2023-2024學(xué)年湖南省郴州市宜章重點(diǎn)中學(xué)高二（上）半月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖南省郴州市宜章重點(diǎn)中學(xué)高二（上）半月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(0,1)，則A.1+i B.1?i C.2.在正方體ABCD?A.AB，AC，AD B.AB，AA1，AB1

C.D1A13.“m=2”是“直線2x+(mA.充分必要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(0,4)A.(?1,2) B.(25.方程(3x?yA.兩條線段 B.一條線段和一個(gè)圓 C.一條線段和半個(gè)圓 D.一條射線和半個(gè)圓6.軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐P?ABC中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧AB的中點(diǎn)，則異面直線PBA.30°

B.45°

C.60°7.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω

A.φ B.ω C.φω D.8.在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為A.144π B.36π C.9π二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列等式成立的是(

)A.sin26°?cos26°=10..已知點(diǎn)A(?3,?4)，B(6,A.?79 B.?13 C.11.已知直線l：x?y+5=0，過直線上任意一點(diǎn)M作圓C：(x?A.四邊形MACB面積的最小值為47 B.∠AMB最大度數(shù)為60°

C.12.在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足BE=A.|AB|=2|AD|三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若直線y=3x的傾斜角為α，則sin14.某手機(jī)社交軟件可以實(shí)時(shí)顯示兩人之間的直線距離.已知甲在某處?kù)o止不動(dòng)，乙在點(diǎn)A時(shí)，顯示與甲之間的距離為400米，之后乙沿直線從點(diǎn)A點(diǎn)走到點(diǎn)B，當(dāng)乙在點(diǎn)B時(shí)，顯示與甲之間的距離為600米，若A，B兩點(diǎn)間的距離為500米，則乙從點(diǎn)A走到點(diǎn)B的過程中，甲、乙兩人之間距離的最小值為______米.15.若圓C：x2+y2?2x?2y=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線16.直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠B=π2，AB=四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bsinB=asinA+(c?a)18.(本小題12.0分)

已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(?2,?1)，B(4,1)19.(本小題12.0分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y=2x?4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．

(1)若圓心C也在直線y=x?1上，過點(diǎn)20.(本小題12.0分)

第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，而亞運(yùn)會(huì)志愿者的服務(wù)工作是舉辦一屆成功的亞運(yùn)會(huì)的重要保障.為配合亞運(yùn)會(huì)志愿者選拔，某高校舉行了志愿者選拔面試，面試成績(jī)滿分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績(jī)，繪制成如圖頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計(jì)這80名候選者面試成績(jī)平均值x?，眾數(shù)，中位數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.1)

(2)乒乓球項(xiàng)目場(chǎng)地志愿服務(wù)需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通過該項(xiàng)志愿服務(wù)選拔，需要通過抽簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將21.(本小題12.0分)

在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線．

(Ⅰ)已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH/?/平面ABC；

(Ⅱ22.(本小題12.0分)

對(duì)于函數(shù)f(x)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，滿足f(?x0)=?f(x0)，則稱f(x)為“M類函數(shù)”．

(1)已知函數(shù)f(x)=2co答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(0,1)，∴z=i，

∴1+iz=12.【答案】C

【解析】解：因?yàn)橄蛄緿1A1，D1C1，D1D不共面，所以可以作為空間向量的一組基，而其它三組向量都共面，3.【答案】B

【解析】解：直線2x+(m+1)y+4=0與直線3x?my?2=0垂直，

則2×3+(m+14.【答案】D

【解析】解：設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線x?y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)是(a,b)，

則5.【答案】C

【解析】解：由1?x2≥0，解得?1≤x≤1．

∵(3x?y+1)(y?1?x2)=0，∴3x?y6.【答案】C

【解析】解：在直角圓錐P?ABC中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，

則PA=PB=22AB=AC=BC，

過點(diǎn)B作BD/?/AC交底面圓于點(diǎn)D，連接PD，AD，如圖，

則∠7.【答案】A

【解析】解：函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)，ω>0的周期為2πω，

令f(x)=0，可得ωx+φ=kπ+π2，k∈Z，

所以x=kπ+π2?φω，即x=2k8.【答案】B

【解析】解：令長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1的高為h，PD1=x，于是x2+h2=2(4?x)2+h2=10，解得x=h=1，

在△PAD中，∠PDA=∠D9.【答案】BC【解析】解：對(duì)于A，sin26°?cos26°=?(cos26°?sin26°)=?cos12°，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，sin6°?co10.【答案】AB【解析】解：由題意知點(diǎn)A和點(diǎn)B到直線l的距離相等得到|6a+3+1|a2+1=|?3a?4+1|a2+1，

化簡(jiǎn)得611.【答案】AD【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知S四邊形MACB=2S△MAC=|MA|?|ACl=2|MA|，

當(dāng)CM⊥l時(shí)，|MC|有最小值，即|MC|min=|3?0+5|2=42，此時(shí)|MA|min=(42)2?4=27，

所以四邊形MACB面積的最小值為47，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)CM⊥l時(shí)，∠AMB最大，此時(shí)cos∠AMB=cos2∠AMC=1?2s12.【答案】AB【解析】解：在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，BE=2ED，∠BAE=∠DAE=20°，如圖，

對(duì)于A，ABAD=12AB?AEsin∠BAE12AD?AEsin∠DAE=S△ABES△ADE=BEDE=2，有|AB|=2|AD|，A正確；

對(duì)于B13.【答案】35【解析】解：直線y=3x的傾斜角為α，

則tanα=3，

故si14.【答案】150【解析】解：令甲的位置為點(diǎn)C，如圖，在△ABC中，AC=400，AB=500，BC=600，

由余弦定理得cosA=AB2+AC2?BC2215.【答案】[2【解析】解：由圓C：x2+y2?2x?2y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程C：(x?1)2+(y?1)2=2，

可得圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑為r=2，

圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：y=16.【答案】4【解析】解：如下圖所示：

將面AB1C1、面AA1C1沿著AC1延展為一個(gè)平面，

將面AA1B1、面AA1C1沿著AA1延展為一個(gè)平面，連接BB1′，

此時(shí)，線段BB1′的長(zhǎng)即為△B1PQ周長(zhǎng)的最小值，

則AB1=AB2+BB12=1+1=2，AB=1，

由于AB1=AC=17.【答案】解：(1)△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且bsinB=asinA+(c?a)sinC．

所以：b2=a2+(c?a)c，

整理得：cosB=【解析】(1)化簡(jiǎn)已知等式利用余弦定理可求cosB=12，結(jié)合范圍0<B<π，可求B=π3．18.【答案】解：(1)B(4,1)，C(2,3)，

故得到斜率為k=3?12?4=?1，代入點(diǎn)B(4,1)坐標(biāo)可得到直線BC：x+y?5=0，

∴A到BC的距離為|?2?1?5|2=【解析】(1)先求出直線BC的斜率，進(jìn)而可求直線BC的方程，然后求出A到BC的距離，從而可求四邊形面積；

(19.【答案】解：(1)由題設(shè)點(diǎn)C(a,2a?4)，又C也在直線y=x?1上，∴2a?4=a?1，∴a=3，

∴⊙C：(x?3)2+(y?2)2=1，

由題，過A點(diǎn)切線方程可設(shè)為y=kx+3.即kx?y+3=0，

則|3k+1|k2+1=【解析】(1)設(shè)點(diǎn)C(a,2a?4)，又C也在直線y=x?1上求出a，通過圓的方程過A點(diǎn)切線方程可設(shè)為y=kx+20.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可知10(2a+0.025+0.045+0.020)=1，解得a=0.005，

x?=50×10×0.005+60×10×0.025+70×10×0.045+80×10×0.020+90×10×0.005=69.5，

眾數(shù)為70，

因?yàn)榍?組的頻率和為10×0.005+10×0.025=0.3<0.5，前3組的頻率和為10×0.005+10×0.025+10×0.045=0.75>0.5，

所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為m，

則0.3+0.045(m?65)=0.5，解得m≈69.4，

所以中位數(shù)為69.4．

(2)記3名男生分別為A，B，C，記2名女生分別為a，b，則所有抽簽的情況有：

未中簽AB，中簽【解析】(1)由頻率和為1列方程可求出a的值，根據(jù)平均數(shù)的定義可求出x?，由眾數(shù)的定義可求得眾數(shù)，先判斷中位數(shù)的位置，再列方程求解即可；

(21.【答案】(Ⅰ)證明：設(shè)CF的中點(diǎn)為I，連結(jié)GI，HI，

在△CEF中，因?yàn)辄c(diǎn)G，I分別是CE，CF的中點(diǎn)，

所以GI//EF，

又EF/?/OB，則GI//OB，

在△CFB中，因?yàn)镠，I分別是FB，CF的中點(diǎn)，所以HI/?/BC，

又HI∩GI=I，BC∩OB=B，

所以平面GHI//PM?ABC，

又GH?平面GHI，

所以GH/?/平面ABC；

(Ⅱ)解：連結(jié)OO′，則OO′⊥平面ABC，又AB=BC，且AC是圓O【解析】(Ⅰ)利用中位線定理證明GI//OB，HI/?/BC，然后由面面平行的推論證明平面GHI/22.【答案】解：(1)由題意，函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，滿足f(?x0)=?f(x0)，

可得2cos(?x0?π3)=?2cos(x0?π3)，即cos(?x0?π3)=cos(x0?π3)，

化簡(jiǎn)整理，得3cosx0=