2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)廣東第二師范學(xué)院番禺附中數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測試題含解析

2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)廣東第二師范學(xué)院番禺附中數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.42．圓與圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.43．“，”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.5．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以為（）A. B.C. D.6．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，函數(shù)，若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（）A. B.C. D.7．已知，是空間中的任意兩個(gè)非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.8．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，且，則（）A. B.C. D.9．當(dāng)實(shí)數(shù)，m變化時(shí)，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.610．設(shè)為空間中的四個(gè)不同點(diǎn)，則“中有三點(diǎn)在同一條直線上”是“在同一個(gè)平面上”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件11．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值點(diǎn)12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號）.①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)R滿足；④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；⑤當(dāng)時(shí)，S的面積為.14．如圖，在棱長都為的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則________；請選擇該平行六面體的三個(gè)頂點(diǎn)，使得經(jīng)過這三個(gè)頂點(diǎn)的平面與直線垂直.這三個(gè)頂點(diǎn)可以是________15．如圖，某海輪以的速度航行，若海輪在點(diǎn)測得海面上油井在南偏東，向北航行后到達(dá)點(diǎn)，測得油井在南偏東，海輪改為沿北偏東的航向再行駛到達(dá)點(diǎn)，則，間的距離是________16．向量，，若，且，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，已知直線MA，NA分別交直線于點(diǎn)P，Q，求的值.18．（12分）為深入學(xué)習(xí)貫徹總書記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上的重要講話精神和中共中央有關(guān)決策部署，推動(dòng)教育系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題，深化中學(xué)在校師生理想信念教育，引導(dǎo)師生學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行，以昂揚(yáng)的狀態(tài)迎接中國共產(chǎn)黨建黨周年，哈工大附中高二年級組織本年級同學(xué)開展了一場黨史知識(shí)競賽．為了解本次知識(shí)競賽的整體情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中a的值，并求該次知識(shí)競賽成績的第50百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）已知該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中，男生占，女生占現(xiàn)從該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中隨機(jī)抽出人，求至少有人是女生的概率.19．（12分）已知圓，直線（1）證明直線與圓C一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求直線與圓相交的最短弦長，并求對應(yīng)弦長最短時(shí)的直線方程20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3處取得極值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]內(nèi)的最值.21．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)，判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.22．（10分）直線經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運(yùn)算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個(gè)基底，則與共線或與其中有一個(gè)為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對于任意非零空間向量，，若，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯(cuò)誤.故選：C2、D【解析】分別求出圓和圓的圓心和半徑，判斷出兩圓的位置關(guān)系可得到公切線的條數(shù).【詳解】根據(jù)題意，圓即，其圓心為，半徑；圓即，其圓心為，半徑；兩圓的圓心距，所以兩圓相離，其公切線條數(shù)有4條；故選：D.3、A【解析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由，可知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；反之，若表示雙曲線，則，即，或，所以“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件故選：A4、B【解析】根據(jù)橢圓方程及其性質(zhì)有，求解即可.【詳解】由題設(shè)，，整理得，可得.故選：B5、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，不符；B.當(dāng)時(shí)，，不符；C.當(dāng)時(shí)，，不符；D.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合.故選：D.6、A【解析】分別由矩形面積公式與微積分幾何意義計(jì)算陰影部分和矩形部分的面積，最后由幾何概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，矩形的面積為4，陰影部分的面積為，由幾何概型公式可得此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于，故選：A7、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對B：因?yàn)椋蔬x項(xiàng)B錯(cuò)誤；對C：因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；對D：因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.8、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得.故選：B.9、D【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知可以表示單位圓上點(diǎn)到直線的距離，利用圓的性質(zhì)結(jié)合圖形即得.【詳解】由題可知，可以表示單位圓上點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，因直線，即表示恒過定點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得.故選：D.10、A【解析】由公理2的推論即可得到答案.【詳解】由公理2的推論:過一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,可得在同一平面,故充分條件成立;由公理2的推論：過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面,可得,當(dāng)時(shí),同一個(gè)平面上,但中無三點(diǎn)共線,故必要條件不成立;故選:A【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點(diǎn)考查公理2及其推論;屬于中檔題;公理2的三個(gè)推論：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;11、A【解析】根據(jù)圖象，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性、極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知B錯(cuò)誤，A正確；是極大值點(diǎn)，沒有極小值，和不是函數(shù)的極值點(diǎn)，可知C，D錯(cuò)誤故選：A12、A【解析】利用正態(tài)分布的對稱性和概率的性質(zhì)即可【詳解】由，且則有：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知：故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③⑤【解析】①由如圖當(dāng)點(diǎn)向移動(dòng)時(shí)，滿足，只需在上取點(diǎn)滿足，即可得截面為四邊形，如圖所示，是四邊形，故①正確；②當(dāng)時(shí)，即為中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD，AP=QD==，故可得截面APQD為等腰梯形，等腰梯形，故②正確；③當(dāng)時(shí)，如圖，延長至，使，連接交于，連接交于，連接，可證，由∽，可得，故可得，故③正確；④由③可知當(dāng)時(shí)，只需點(diǎn)上移即可，此時(shí)的截面形狀仍然如圖所示的，如圖是五邊形，故④不正確；⑤當(dāng)時(shí)，與重合，取的中點(diǎn)，連接，可證，且，可知截面為為菱形，故其面積為，如圖是菱形，面積為，故⑤正確，故答案為①②③⑤考點(diǎn)：正方體的性質(zhì).14、①.②.點(diǎn)或點(diǎn)（填出其中一組即可）【解析】（1）以向量，，為基底分別表達(dá)出向量和，展開即可解決；（2）由上一問可知，用上一問同樣的方法可以證明出，這樣就證明了平面與直線垂直.【詳解】（1）令，，，則，則有，故（2）令，，，則，則有，故故，即又由（1）之,,故直線垂直于平面同理可證直線垂直于平面故答案為：0;點(diǎn)或點(diǎn)15、【解析】根據(jù)條件先由正弦定理求出的長，得出,求出的長，由勾股定理可得答案.【詳解】海輪向北航行后到達(dá)點(diǎn)，則由題意，在中，又則,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案為：16、【解析】根據(jù)可求出，再根據(jù)向量垂直即可求出，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，又因?yàn)?，所以，解得，所?故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）1【解析】（1）由題意得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；（2）首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA，NA的方程確定點(diǎn)P，Q的縱坐標(biāo)，將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長度的比值.【小問1詳解】由題意，點(diǎn)橢圓上，有，解得故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不符；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為：聯(lián)立方程得：由，設(shè)，有又由直線AM：，令x=-4得，將代入得：，同理得：.很明顯，且，注意到，，而，故所以.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的方程，解題關(guān)鍵是利用離心率與橢圓上的點(diǎn)，找到關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系求解a與b．本題中直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理求出，．表示出，，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的比值關(guān)系．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題18、（1）（2）【解析】（1）利用頻率和為1求出a；利用百分位數(shù)的定義求出知識(shí)競賽成績的第50百分位數(shù)；（2）先利用分層抽樣求出男、女生的人數(shù)，利用古典概型求概率.【小問1詳解】，由，解得設(shè)該次知識(shí)競賽成績的第50百分位數(shù)為x，則，解得：.即該次知識(shí)競賽成績的第50百分位數(shù)為【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知：分?jǐn)?shù)在）的人數(shù)有人，所以這人中，女生有人，記為、，男生有人，記為、、、從這人中隨機(jī)選取人，基本事件為：、、、、、、、、、、、、、、，共種不同取法；則至少有人是女生的基本事件為、、、、、、、、，共種不同取法，則所求的概率為19、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）由，變形為求解直線過的定點(diǎn)，即可得解；（2）法一：由圓心和連線與直線垂直求解；法二：由圓心到直線距離最大時(shí)求解.【小問1詳解】解：，所以，令，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，圓可變形為，因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線和圓C相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；【小問2詳解】法一：圓心為，到距離為，圓心與連線的斜率為，最短弦與圓心和的連線垂直，所以，所以最短弦長為，直線的方程為法二：圓心到直線距離：，，要求d的最大值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，d的最大值為，所以最短弦長為，直線的方程為.20、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個(gè)根為﹣1和3，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求，（2）由（1）可求，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最值.【詳解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個(gè)根為﹣1和3，則，解可得a，b＝-1，（2）由（1），易得f（x）在，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.【點(diǎn)睛】本題考查利用極值求函數(shù)的參數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題21、（1）（2）是，0【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為：，則，，進(jìn)而根據(jù)得，進(jìn)而得答案；（2）直線的方程為，進(jìn)而聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理與向量數(shù)量積運(yùn)算化簡整理即可得答案.【小問1詳解】解：由題意，設(shè)拋物線的方程為：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以?/p>