2024屆廣東省茂名市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆廣東省茂名市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（）A. B.C. D.2．已知圓：，是直線的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，則的最小值為（）A. B.C. D.3．已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，則這個三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形4．如圖，M為OA的中點(diǎn)，以為基底，，則實(shí)數(shù)組等于（）A. B.C. D.5．已知等比數(shù)列中，，前三項之和，則公比的值為（）A1 B.C.1或 D.或6．下列說法中正確的是（）A.存在只有4個面的棱柱 B.棱柱的側(cè)面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長都相等 D.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形7．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則以的最小值為（）A B.C. D.8．若拋物線與直線：相交于兩點(diǎn)，則弦的長為（）A.6 B.8C. D.9．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角余弦值為（）A. B.C. D.10．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°11．已知兩直線與，則與間的距離為（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關(guān)系為________14．已知函數(shù)，，對一切，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.15．已知數(shù)列滿足（），設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________16．已知圓M過，，且圓心M在直線上.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線m截圓M所得弦長為，求直線m的方程；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，短軸長等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求.19．（12分）如圖，已知正四棱錐中，O為底面對角線的交點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.20．（12分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線平面所成的角的正弦值21．（12分）三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)在線段上.（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，滿足，點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)使得二面角的余弦值為.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義判斷【詳解】由題意得，圖象上某點(diǎn)處的切線斜率隨增大而減小，滿足要求的只有A故選：A2、A【解析】根據(jù)題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長定理，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設(shè)四邊形的面積為，由題設(shè)及圓的切線性質(zhì)得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A3、B【解析】根據(jù)題意求出，結(jié)合余弦定理分情況討論即可.【詳解】解：因為，所以.由題意得，利用余弦定理得：.當(dāng)，即時，，即，解得：.此時三角形為等邊三角形；當(dāng)，即時，,不成立.所以三角形的形狀是等邊三角形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】根據(jù)空間向量減法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以實(shí)數(shù)組故選：B5、C【解析】根據(jù)條件列關(guān)于首項與公比的方程組，即可解得公比，注意等比數(shù)列求和公式使用條件.【詳解】等比數(shù)列中，，前三項之和，若，，，符合題意；若，則，解得，即公比的值為1或，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式以及基本量計算，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】對于A、B：由棱柱的定義直接判斷；對于C：由正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等，即可判斷；對于D：由球的表面不能展開成平面圖形即可判斷【詳解】對于A：棱柱最少有5個面，則A錯誤；對于B：棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，則B正確；對于C：正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等，則C錯誤；對于D：球的表面不能展開成平面圖形，則D錯誤故選：B7、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題8、B【解析】由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線上，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求解.【詳解】解：由題得.由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線上，設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程得,所以.所以.故選：B9、D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.10、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進(jìn)而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B11、B【解析】把直線的方程化簡，再利用平行線間距離公式直接計算得解.【詳解】直線的方程化為：，顯然，，所以與間的距離為.故選：B12、C【解析】采用疊加法求出，由可得，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)分析在或6取到最小值，代值運(yùn)算即可求解.【詳解】因為，所以，，，，式相加可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)取到，但，，所以時，當(dāng)時，，，所以的最小值為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、a＞b【解析】構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.14、【解析】通過分離參數(shù)，得到關(guān)于x的不等式；再構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求得a的取值范圍【詳解】因為，代入解析式可得分離參數(shù)a可得令（）則，令解得所以當(dāng)0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減當(dāng)1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）在x=1時取得極小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因為對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題15、【解析】先由條件求出的通項公式，得到，由裂項相消法再求出，根據(jù)不等式恒成立求出參數(shù)的范圍即可.【詳解】當(dāng)時，有當(dāng)時，由①有②由①－②得：所以，當(dāng)時也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和以及數(shù)列不等式問題，屬于中檔題.16、（1）（2）或【解析】(1)首先由條件設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將圓上兩點(diǎn)代入，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分斜率不存在和存在兩種情況，分別根據(jù)弦長公式，求得直線方程.【小問1詳解】圓心在直線上，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓過點(diǎn)，，，解得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】①當(dāng)斜率不存在時，直線m的方程為：，直線m截圓M所得弦長為，符合題意②當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線m：，圓心M到直線m的距離為根據(jù)垂徑定理可得，，，解得直線m方程為或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)證明，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，，計算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，取得到，，設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.18、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓頂點(diǎn)可知，又短軸長等于焦距可知，求出，即可寫出橢圓方程（2）根據(jù)“點(diǎn)差法”可求直線的斜率，寫出直線方程，聯(lián)立橢圓方程可得，，代入弦長公式即可求解.【詳解】（1）依題意，解得.故橢圓方程為.（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，，直線的斜率顯然存在，設(shè)斜率為，則，兩式相減得，整理得.因為線段的中點(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，則，，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，“點(diǎn)差法”，弦長公式，屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定推理作答.（2）利用正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面垂直的判定推理作答.小問1詳解】在正四棱錐中，由正方形得：，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在正四棱錐中，O為底面對角線的交點(diǎn)，則O是AC，BD的中點(diǎn)，而，，則，，因，平面，所以平面.20、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由已知條件可得，，則，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接，可證得平面，從而是與平面所成的角，然后在求解即可【詳解】（1）證明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是與平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直線與平面所成的角的正弦值是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面垂直的判定和線面角的求法，解題的關(guān)鍵是通過過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接，然后結(jié)合條件可證得是與平面所成的角，從而在三角形中求解即可，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】證明：因為，，則且，，平面，所以為直線與平面所成的線面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)，由（1）可知且，，因為平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，則，由已知可得，解得.當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，二面角的平面角為銳角，合乎題意.綜上所述，.22、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的