2020-2021學(xué)年天津市紅橋區(qū)高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2020-2021學(xué)年天津市紅橋區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共9小題）.1．i是虛數(shù)單位，計(jì)算的結(jié)果為（）A．﹣i B．i C．﹣2i D．2i2．已知平面向量＝（1，2），＝（﹣2，m），且∥，則m的值為（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣43．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝2+i，則z的共軛復(fù)數(shù)＝（）A．﹣2+i B．B﹣i C．2﹣i D．﹣2﹣i4．為了了解全校240名高一學(xué)生的身高情況，從中抽取40名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，下列說(shuō)法正確的是（）A．總體是240 B．個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生 C．樣本是40名學(xué)生 D．樣本容量是405．已知向量＝（3，﹣1，2），＝（x，y，﹣4），且∥，則x+y＝（）A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣86．已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是（）A．平均數(shù)＞中位數(shù)＞眾數(shù) B．平均數(shù)＜中位數(shù)＜眾數(shù) C．中位數(shù)＜眾數(shù)＜平均數(shù) D．眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù)7．已知向量＝（1，x），＝（﹣1，x），若2﹣與垂直，則||＝（）A． B． C．2 D．48．設(shè)l是直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β9．長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積是120，若E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E﹣BCD的體積為（）A．10 B．20 C．30 D．40二、填空題：共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．10．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，為掌握各類(lèi)超市的營(yíng)業(yè)情況．現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個(gè)容最為200的樣本，應(yīng)抽取中型超市家．11．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1﹣2i）（a+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．12．已知||＝3，||＝2，若?＝﹣3，則與夾角的大小為．13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a2+c2﹣b2＝ac，則角B的大小為．14．棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為．15．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若?＝1，則λ的值為．三、解答題：共4個(gè)小題，共40分．16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．17．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且2asinB＝b．（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤鬭＝3，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．18．四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，DC＝SD＝2，點(diǎn)M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，AD＝．（Ⅰ）求異面直線CD與BM所成角的大小；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的正弦值．19．如圖，四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD＝PD＝2EA＝2，F(xiàn)，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn)．（1）求證：FG∥平面PED；（2）求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小；（3）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使直線FM與直線PA所成的角為？若存在，求出線段PM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．i是虛數(shù)單位，計(jì)算的結(jié)果為（）A．﹣i B．i C．﹣2i D．2i解：＝．故選：A．2．已知平面向量＝（1，2），＝（﹣2，m），且∥，則m的值為（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4解：∵∥∴1×m＝2×（﹣2）∴m＝﹣4故選：D．3．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝2+i，則z的共軛復(fù)數(shù)＝（）A．﹣2+i B．B﹣i C．2﹣i D．﹣2﹣i解：因?yàn)閦＝2+i，所以z的共軛復(fù)數(shù)＝2﹣i．故選：C．4．為了了解全校240名高一學(xué)生的身高情況，從中抽取40名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，下列說(shuō)法正確的是（）A．總體是240 B．個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生 C．樣本是40名學(xué)生 D．樣本容量是40解：本題考查的對(duì)象是240名高一學(xué)生的身高情況，故總體是240名高一學(xué)生的身高情況；個(gè)體是每個(gè)學(xué)生的身高情況；樣本是40名學(xué)生的身高情況，故樣本容量是40．故選：D．5．已知向量＝（3，﹣1，2），＝（x，y，﹣4），且∥，則x+y＝（）A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8解：∵向量＝（3，﹣1，2），＝（x，y，﹣4），且∥，∴，解得x＝﹣6，y＝2，x+y＝﹣6+2＝﹣4．故選：C．6．已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是（）A．平均數(shù)＞中位數(shù)＞眾數(shù) B．平均數(shù)＜中位數(shù)＜眾數(shù) C．中位數(shù)＜眾數(shù)＜平均數(shù) D．眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù)解：一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80，它的平均數(shù)為×（20+30+40+50+50+60+70+80）＝50，中位數(shù)為×（50+50）＝50，眾數(shù)為50；∴它們的大小關(guān)系是平均數(shù)＝中位數(shù)＝眾數(shù)．故選：D．7．已知向量＝（1，x），＝（﹣1，x），若2﹣與垂直，則||＝（）A． B． C．2 D．4【解答】解∵，，∴2＝（3，x），由?3×（﹣1）+x2＝0，解得x＝﹣，或x＝，∴或，∴||＝，或||＝．故選：C．8．設(shè)l是直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解：若l∥α，l∥β，則α∥β或α，β相交，故A不正確；根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得：若l∥α，經(jīng)過(guò)l的直線與α的交線為m，則l∥m，∵l⊥β，∴m⊥β，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故B正確；若l⊥α，α⊥β，則l?β或l∥β，故C錯(cuò)誤；作出正方體ABCD﹣A′B′C′D′，設(shè)平面ABCD為α，ADD′A′為β，則α⊥β，觀察正方體，得到：B′C′∥α，且B′C′∥β；A′D′∥α，且A′D′?β；A′B′∥α，且A′B′與β相交．∴面α、β及直線l滿足：α⊥β，l∥α，則一定有l(wèi)∥β或l?β或l與β相交，故D不正確．故選：B．9．長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積是120，若E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E﹣BCD的體積為（）A．10 B．20 C．30 D．40解：如圖，不妨設(shè)AB＝a，BC＝b，CC1＝c，則abc＝120，則＝．故選：A．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．10．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，為掌握各類(lèi)超市的營(yíng)業(yè)情況．現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個(gè)容最為200的樣本，應(yīng)抽取中型超市40家．解：依題意，抽樣比為＝，而中型超市有400家，故應(yīng)抽取中型超市400×＝40家．故填：40．11．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1﹣2i）（a+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為﹣2．解：由（1﹣2i）（a+i）＝（a+2）+（1﹣2a）i為純虛數(shù)，得，解得：a＝﹣2．故答案為：﹣2．12．已知||＝3，||＝2，若?＝﹣3，則與夾角的大小為．解：設(shè)與夾角的大小為θ，θ∈[0，π]，∵＝||?||?cosθ＝3?2?cosθ＝﹣3，∴cosθ＝﹣，θ＝，故答案為：．13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a2+c2﹣b2＝ac，則角B的大小為．解：cosB＝，又B∈（0，π），所以．故答案為．14．棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為3π．解：∵棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，∴球的直徑是正方體的對(duì)角線，∴球的半徑是r＝，∴球的表面積是4×＝3π故答案為：3π．15．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若?＝1，則λ的值為2．解：∵BC＝3BE，DC＝λDF，∴＝，＝，＝+＝+＝+，＝+＝+＝+，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，∴||＝||＝2，?＝2×2×cos120°＝﹣2，∵?＝1，∴（+）?（+）＝++（1+）?＝1，即×4+×4﹣2（1+）＝1，整理得，解得λ＝2，故答案為：2．三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共40分．解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．解：（Ⅰ）由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，所以36＝4c2+c2﹣2?2c2?，即c2＝12，所以c＝2，a＝2c＝4．（Ⅱ）△ABC的面積S＝acsinB＝?4?2?＝6．17．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且2asinB＝b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．解：（I）∵2asinB＝b，∴由正弦定理，可得，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，sinA＝，∵△ABC為銳角三角形，∴．（II）∵△ABC的面積為，∴＝＝，解得bc＝，在△ABC中，運(yùn)用余弦定理，可得a2＝b2+c2﹣2bc?cosA，∴，即（b+c）2＝25，∴△ABC的周長(zhǎng)a+b+c＝3+5＝8．18．四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，DC＝SD＝2，點(diǎn)M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，AD＝．（Ⅰ）求異面直線CD與BM所成角的大小；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的正弦值．解：（Ⅰ）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，M（0，1，1），所以，則＝，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為，所以異面直線CD與BM所成角的大小為；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，設(shè)平面SAM的法向量為，則，即，令z＝1，則，設(shè)平面AMB的法向量為，則，即，令a＝1，則，所以＝＝，故二面角S﹣AM﹣B的正弦值為＝．19．如圖，四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD＝PD＝2EA＝2，F(xiàn)，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn)．（1）求證：FG∥平面PED；（2）求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大?。唬?）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使直線FM與直線PA所成的角為？若存在，求出線段PM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：因?yàn)镕，G分別為PB，BE的中點(diǎn)，所以FG∥PE．又FG?平面PED，PE?平面PED，所以FG∥平面PED．（2）解：因?yàn)镋A⊥平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD⊥CD．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳D＝PD＝2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．因?yàn)镕，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn)，所以F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）．所以，