2024屆河北衡中清大教育集團(tuán)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆河北衡中清大教育集團(tuán)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的最大值為（）A.32 B.27C.16 D.402．已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知三個(gè)觀測點(diǎn)，在的正北方向，相距，在的正東方向，相距.在某次爆炸點(diǎn)定位測試中，兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到爆炸聲，觀測點(diǎn)晚聽到，已知聲速為，則爆炸點(diǎn)與觀測點(diǎn)的距離是（）A. B.C. D.4．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，過分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，則A.2 B.3C. D.45．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上均為增函數(shù)，則的取值范圍是A. B.C. D.6．方程表示的曲線經(jīng)過的一點(diǎn)是（）A. B.C. D.7．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A.8 B.16C.32 D.648．如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，則線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于（）A.7 B.10C.12 D.149．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；10．設(shè)雙曲線：（，）的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線在第二象限上的點(diǎn)，直線交雙曲線于另一個(gè)點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若直線平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓的蒙日圓的半徑為（）A.3 B.4C.5 D.612．若直線經(jīng)過，,兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且平面，則異面直線與所成角的取值范圍為____________14．過點(diǎn)作圓的切線l，直線與l平行，則直線l過定點(diǎn)_________，與l間的距離為____________15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．若，則橢圓的離心率為______16．半徑為的球的體積為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二次曲線的方程：（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；（2）若雙曲線與直線有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長，求雙曲線方程；（3）為正整數(shù)，且，是否存在兩條曲線，其交點(diǎn)P與點(diǎn)滿足，若存在，求的值；若不存在，說明理由18．（12分）命題p：直線l：與圓C：有公共點(diǎn)，命題q：雙曲線的離心率（1）若p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若為真，為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍19．（12分）已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，，，（1）求證：；（2）求直線PB與平面MQB所成角的正弦值21．（12分）已知等差數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知拋物線焦點(diǎn)是，斜率為的直線l經(jīng)過F且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）求線段AB的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增,，因此，的最大值為.故選：A2、B【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，從而由可知軸，所以在直角三角形中，，由，可得的范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，的不等式，結(jié)合可得離心率的取值范圍【詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，由軸，可知軸，所以，在直角三角形中，，因?yàn)?，所以，，即，所以，即，即，故，所?故選：B3、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，然后結(jié)合余弦定理解三角形即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)爆炸點(diǎn)為，由于兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到爆炸聲，則點(diǎn)位于的垂直平分線上，又在的正東方向且觀測點(diǎn)晚聽到，則點(diǎn)位于的左側(cè)，，,，設(shè)，則，解得，則爆炸點(diǎn)與觀測點(diǎn)的距離為，故選：D.4、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，∴，故選D.5、A【解析】由，函數(shù)在上均為增函數(shù)，恒成立，,設(shè)，則，又設(shè)，則滿足線性約束條件，畫出可行域如圖所示，由圖象可知在點(diǎn)取最大值為，在點(diǎn)取最小值.則的取值范圍是，故答案選A考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，簡單的線性規(guī)劃6、C【解析】當(dāng)時(shí)可得，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點(diǎn)是，且其它點(diǎn)都不滿足方程，故選：C7、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，即可求出，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列公比為，因?yàn)?、，所以，所以；故選：B8、A【解析】可由橢圓方程先求出，在利用橢圓的定義求出，利用已知求解出，再取的中點(diǎn)，連接，利用中位線，即可求解出線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.【詳解】因?yàn)闄E圓，，所以，結(jié)合得，，取的中點(diǎn)，連接，所以為的中位線，所以.故選：A.9、D【解析】根據(jù)題意，分別按照選項(xiàng)說法列式計(jì)算驗(yàn)證即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項(xiàng)正確.故選：D.10、A【解析】由給定條件寫出點(diǎn)A，F(xiàn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出線段FC的中點(diǎn)坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線列式計(jì)算即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，點(diǎn)，設(shè)，由雙曲線對稱性得，線段FC的中點(diǎn)，因直線平分線段，即點(diǎn)D，A，B共線，于是有，即，即，離心率.故選：A11、A【解析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點(diǎn)即可求出圓的半徑.【詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓的兩條切線的交點(diǎn)在圓上，所以，故選：A12、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線斜率得，結(jié)合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線經(jīng)過，,，∴直線的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過作平面平面，得到在與平面的交線上，連接，證得平面平面，得到點(diǎn)在上，設(shè)正方體的棱長為，且，得到，，設(shè)與所成角為，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】過作平面平面，因?yàn)辄c(diǎn)是底面內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且平面，則平面，即在與平面的交線上，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，同理可證平面，所以平面平面，則平面即為，點(diǎn)在線段上，設(shè)正方體的棱長為，且，則，，可得，設(shè)與所成角為，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，最大值為故答案為14、①.②.##2.4【解析】利用直線與平行，結(jié)合切線的性質(zhì)求出切線的方程，即可確定定點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩條平行線間的距離公式求兩線距離.【詳解】由題意，直線斜率，設(shè)直線的方程為，即∴直線l過定點(diǎn)，由與圓相切，得，解得，∴的方程為，的方程為，則兩直線間的距離為故答案為：；.15、##【解析】由可得，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得為直角三角形，由題意設(shè)，則，由勾股定理可得，再結(jié)合橢圓的定義可求出離心率【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以為直角三角形，即，所以設(shè)，則，所以，得，因?yàn)閯t，所以，所以，即離心率為，故答案為：16、【解析】根據(jù)球的體積公式求解【詳解】根據(jù)球的體積公式【點(diǎn)睛】球的體積公式三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）時(shí)，方程表示橢圓，時(shí)，方程表示雙曲線；（2）；（3）存在，且或或.【解析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)分母都為正，且不相等時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)分母異號時(shí)，方程表示雙曲線（2）將直線與曲線聯(lián)立化簡得：，利用雙曲線與直線有公共點(diǎn)，可確定的范圍，從而可求雙曲線的實(shí)軸，進(jìn)而可得雙曲線方程；（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間無公共點(diǎn)，從而可求【詳解】（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線（2）化簡得：△或所以雙曲線的實(shí)軸為，當(dāng)時(shí)，雙曲線實(shí)軸最長為此時(shí)雙曲線方程為（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)任意兩橢圓之間無公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間無公共點(diǎn)設(shè)，，，2，，，6，7，由橢圓與雙曲線定義及；所以所以這樣的，存在，且或或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：曲線方程的確定可分為兩類：若已知曲線類型，則采用待定系數(shù)法；若曲線類型未知時(shí)，則可利用直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法等求解或者利用分類討論思想求解.18、（1），；（2）.【解析】(1)求出，成立的等價(jià)條件，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若“”為假命題，“”為真命題，則、一真一假，當(dāng)真假時(shí)，求出的取值范圍，當(dāng)假真時(shí)，求出的取值范圍，然后取并集即可得答案【小問1詳解】若命題為真命題，則，解得：，若命題為真命題，則且，，解得，∴，均為真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍是，；【小問2詳解】若為真，為假，則、一真一假；①當(dāng)真假時(shí)，即“”且“或”，則此時(shí)的取值范圍是；當(dāng)假真時(shí)，即“或”且“”，則此時(shí)的取值范圍是；綜上,的取值范圍是19、（1）（2）【解析】（1）由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，得到，再由橢圓的離心率為，求得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由橢圓的對稱性得到，聯(lián)立方程組求得，根據(jù)的面積為，列出方程，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，可得，又由橢圓的離心率為，可得，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：設(shè)，且根據(jù)橢圓的對稱性得，聯(lián)立方程組，整理得，解得，因?yàn)榈拿娣e為，可得，解得.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形可得，再由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角.【小問1詳解】因?yàn)镼為AD的中點(diǎn)，，所以，又因?yàn)槠矫娴酌鍭BCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以【小問2詳解】由題可知QA、QB、QP兩兩互相垂直，以QA為x軸、QB為y軸、QP為z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖，根據(jù)題意，則，，，，，由M是棱PC的中點(diǎn)可知，，設(shè)平面MQB的法向量為，，，則，即令，則，，故平面MQB的一個(gè)法向量為，所以，所以直線PB與平面MQB所成角的正弦值為21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得列出方程組，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的定義，可證數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合前n項(xiàng)和公式，即可得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列