萬有引力定律應(yīng)用的12種典型案例

PAGEPAGEPAGE32萬有引力定律應(yīng)用的12種典型案例【案例1】天體的質(zhì)量與密度的估算下列哪一組數(shù)據(jù)能夠估算出地球的質(zhì)量A.月球繞地球運(yùn)行的周期與月地之間的距離B.地球表面的重力加速度與地球的半徑C.繞地球運(yùn)行衛(wèi)星的周期與線速度D.地球表面衛(wèi)星的周期與地球的密度解析：人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動。月球也是地球的一顆衛(wèi)星。設(shè)地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T，軌道半徑為r根據(jù)萬有引力定律：……①得：……②可見A正確而……由②③知C正確對地球表面的衛(wèi)星，軌道半徑等于地球的半徑，r=R……④由于……⑤結(jié)合②④⑤得：可見D錯誤地球表面的物體，其重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力由得：可見B正確【探討評價】根據(jù)牛頓定律，只能求出中心天體的質(zhì)量，不能解決環(huán)繞天體的質(zhì)量；能夠根據(jù)已知條件和已知的常量，運(yùn)用物理規(guī)律估算物理量，這也是高考對學(xué)生的要求。總之，牛頓萬有引力定律是解決天體運(yùn)動問題的關(guān)鍵?！景咐?】普通衛(wèi)星的運(yùn)動問題我國自行研制發(fā)射的“風(fēng)云一號”“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是不同的?！帮L(fēng)云一號”是極地圓形軌道衛(wèi)星，其軌道平面與赤道平面垂直，周期為12h，“風(fēng)云二號”是同步軌道衛(wèi)星，其運(yùn)行軌道就是赤道平面,周期為24h。問：哪顆衛(wèi)星的向心加速度大？哪顆衛(wèi)星的線速度大？若某天上午8點，“風(fēng)云一號”正好通過赤道附近太平洋上一個小島的上空，那么“風(fēng)云一號”下次通過該島上空的時間應(yīng)該是多少？解析：本題主要考察普通衛(wèi)星的運(yùn)動特點及其規(guī)律由開普勒第三定律T2正比r3知：“風(fēng)云二號”衛(wèi)星的軌道半徑較大又根據(jù)牛頓萬有引力定律得：，可見“風(fēng)云一號”衛(wèi)星的向心加速度大，，可見“風(fēng)云一號”衛(wèi)星的線速度大，“風(fēng)云一號”下次通過該島上空，地球正好自轉(zhuǎn)一周，故需要時間24h，即第二天上午8點鐘?！咎接懺u價】由萬有引力定律得：，，，得：⑴所有運(yùn)動學(xué)量量都是r的函數(shù)。我們應(yīng)該建立函數(shù)的思想。⑵運(yùn)動學(xué)量v、a、ω、f隨著r的增加而減小，只有T隨著r的增加而增加。⑶任何衛(wèi)星的環(huán)繞速度不大于7.9km/s，運(yùn)動周期不小于85min。⑷學(xué)會總結(jié)規(guī)律，靈活運(yùn)用規(guī)律解題也是一種重要的學(xué)習(xí)方法?！景咐?】同步衛(wèi)星的運(yùn)動下列關(guān)于地球同步衛(wèi)星的說法中正確的是：A、為避免通訊衛(wèi)星在軌道上相撞，應(yīng)使它們運(yùn)行在不同的軌道上B、通訊衛(wèi)星定點在地球赤道上空某處，所有通訊衛(wèi)星的周期都是24hC、不同國家發(fā)射通訊衛(wèi)星的地點不同，這些衛(wèi)星的軌道不一定在同一平面上D、不同通訊衛(wèi)星運(yùn)行的線速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。解析：本題考察地球同步衛(wèi)星的特點及其規(guī)律。同步衛(wèi)星運(yùn)動的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，T=24h，角速度ω一定根據(jù)萬有引力定律得知通訊衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是一定的，離開地面的高度也是一定的。地球?qū)πl(wèi)星的引力提供了衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力，因此同步衛(wèi)星只能以地心為為圓心做圓周運(yùn)動，它只能與赤道同平面且定點在赤道平面的正上方。故B正確，C錯誤。不同通訊衛(wèi)星因軌道半徑相同，速度大小相等，故無相對運(yùn)動，不會相撞，A錯誤。由知：通訊衛(wèi)星運(yùn)行的線速度、向心加速度大小一定。故正確答案是：B、D【探討評價】通訊衛(wèi)星即地球同步通訊衛(wèi)星，它的特點是：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，角速度相同；與地球赤道同平面，在赤道的正上方，高度一定，繞地球做勻速圓周運(yùn)動；線速度、向心加速度大小相同。三顆同步衛(wèi)星就能覆蓋地球?！景咐?】“雙星”問題Om2m1rOm2m1r1r2⑴兩星體各做什么運(yùn)動？⑵兩星的軌道半徑各多大？⑶兩星的速度各多大？解析：本題主要考察雙星的特點及其運(yùn)動規(guī)律⑴由于雙星之間只存在相互作用的引力，質(zhì)量不變，距離一定，則引力大小一定，根據(jù)牛頓第二定律知道，每個星體的加速度大小不變。因此它們只能做勻速圓周運(yùn)動。⑵由牛頓定律……①得：又……②解得：……③⑶由①得：【探討評價】雙星的特點就是距離一定，它們間只存在相互作用的引力，引力又一定，從而加速度大小就是一個定值，這樣的運(yùn)動只能是勻速圓周運(yùn)動。這個結(jié)論很重要。同時利用對稱性，巧妙解題，找到結(jié)論的規(guī)律，搞清結(jié)論的和諧美與對稱美對我們以后的學(xué)習(xí)也很有幫助?！景咐?】“兩星”問題地球如圖是在同一平面不同軌道上運(yùn)行的兩顆人造地球衛(wèi)星。設(shè)它們運(yùn)行的周期分別是T1、T2，(T1＜T2)，且某時刻兩衛(wèi)星相距最近。問：地球⑴兩衛(wèi)星再次相距最近的時間是多少？⑵兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間是多少？解析：本題考察同一平面不同軌道上運(yùn)行的兩顆人造地球衛(wèi)星的位置特點及其衛(wèi)星的運(yùn)動規(guī)律⑴依題意，T1＜T2，周期大的軌道半徑大，故外層軌道運(yùn)動的衛(wèi)星運(yùn)行一周的時間長。設(shè)經(jīng)過△t兩星再次相距最近則它們運(yùn)行的角度之差……①……②解得：⑵兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時，它們運(yùn)行的角度之差……③……④k=0.1.2……解得：……⑤k=0.1.2……【探討評價】曲線運(yùn)動求解時間，常用公式φ=ωt；通過作圖，搞清它們轉(zhuǎn)動的角度關(guān)系，以及終邊相同的角，是解決這類問題的關(guān)鍵?！景咐?】同步衛(wèi)星的發(fā)射問題地球P地球PQv2v1v2/v3123⑴比較衛(wèi)星經(jīng)過軌道1、2上的Q點的加速度的大小；以及衛(wèi)星經(jīng)過軌道2、3上的P點的加速度的大?、圃O(shè)衛(wèi)星在軌道1、3上的速度大小為v1、v3，在橢圓軌道上Q、P點的速度大小分別是v2、v2/，比較四個速度的大小解析：同步衛(wèi)星的發(fā)射有兩種方法，本題提供了同步衛(wèi)星的一種發(fā)射方法，并考察了衛(wèi)星在不同軌道上運(yùn)動的特點。⑴根據(jù)牛頓第二定律，衛(wèi)星的加速度是由于地球吸引衛(wèi)星的引力產(chǎn)生的。即：可見衛(wèi)星在軌道2、3上經(jīng)過P點的加速度大小相等；衛(wèi)星在軌道1、2上經(jīng)過Q點的加速度大小也相等；但P點的加速度小于Q點的加速度。⑵1、3軌道為衛(wèi)星運(yùn)行的圓軌道，衛(wèi)星只受地球引力做勻速圓周運(yùn)動由得：可見：v1＞v3由開普勒第二定律知，衛(wèi)星在橢圓軌道上的運(yùn)動速度大小不同，近地點Q速度大，遠(yuǎn)地點速度小，即：v2＞v2/衛(wèi)星由近地軌道向橢圓軌道運(yùn)動以及由橢圓軌道向同步軌道運(yùn)動的過程中，引力小于向心力，，衛(wèi)星做離心運(yùn)動，因此隨著軌道半徑r增大，衛(wèi)星運(yùn)動速度增大，它做加速運(yùn)動，可見：v2＞v1，v3＞v2/因此：v2＞v1＞v3＞v2/【探討評價】衛(wèi)星運(yùn)動的加速度是由地球?qū)πl(wèi)星的引力提供的，所以研究加速度首先應(yīng)考慮牛頓第二定律；衛(wèi)星向外軌道運(yùn)行時，做離心運(yùn)動，半徑增大，速度必須增大，只能做加速運(yùn)動。同步衛(wèi)星是怎樣發(fā)射的呢？通過上面的例題及教材學(xué)習(xí)，我們知道：同步衛(wèi)星的發(fā)射有兩種方法，一是直接發(fā)射到同步軌道；二是先發(fā)射到近地軌道，然后再加速進(jìn)入橢圓軌道，再加速進(jìn)入地球的同步軌道。【案例7】“連續(xù)群”與“衛(wèi)星群”土星的外層有一個環(huán)，為了判斷它是土星的一部分，即土星的“連續(xù)群”，還是土星的“衛(wèi)星群”，可以通過測量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系來判斷：若v∝R，則該層是土星的連續(xù)群若v2∝R，則該層是土星的衛(wèi)星群若，則該層是土星的連續(xù)群若，則該層是土星的衛(wèi)星群解析：本題考察連續(xù)物與分離物的特點與規(guī)律⑴該環(huán)若是土星的連續(xù)群，則它與土星有共同的自轉(zhuǎn)角速度，，因此v∝R⑵該環(huán)若是土星的衛(wèi)星群，由萬有引力定律得：故A、D正確【探討評價】土星也在自轉(zhuǎn)，能分清環(huán)是土星上的連帶物，還是土星的衛(wèi)星，搞清運(yùn)用的物理規(guī)律，是解題的關(guān)鍵。同時也要注意，衛(wèi)星不一定都是同步衛(wèi)星?！景咐?】宇宙空間站上的“完全失重”問題假定宇宙空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動，則在空間站上，下列實驗不能做成的是：A、天平稱物體的質(zhì)量B、用彈簧秤測物體的重量C、用測力計測力D、用水銀氣壓計測飛船上密閉倉內(nèi)的氣體壓強(qiáng)E、用單擺測定重力加速度F、用打點計時器驗證機(jī)械能守恒定律解析：本題考察了宇宙空間站上的“完全失重”現(xiàn)象。宇宙飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動時，地球?qū)︼w船的引力提供了向心加速，可見……①對于飛船上的物體，設(shè)F為“視重”，根據(jù)牛頓第二定律得：……②解得：F=0，這就是完全失重在完全失重狀態(tài)下，引力方向上物體受的彈力等于零，物體的重力等于引力，因此只有C、F實驗可以進(jìn)行。其它的實驗都不能進(jìn)行。【探討評價】當(dāng)物體的加速度等于重力加速度時，引力方向上物體受的彈力等于零，但物體的重力并不等于零；在衛(wèi)星上或宇宙空間站上人可以做機(jī)械運(yùn)動，但不能測定物體的重力?！景咐?】黑洞問題“黑洞”問題是愛因斯坦廣義相對論中預(yù)言的一種特殊的天體。它的密度很大，對周圍的物質(zhì)（包括光子）有極強(qiáng)的吸引力。根據(jù)愛因斯坦理論，光子是有質(zhì)量的，光子到達(dá)黑洞表面時，也將被吸入，最多恰能繞黑洞表面做圓周運(yùn)動。根據(jù)天文觀察，銀河系中心可能有一個黑洞，距離可能黑洞為6.0×1012m遠(yuǎn)的星體正以2.0×106m/s的速度繞它旋轉(zhuǎn)，據(jù)此估算該可能黑洞的最大半徑是多少？（保留一位有效數(shù)字）解析：本題考察“黑洞”的基本知識，這是一道信息題。黑洞做為一種特殊的天體，一直受到人們廣泛的關(guān)注,種種跡象表明,它確實存在于人的視野之外。黑洞之黑，就在于光子也逃不出它的引力約束。光子繞黑洞做勻速圓周運(yùn)動時，它的軌道半徑就是黑洞的最大可能半徑。設(shè)光子的質(zhì)量為m，黑洞的質(zhì)量為M，黑洞的最大可能半徑為R，光子的速度為c根據(jù)牛頓定律……①得：對銀河系中的星體,設(shè)它的質(zhì)量為m/,它也在繞黑洞旋轉(zhuǎn),因此……②由①②解得：【探討評價】通過上面的數(shù)據(jù)分析我們知道，黑洞是一種特殊的天體，它的質(zhì)量、半徑都很大，因此它對周圍星體的引力特別大，任何物質(zhì)（包括光子）都將被它吸入，這就是“黑洞”命名的緣由。黑洞是否真正存在，其運(yùn)動特點和規(guī)律到底怎么樣，同學(xué)們可以上網(wǎng)查資料，充分考查研究。希望同學(xué)們將來成為真正的宇宙探秘科學(xué)家。我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)課本的閱讀材料，能用中學(xué)物理知識分析解決科技中的問題?！景咐?0】宇宙膨脹問題在研究宇宙發(fā)展演變的理論中，有一種學(xué)說叫做“宇宙膨脹說”，這種學(xué)說認(rèn)為萬有引力常量G在緩慢地減小，根據(jù)這一理論，在很久很久以前，太陽系中地球的公轉(zhuǎn)情況與現(xiàn)在相比較，⑴公轉(zhuǎn)半徑如何變化？⑵公轉(zhuǎn)周期如何變化？⑶公轉(zhuǎn)線速度如何變化？要求寫出必要的推理依據(jù)和推理過程。解析：這也是一道信息題，主要考察同學(xué)們運(yùn)用萬有引力定律推理分析的能力。所提供的信息就是“引力常量在緩慢地減小”。在漫長的宇宙演變過程中，由于“G”在減小，地球所受的引力在變化，故地球公轉(zhuǎn)的半徑、周期速度都在發(fā)生變化。即地球不再做勻速圓周運(yùn)動。但由于G減小的非常緩慢，故在較短的時間內(nèi)，可以認(rèn)為地球仍做勻速圓周運(yùn)動——引力提供向心力。設(shè)M為太陽的質(zhì)量，m為地球的質(zhì)量，r為地球公轉(zhuǎn)的半徑，T為地球公轉(zhuǎn)的周期，v為地球公轉(zhuǎn)的速率。⑴根據(jù)得：G↓→↓→→地球做離心運(yùn)動→軌道半徑r↑→星球間距增大→宇宙膨脹→很久以前地球公轉(zhuǎn)半徑比現(xiàn)在要小。⑵根據(jù)得：G↓、r↑→T↑→很久以前地球公轉(zhuǎn)周期比現(xiàn)在要?、歉鶕?jù)：知：G↓、r↑→v↓→很久以前地球公轉(zhuǎn)的速率比現(xiàn)在要大【探討評價】本題是根據(jù)信息推理論證題。既然要求寫出推理依據(jù)以及推理過程，這就要求我們充分利用“引力提供向心加速度”的重要規(guī)律，了解信息，明確規(guī)律，搞清變量，嚴(yán)密推理?！景咐?1】月球開發(fā)問題科學(xué)探測表明，月球上至少存在氧、硅、鋁、鐵等豐富的礦產(chǎn)資源。設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷地月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，假定經(jīng)過長時間開采以后，月球和地球仍看做均勻球體，月球仍然在開采前的軌道運(yùn)動，請問：⑴地球與月球的引力怎么變化？⑵月球繞地球運(yùn)動的周期怎么變化？⑶月球繞地球運(yùn)動的速率怎么變化？解析：本題主要考察數(shù)學(xué)在天文學(xué)上的應(yīng)用。⑴由萬有引力定律結(jié)合數(shù)學(xué)知識得：，當(dāng)m=M時，積Mm最大?？梢奙、m相差越大，積越小，而r一定，故F就越?、朴傻茫篏、r一定，M增大，T減?、怯芍篏、r一定，M增大，v增大【探討評價】這也是一道信息題。了解題目信息，明確變量，充分利用數(shù)學(xué)上求極值的幾種方法去思考問題，利用函數(shù)的思想去解決問題，這種方法十分重要?！景咐?2】“宇宙飛船”及能量問題地球宇宙飛船要與正在軌道上運(yùn)行的空間站對接。⑴飛船為了追上軌道空間站，應(yīng)采取什么措施？⑵飛船脫離原來的軌道返回大氣層的過程中，重力勢能如何變化？動能如何變化？機(jī)械能又如何變化？地球解析：本題主要考察飛船運(yùn)行過程中的能量問題。⑴根據(jù)知：在同一運(yùn)行軌道上，宇宙飛船與軌道空間站的運(yùn)行速率是相同的，它不可能追上軌道空間站。當(dāng)飛船在較小的軌道上運(yùn)行時滿足：當(dāng)飛船在較小的軌道上加速運(yùn)動時，隨著速度增大，飛船將做離心運(yùn)動，運(yùn)行軌道半徑增大，逐漸靠近外層軌道r2才能追上飛船?？梢婏w船為了追上軌道空間站，應(yīng)該從較低的軌道上加速運(yùn)行。⑵飛船脫離原來的軌道返回大氣層的過程中，需要制動減速，其運(yùn)動的軌道半徑逐漸減小。由于軌道變化比較慢，制動的阻力又在切線方向,阻力引起的速度的變化很小，所以仍然滿足，可見，飛船的動能增加；由于飛船離地的高度逐