2024屆湖北省咸寧市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆湖北省咸寧市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，則線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于（）A.7 B.10C.12 D.142．將一個表面積為的球用一個正方體盒子裝起來，則這個正方體盒子的最小體積為（）A. B.C. D.3．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.34．下列說法中正確的是A.命題“若，則”的逆命題為真命題B.若為假命題，則均為假命題C.若為假命題，則為真命題D.命題“若兩個平面向量滿足，則不共線”的否命題是真命題.5．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.46．已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為()A. B.C. D.7．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．已知點(diǎn)P是雙曲線上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.4 B.3C.2 D.19．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸人的（）A. B.或C. D.或10．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.511．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.12．下列說法正確的個數(shù)有（）個①在中，若，則②是，，成等比數(shù)列的充要條件③直線是雙曲線的一條漸近線④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則是函數(shù)的極值點(diǎn)A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，，對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______14．已知拋物線方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________15．設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關(guān)系為________16．若，是雙曲線與橢圓的共同焦點(diǎn)，點(diǎn)P是兩曲線的一個交點(diǎn)，且為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若焦距為4，點(diǎn)P是橢圓上與左、右頂點(diǎn)不重合的點(diǎn)，且的面積最大值.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.18．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，二面角的余弦值為.（1）求PD的長；（2）求異面直線BF與PA所成角的余弦值；（3）求直線AF與平面BCF所成角的正弦值.19．（12分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率；（2）求甲獲勝的概率20．（12分）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)與間插入個，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求及.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求不等式的解集.22．（10分）已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，且.（1）求C；（2）若D是BC的中點(diǎn)，，，求AB的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】可由橢圓方程先求出，在利用橢圓的定義求出，利用已知求解出，再取的中點(diǎn)，連接，利用中位線，即可求解出線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.【詳解】因?yàn)闄E圓，，所以，結(jié)合得，，取的中點(diǎn)，連接，所以為的中位線，所以.故選：A.2、C【解析】求出球的半徑，要使這個正方形盒子的體積最小，則這個正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長等于球的直徑，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，故該球的半徑為11cm，若要使這個正方形盒子的體積最小，則這個正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長等于球的直徑，即22cm，所以這個正方體盒子的最小體積為.故選：C.3、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：C4、D【解析】A中，利用四種命題的的真假判斷即可；B、C中，命題“”為假命題時，、至少有一個為假命題；D中，寫出該命題的否命題，再判斷它的真假性【詳解】對于A，命題“若，則”的逆命題是：若，則；因?yàn)橐渤闪?所以A不正確；對于B，命題“”為假命題時，、至少有一個為假命題，所以B錯誤；C錯誤；對于D，“平面向量滿足”，則不共線的否命題是，若“平面向量滿足”，則共線；由知：，一定有，，所以共線，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假性判斷問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題5、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)閳A，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B6、A【解析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令，則根據(jù)題意可知，，∴g(x)是奇函數(shù)，∵，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∵g(x)是奇函數(shù)，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調(diào)遞減，由不等式得，.故選：A.7、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求AN與BM對應(yīng)的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D8、C【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得為的中點(diǎn)，即可得到，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知為的中點(diǎn)，所以，又在上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在雙曲線的頂點(diǎn)時取等號，所以故選：C9、A【解析】根據(jù)題意可知該程序框圖顯示的算法函數(shù)為，分和兩種情況討論即可得解.【詳解】解：該程序框圖顯示得算法函數(shù)為，由，當(dāng)時，，方程無解；當(dāng)時，，解得，綜上，若輸出的，則輸入的.故選：A.10、C【解析】直線l過定點(diǎn)D(1，1)，當(dāng)時，弦長最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點(diǎn)，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當(dāng)時，直線l被圓截得的弦長最短，，弦長＝.故選：C.11、A【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則——三角形法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.12、B【解析】根據(jù)三角函數(shù)、等比數(shù)列、雙曲線和導(dǎo)數(shù)知識逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】①在中，則有，因，所以，又余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故①正確，②當(dāng)且時，此時，但是，，不成等比數(shù)列，故②錯誤，③由雙曲線可得雙曲線的漸近線為，故③錯誤，④“”是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件，故④錯誤.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求最值即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】∵在上恒成立，∴當(dāng)時，取最大值1，∵對任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上為減函數(shù)，∵當(dāng)時，，故當(dāng)時，取最大值1，故，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，難度中檔14、【解析】先將拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可判斷拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，從而解得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€方程為，即，所以，，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.15、a＞b【解析】構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.16、【解析】根據(jù)給定條件求出兩曲線的共同焦點(diǎn)，再由橢圓、雙曲線定義求出a，b即可計算作答.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓、雙曲線的對稱性不妨令點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)榈妊切危蓹E圓的定義知：，則，，由雙曲線定義知：，即，，，所以雙曲線的漸近線為：.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：雙曲線(a>0,b>0)漸近線方程為，而雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為(即)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)焦距求出，利用面積最大值，得到求出，從而得到，求出橢圓方程；（2）分直線斜率存在和斜率不存在，結(jié)合題干條件得到，進(jìn)而求出直線方程.【小問1詳解】∵∴，又的面積最大值，則，所以，從而，，故橢圓的方程為：；【小問2詳解】①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，代入③整理得，設(shè)、，則，所以，點(diǎn)到直線的距離因?yàn)?，即，又由，得，所以?而，，即，解得：，此時；②當(dāng)直線的斜率不存在時，，直線交橢圓于點(diǎn)、.也有，經(jīng)檢驗(yàn)，上述直線均滿足，綜上：直線的方程為或.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中，有關(guān)向量的題目，要結(jié)合條件選擇不同的方法，一般思路有轉(zhuǎn)化為三角形面積，或者線段的比，或者由向量得到共線等.18、（1）（2）（3）【解析】（1）以為軸，為軸，軸與垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，由空間向量法求二面角，從而求得，得長；（2）由空間向量法求異面直線所成的角；（3）由空間向量法求線面角【小問1詳解】以為軸，為軸，軸與垂直，由于菱形中，軸是的中垂線，建立如圖坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，設(shè)平面一個法向量為，則，令，則，，即，平面的一個法向量是，因?yàn)槎娼怯嘞抑禐?所以，（負(fù)值舍去）所以；【小問2詳解】由（1），，，，所以異面直線BF與PA所成角的余弦值為【小問3詳解】由（1）平面的一個法向量為，又，，所以直線AF與平面BCF所成角的正弦值為19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，則，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）記“甲獲勝”為事件，由題意，根據(jù)概率的加法公式和獨(dú)立事件的概率公式，即得解【小問1詳解】設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，其中設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，其中則，，其中記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，，事件與事件相互獨(dú)立根據(jù)事件獨(dú)立性定義得：甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率為【小問2詳解】記“甲獲勝”為事件，事件、事件、事件彼此互斥根據(jù)概率加法公式和事件獨(dú)立性定義得：甲獲勝的概率為20、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以有，因成等比數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】由題意可知：在和之間插入個，在和之間插入個，，在和之間插入個，此時共插入的個數(shù)為：