1，∴b＝1，從而2b＝2，∴該雙曲線的虛軸長2，故選C．4、(2021·云南、貴州、四川、廣西聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為C左支上一點，N為線段MF2上一點，且|MN|＝|MF1|，P為線段NF1的中點．若|F1F2|＝4|OP|(O為坐標(biāo)原點)，則C的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2x解析：因為|F1F2|＝4|OP|，所以|OP|＝eq\f(c,2)，所以|NF2|＝2|OP|＝c，又|MF2|－|MF1|＝|NF2|＝2a，所以c＝2a，所以a2＋b2＝4a2，則eq\f(b,a)＝eq\r(3).故C的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.故選C．5、(2021·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)已知點F是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，點E是該雙曲線的左頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若∠AEB是鈍角，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1＋eq\r(2)，＋∞) B．(1,1＋eq\r(2))C．(2，＋∞) D．(2,1＋eq\r(2))解析：由題意，得AB為雙曲線的通徑，其長度為|AB|＝eq\f(2b2,a)，因為∠AEB>eq\f(π,2)，所以∠AEF>eq\f(π,4)，則tan∠AEF＝eq\f(|AF|,|EF|)>1，即eq\f(b2,aa＋c)>1，即c2－a2>a(a＋c)，即e2－e－2>0，解得e>2.故選C．6、設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為()A.±eq\f(1,2) B.±eq\f(\r(2),2) C.±1 D.±eq\r(2)解析：不妨令B在x軸上方，因為BC過右焦點F(c，0)，且垂直于x軸，所以可求得B，C兩點的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，又A1，A2的坐標(biāo)分別為(－a，0)，(a，0)，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋a，\f(b2,a)))，eq\o(A2C,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a，－\f(b2,a)))，因為A1B⊥A2C，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(A2C,\s\up6(→))＝0，即(c＋a)(c－a)－eq\f(b2,a)·eq\f(b2,a)＝0，即c2－a2－eq\f(b4,a2)＝0，所以b2－eq\f(b4,a2)＝0，故eq\f(b2,a2)＝1，即eq\f(b,a)＝1，又雙曲線的漸近線的斜率為±eq\f(b,a)，故該雙曲線的漸近線的斜率為±1.7、已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))解析：因為F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3<0，即3yeq\o\al(2,0)－1<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).8、(2020·全國Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點.若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A.4 B.8 C.16 D.32解析：不妨設(shè)D位于第一象限，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，分別與x＝a聯(lián)立，可得D(a，b)，E(a，－b)，則|DE|＝2b.∴S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2eq\r(2)時，等號成立.∴c2的最小值為16，∴c的最小值為4，∴C的焦距的最小值為2×4＝8.9、(多選)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\f(2\r(3),3)，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點，則()A.漸近線方程為y＝±eq\r(3)xB.漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)xC.∠MAN＝60°D.∠MAN＝120°解析：由題意可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3)，設(shè)c＝2t，a＝eq\r(3)t，t＞0，則b＝eq\r(c2－a2)＝t，所以圓A的圓心為(eq\r(3)t，0)，半徑長為t，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\f(\r(3),3)x，圓心A到漸近線的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)×\r(3)t)),\r(1＋\f(1,3)))＝eq\f(\r(3),2)t，所以弦長|MN|＝2eq\r(t2－d2)＝2eq\r(t2－\f(3,4)t2)＝t＝b，可得△MNA是邊長為b的等邊三角形，即有∠MAN＝60°.故選BC.10、(2022·蘇北四市調(diào)研)橢圓G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M是橢圓上一點，且滿足eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0.則橢圓離心率e的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：法一設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0，y0)，∵eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋yeq\o\al(2,0)＝0，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2.①又知點M在橢圓G上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，②由①②聯(lián)立結(jié)合a2－b2＝c2解得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2（c2－b2）,c2)，由橢圓的性質(zhì)可得0≤xeq\o\al(2,0)≤a2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a2（c2－b2）,c2)≥0，,\f(a2（c2－b2）,c2)≤a2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c2≥b2，,c2－b2≤c2，))所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥eq\f(1,2)，又知0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.法二∵橢圓G上存在點M使eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0，∴MF1⊥MF2，即△MF1F2是以M為直角頂點的直角三角形，∵|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，(|MF1|＋|MF2|)2≤2(|MF1|2＋|MF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，∴|MF1|＋|MF2|≤2eq\r(2)c，∴e＝eq\f(|F1F2|,|MF1|＋|MF2|)≥eq\f(2c,2\r(2)c)＝eq\f(\r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝eq\r(2)c時，等號成立，又知0<e<1，∴e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).11、(多選)如圖，兩個橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線C，P是曲線C上的任意一點，下列四個說法正確的為()A．P到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四點的距離之和為定值B．曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱C．曲線C所圍區(qū)域面積必小于36D．曲線C總長度不大于6π解析：易知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)分別為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個焦點，E1(0，－4)，E2(0,4)分別為橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的兩個焦點．若點P僅在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，則P到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和為定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)兩點的距離之和不為定值，故A錯誤；兩個橢圓關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱，則曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱，故B正確；曲線C所圍區(qū)域在邊長為6的正方形內(nèi)部，所以面積必小于36，故C正確；曲線C所圍區(qū)域在半徑為3的圓外部，所以曲線的總長度大于圓的周長6π，故D錯誤．故選B、C12、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P為橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的下頂點，M，N在橢圓上，若四邊形OPMN為平行四邊形，α為直線ON的傾斜角，若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，則橢圓C的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))解析：因為OPMN是平行四邊形，所以MN∥OP且MN＝OP，故yN＝eq\f(a,2)，代入橢圓方程可得xN＝eq\f(\r(3)b,2)，所以kON＝eq\f(\r(3)a,3b)＝tanα.又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，所以eq\f(\r(3),3)<eq\f(\r(3)a,3b)<1，所以a<eq\r(3)b，a2<3(a2－c2)，解得0<eq\f(c,a)<eq\f(\r(6),3)，故選A.13、已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，點M是該橢圓上的一個動點，那么|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|的最小值是()A．4 B．6C．8 D．10解析：設(shè)M(x0，y0)，F(xiàn)1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)．則eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－3－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(3－x0，－y0)，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－2x0，－2y0)，|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|＝eq\r(4xeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0))＝eq\r(4×25（1－\f(yeq\o\al(2,0),16)）＋4yeq\o\al(2,0))＝eq\r(100－\f(9,4)yeq\o\al(2,0))，因為點M在橢圓上，所以0≤yeq\o\al(2,0)≤16，所以當(dāng)yeq\o\al(2,0)＝16時，|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|取最小值為8.故選C.14、設(shè)A，B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是()A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)解析：當(dāng)0＜m＜3時，焦點在x軸上，要使C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(3),\r(m))≥eq\r(3)，解得0＜m≤1.當(dāng)m＞3時，焦點在y軸上，要使C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(m),\r(3))≥eq\r(3)，解得m≥9.故m的取值范圍為(0，1]∪[9，＋∞)．15、設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點.若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)解析：設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點F的坐標(biāo)為(c，0).則c＝eq\r(a2＋b2)，如圖所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2).在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，故eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即e＝eq\r(2).16、(2022·長春市質(zhì)量監(jiān)測)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個頂點分別為A，B，點P為雙曲線上除A，B外任意一點，且點P與點A，B連線的斜率分別為k1，k2，若k1k2＝3，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2x解析：選C.設(shè)點P(x，y)，由題意知k1·k2＝eq\f(y,x－a)·eq\f(y,x＋a)＝eq\f(y2,x2－a2)＝eq\f(y2,\f(a2y2,b2))＝eq\f(b2,a2)＝3，所以其漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，故選C.17、(2022·安徽皖南名校聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其右支上存在一點M，使得eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，直線MF2平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：選D.由eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，得MF1⊥MF2.不妨設(shè)直線MF2平行于雙曲線的漸近線l：bx＋ay＝0，如圖所示，從而得l是線段MF1的垂直平分線，且直線MF1的方程為y＝eq\f(a,b)(x＋c)．設(shè)MF1與l相交于點N(x，y)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(a,b)（x＋c），,y＝－\f(b,a)x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(a2,c)，,y＝\f(ab,c)，))即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，\f(ab,c))).又F1(－c，0)，由中點坐標(biāo)公式，得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(2a2,c)，\f(2ab,c)))，將點M的坐標(biāo)代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(2a2,c)))\s\up12(2),a2)－eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,c)))\s\up12(2),b2)＝1，化簡得c2＝5a2，則離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).故選D.18、(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A．eq\f(\r(7),2) B．eq\f(\r(13),2)C．eq\r(7) D．eq\r(13)解析：設(shè)|PF2|＝m，|PF1|＝3m，則|F1F2|＝eq\r(m2＋9m2－2×3m×m×cos60°)＝eq\r(7)m，所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(\r(7)m,2m)＝eq\f(\r(7),2)．19、(2020·全國Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A．4 B．8C．16 D．32解析：由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x．因為D，E分別為直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線的交點，所以不妨設(shè)D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值為8，故選B．20、已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，在雙曲線上存在點P滿足2|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up7(→))|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1,2] B．[2，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．[eq\r(2)，＋∞)解析：當(dāng)P不是雙曲線與x軸的交點時，連接OP(圖略)，因為OP為△PF1F2的邊F1F2上的中線，所以eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→)))；當(dāng)P是雙曲線與x軸的交點時，同樣滿足上述等式．因為雙曲線上存在點P滿足2|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up7(→))|，所以4|eq\o(PO,\s\up7(→))|≤2c，由|eq\o(PO,\s\up7(→))|≥a，所以a≤|eq\o(PO,\s\up7(→))|≤eq\f(c,2)，所以a≤eq\f(c,2)，所以e≥2．故選B．21、(2020·高考天津卷)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點和點(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1解析：由題知y2＝4x的焦點坐標(biāo)為(1，0)，則過焦點和點(0，b)的直線方程為x＋eq\f(y,b)＝1，而eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝0和eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0，由l與一條漸近線平行，與另一條漸近線垂直，得a＝1，b＝1，故選D.22、已知離心率為eq\f(\r(5),2)的雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點，若S△OMF2＝16，則雙曲線的實軸長是()A．32 B．16C．84 D．4解析：選B.由題意知F2(c，0)，不妨令點M在漸近線y＝eq\f(b,a)x上，由題意可知|F2M|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a.由S△OMF2＝16，可得eq\f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq\r(5)，所以雙曲線C的實軸長為16.故選B.23、(2020·新高考卷Ⅰ改編)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列說法錯誤的是()A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為eq\r(n)C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，則C是兩條直線解析：選B.對于A，若m＞n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，因為m>n>0，所以0<eq\f(1,m)＜eq\f(1,n)，即曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，若m＝n>0，則mx2＋ny2＝1可化為x2＋y2＝eq\f(1,n)，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為eq\f(\r(n),n)的圓，故B不正確；對于C，若mn<0，則mx2＋ny2＝1可化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，此時曲線C表示雙曲線．由mx2＋ny2＝0可得y＝±eq\r(－\f(m,n))x，故C正確；對于D，若m＝0，n>0，則mx2＋ny2＝1可化為y2＝eq\f(1,n)，y＝±eq\f(\r(n),n)，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．故選B.＝－1，b＝1，故選D.24、(多選)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq\f(x2,m＋n)－eq\f(y2,m－n)＝1的左、右焦點，且|F1F2|＝4，則下列結(jié)論正確的有()A．m＝2B．當(dāng)n＝0時，C的離心率是2C．F1到漸近線的距離隨著n的增大而減小D．當(dāng)n＝1時，C的實軸長是虛軸長的兩倍解析：AC對于選項A：由雙曲線的方程可得a2＝m＋n，b2＝m－n，所以c2＝a2＋b2＝m＋n＋m－n＝2m，因為2c＝4，所以c＝2，所以c2＝2m＝4，可得m＝2，故選項A正確；對于選項B：當(dāng)n＝0時，雙曲線C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，此時a2＝b2＝2，c2＝4，所以離心率e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(2)，故選項B不正確；對于選項C：雙曲線C：eq\f(x2,m＋n)－eq\f(y2,m－n)＝1中，由選項A知：m＝2，a2＝2＋n，b2＝2－n，雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，不妨取焦點F1(－2,0)，則F1到漸近線的距離d＝eq\f(|－2b|,\r(4))＝b＝eq\r(2－n)，所以F1到漸近線的距離隨著n的增大而減小，故選項C正確；對于選項D：當(dāng)n＝1時，a＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，b＝eq\r(2－1)＝1，所以實軸長為2eq\r(3)，虛軸長為2，不滿足C的實軸長是虛軸長的兩倍，故選項D不正確．故選A、C．25、(多選)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2－eq\f(y2,b)＝1的左、右焦點，過F2作x軸的垂線與C交于A，B兩點，若△ABF1為正三角形，則()A．b＝2 B．C的焦距為2eq\r(5)C．C的離心率為eq\r(3) D．△ABF1的面積為4eq\r(3)解析：ACD設(shè)|AF2|＝t，則|AF1|＝2t，|F1F2|＝eq\r(3)t，離心率e＝eq\f(|F1F2|,|AF1|－|AF2|)＝eq\r(3)，選項C正確．因此eq\r(1＋\f(b,1))＝eq\r(3)，b＝2，選項A正確．|F1F2|＝2eq\r(1＋b)＝2eq\r(3)，選項B錯誤．△ABF1的面積為eq\f(1,2)|F1F2|eq\f(2b,1)＝4eq\r(3)，選項D正確．故選A、C、D．26、(多選)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e1，橢圓C1的上頂點為M，且eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，雙曲線C2和橢圓C1有相同焦點，且雙曲線C2的離心率為e2，P為曲線C1與C2的一個公共點．若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，則下列各項正確的是()A．eq\f(e2,e1)＝2 B．e1e2＝eq\f(\r(3),2)C．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(5,2) D．eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝1解析：BD因為eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0且|eq\o(MF1,\s\up7(→))|＝|eq\o(MF2,\s\up7(→))|，所以△MF1F2為等腰直角三角形．設(shè)橢圓的半焦距為c，則c＝b＝eq\f(\r(2),2)a，所以e1＝eq\f(\r(2),2)．在三角形PF1F2中，∠F1PF2＝eq\f(π,3)，設(shè)PF1＝x，PF2＝y(tǒng)，雙曲線C2的實半軸長為a′，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－xy＝4c2，,x＋y＝2\r(2)c，,|x－y|＝2a′，))故xy＝eq\f(4,3)c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝eq\f(8c2,3)，所以(a′)2＝eq\f(2c2,3)，即e2＝eq\f(\r(6),2)，故eq\f(e2,e1)＝eq\r(3)，e1e2＝eq\f(\r(3),2)，eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2，eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝1，故選B、D．27、已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)解析：由題意，可得F(1，0)，直線l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.將x＝－1代入y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(b,a)，所以點A，B的縱坐標(biāo)的絕對值均為eq\f(b,a).由|AB|＝4|OF|可得eq\f(2b,a)＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(5).28、已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線為l，過點F2且與l平行的直線交雙曲線C于點M，若|MF1|＝2|MF2|，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.eq\r(5) D.eq\r(6)解析：不妨設(shè)漸近線l的方程為y＝eq\f(b,a)x，則點M在第四象限，由雙曲線的定義知|MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，所以|MF1|＝4a，|MF2|＝2a.設(shè)過點F2且與l平行的直線的傾斜角為α，則tanα＝eq\f(b,a)，所以cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))＝eq\f(a,c)，所以cos∠F1F2M＝eq\f(a,c).在△F1F2M中，由余弦定理cos∠F1F2M＝eq\f(|F1F2|2＋|MF2|2－|F1M|2,2|F1F2|·|MF2|)，得eq\f(a,c)＝eq\f(（2c）2＋（2a）2－（4a）2,2·2c·2a)，整理得c2＝5a2，即c＝eq\r(5)a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).29、已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4eq\r(2)，且兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的實軸長為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B.因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線為y＝±eq\f(b,a)x，兩條漸近線互相垂直，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)＝－1，得a＝b.因為雙曲線的焦距為4eq\r(2)，所以c＝2eq\r(2)，由c2＝a2＋b2可知2a2＝8，所以a＝2，所以實軸長2a＝4.故選B.30、已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：選D.由題意，可得F(1，0)，直線l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.將x＝－1代入y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(b,a)，所以點A，B的縱坐標(biāo)的絕對值均為eq\f(b,a).由|AB|＝4|OF|可得eq\f(2b,a)＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(5).31、(2021·高考全國卷甲)已知F