河北省邢臺(tái)市五岳聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試題 （含答案解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁河北省邢臺(tái)市五岳聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．若，則（

）A． B．C． D．3．已知為第二象限角，則（

）A． B．C． D．4．在中，D是邊BC上一點(diǎn)，且，E是AD的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．設(shè)，，且，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)則“”是“有3個(gè)零點(diǎn)”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件8．對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要特征，幾何中的軸對(duì)稱，中心對(duì)稱都能給人以美感，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣．如圖，在菱形ABCD中，，，以菱形ABCD的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，P是四個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．3 C．5 D．二、多選題9．已知向量，下列結(jié)論正確的是（

）A．若與垂直，則為定值B．若與互為相反向量，則m與n互為倒數(shù)C．若與垂直，則為定值D．若與互為相反向量，則m與n互為相反數(shù)10．下列函數(shù)中，恰有2個(gè)極值點(diǎn)的有（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)．且，，則下列說法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象D．若，，則12．若函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，則稱為“A函數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)是“A函數(shù)”B．已知函數(shù)，的定義域相同，若是“A函數(shù)”，則也是“A函數(shù)”C．已知，都是“A函數(shù)”，且定義域相同，則也是“A函數(shù)”D．已知，若，是“A函數(shù)”，則三、填空題13．已知，均為單位向量，且，則.14．已知，，且，則的最小值為.15．邯鄲叢臺(tái)又名武靈叢臺(tái)，相傳始建于戰(zhàn)國(guó)趙武靈王時(shí)期，是趙王檢閱軍隊(duì)與觀賞歌舞之地，是古城邯鄲的象征.如圖，某學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量邯鄲叢臺(tái)的高度AB，選取了與臺(tái)底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C，D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)D處測(cè)得叢臺(tái)臺(tái)頂?shù)难鼋菫?，則叢臺(tái)的高度為米（結(jié)果精確到0.1米，取，）.16．已知，則不等式的解集為.四、解答題17．已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)求在上的最值.18．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角A的值；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).19．已知函數(shù)，且.(1)求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求m的取值范圍.20．如圖，在中，，點(diǎn)M在邊BC上，且，.(1)若，求CM的長(zhǎng)；(2)求的最小值.21．已知函數(shù)，．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．22．已知函數(shù)，.(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】根據(jù)題意，由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛?，所?故選：C2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可求得，由共軛復(fù)數(shù)定義可得，作差即可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，.故選：D.3．C【分析】根據(jù)第二象限角的三角函數(shù)值的正負(fù)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，，，則，，，而的取值不確定.故選：C.4．A【分析】用基底表示，再結(jié)合的關(guān)系，即可求得和.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)镈是邊BC上一點(diǎn)，且，所以；又E是AD的中點(diǎn)，所以，則.故選：A.5．C【分析】由奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則．又是偶函數(shù)，所以，所以．故選：C.6．A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式對(duì)題中條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．故選：7．B【分析】令，得到時(shí)，，時(shí)，，構(gòu)造，畫出函數(shù)圖象，得到有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，再結(jié)合對(duì)恒成立，求出，得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，得，故，當(dāng)時(shí)，令，得，則，令函數(shù)的圖象，畫出和的圖象，如圖所示．由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以．故當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”?有3個(gè)零點(diǎn)”的必要不充分條件．故選：B8．A【分析】就和分類討論，后者可根據(jù)對(duì)稱性只需考慮在對(duì)應(yīng)的半圓弧上，前者，后者，而后者可建系處理.【詳解】連接.若，則，若不為零，則，這與題設(shè)矛盾，若為零，則與重合.若，則，設(shè)，故，且三點(diǎn)共線.由對(duì)稱可知只需考慮在對(duì)應(yīng)的半圓弧上.當(dāng)在對(duì)應(yīng)的半圓弧上（除外）時(shí)，總在的延長(zhǎng)線上，故此時(shí).當(dāng)在對(duì)應(yīng)的半圓弧上，總在之間，故此時(shí)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，而，此時(shí).當(dāng)時(shí)，則，由可得，故.，當(dāng)時(shí)，.綜上，故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與向量的線性表示有關(guān)的最值問題中，如果考慮基底向量前系數(shù)的和的最值，則可利用三點(diǎn)共線構(gòu)造系數(shù)和的幾何意義，這樣便于求最值.9．AD【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系可判斷AC，利用相反向量的概念結(jié)合條件可判斷BD.【詳解】若與垂直，則，則，A正確，C錯(cuò)誤；若與互為相反向量，則，則，，B錯(cuò)誤，D正確．故選：AD.10．BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)依次求解選項(xiàng)中函數(shù)的極值點(diǎn)各式個(gè)數(shù)，即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，由，得.令，即，，或，.即有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故有無數(shù)個(gè)極值點(diǎn)，故A不正確.由，得.當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故恰有2個(gè)極值點(diǎn)，B正確.由，得.當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故恰有2個(gè)極值點(diǎn)，C正確.由，得.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故恰有1個(gè)極值點(diǎn)，D不正確.故選：BC11．BCD【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)及平移變換，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】，其中．因?yàn)?，，所以，，則，，，．當(dāng)時(shí)，，不單調(diào)，A不正確．當(dāng)時(shí)，，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確．，所以將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，C正確．，則．因?yàn)椋裕?，得，所以，，D正確．故選：BCD.12．BD【分析】題干給出了“A函數(shù)”的定義，按照定義，判斷函數(shù)是否是“A函數(shù)”，其中一定注意在定義域中恒成立，選項(xiàng)中不正確的舉出反例，正確的嚴(yán)格按照“A函數(shù)”的定義證明即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，使得．A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由，的定義域相同，若是“A函數(shù)”，則對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，則對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，所以也是“A函數(shù)”．B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，不妨取，，，令，則，故不是“A函數(shù)”．C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，是“A函數(shù)”，所以在上恒成立．又，所以，且，即對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，因?yàn)?，所以，即由解得．D正確．故選：BD13．/【分析】利用單位向量的概念、向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】解：∵，均為單位向量，∴，，又∵，∴，∴，則.故答案為：.14．4【分析】對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可求出最值.【詳解】由題意得，，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為4；故答案為：4.15．26.4【分析】應(yīng)用正弦定理得出BD,最后由正切計(jì)算即可.【詳解】在中，，，則米.在中，，則米.故答案為：26.4.16．【分析】令，可將不等式化為，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，進(jìn)而得到，即，由此可得不等式解集.【詳解】不等式可化為：，當(dāng)時(shí)，，又，；令，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，，即當(dāng)時(shí)，，，即不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)不等式的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺蟛坏仁睫D(zhuǎn)化為的兩個(gè)函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題，通過對(duì)單調(diào)性的求解，得到自變量之間的大小關(guān)系.17．(1)(2)最小值2，最大值【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而由周期公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1），所以的最小正周期.（2）由，得，故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值2；當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.18．(1)(2).【分析】(1)利用正弦定理通過解已知方程即可求出角A的值.(2)利用三角形的面積公式求出，結(jié)合余弦定理即可求出的周長(zhǎng).【詳解】（1）由題意，在中，，，則，且，∴，解得：,.（2）由題意及（1）得，在中，，的面積為，的面積，則.由，得，所以，故的周長(zhǎng)為.19．(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)，即可由對(duì)數(shù)運(yùn)算代入求解.（2）根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，則.（2）由（1）可知，等價(jià)于.令，則，原不等式等價(jià)于在上恒成立，則，解得，故m的取值范圍為.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件求出，利用余弦定理進(jìn)行計(jì)算即可；（2）在中，利用正弦定理求出,在中,利用正弦定理求出，得到,再進(jìn)行化簡(jiǎn)后，利用基本不等式即可求出最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，，所?又，，所以，所以.（2）在中，，則，在中，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.21．(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案；（2）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則．又，所以曲線在處的切線方程為，即．（2）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令函數(shù)，，則．令函數(shù)，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，，從而在上恒成立，則在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，取，則，，所以存在，使得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以零點(diǎn)是唯一的，即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).故a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答第二問的關(guān)鍵在于函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及x的取值范圍，可以采用參變分離，構(gòu)造函數(shù)的方法，根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).22．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由于在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求最值問題；（2）將的證明轉(zhuǎn)化成的證明，通過構(gòu)造，，即可證明，從而原命題得證.【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，故在上恒成立，