2024屆湖南省瀏陽(yáng)一中、株洲二中等湘東七校數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

2024屆湖南省瀏陽(yáng)一中、株洲二中等湘東七校數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的第（）A.項(xiàng) B.項(xiàng)C.項(xiàng) D.項(xiàng)3．已知F為橢圓C：=1(a>b>0)右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（）A. B.C.-1 D.-14．若過(guò)點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B.C. D.5．當(dāng)我們停放自行車(chē)時(shí)，只要將自行車(chē)旁的撐腳放下，自行車(chē)就穩(wěn)了，這用到了（）A.三點(diǎn)確定一平面 B.不共線三點(diǎn)確定一平面C.兩條相交直線確定一平面 D.兩條平行直線確定一平面6．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為P，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形7．當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時(shí)，（）A B.C. D.8．如圖，直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，若P到平面的距離為2d，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分9．若拋物線焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為A. B.C. D.10．已知數(shù)列滿足，則（）A.32 B.C.1320 D.11．設(shè)數(shù)列、都是等差數(shù)列，若，則等于（）A. B.C. D.12．圓心在x軸負(fù)半軸上，半徑為4，且與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線，則以下結(jié)論正確的是______.①曲線C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；③曲線C被x軸所截得的弦長(zhǎng)為2；④曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離都不超過(guò)2.14．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是___________.15．雙曲線的離心率為_(kāi)___16．在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和記作，若，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）p：方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)根；q：方程無(wú)實(shí)數(shù)根，若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍、18．（12分）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，m為實(shí)數(shù)（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限時(shí)，求m的取值范圍19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝（1）求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；（2）求證：20．（12分）已知直線與直線交于點(diǎn).（1）求過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線的方程，并求出兩平行直線間的距離；（2）求過(guò)點(diǎn)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)P在圓上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為是的中點(diǎn)，當(dāng)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線交C于兩點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22．（10分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)）（1）求△的周長(zhǎng)；（2）求橢圓E上的點(diǎn)到直線距離的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出直線斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A.2、A【解析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)【詳解】數(shù)列為，故通項(xiàng)公式為，是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).故選：A.3、D【解析】記橢圓的左焦點(diǎn)為，在中，通過(guò)余弦定理得出，，根據(jù)橢圓的定義可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】記橢圓的左焦點(diǎn)為，在中，可得，在中，可得，故，故，故選：D.4、B【解析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5、B【解析】自行車(chē)前后輪與撐腳分別接觸地面，使得自行車(chē)穩(wěn)定,此時(shí)自行車(chē)與地面的三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上.【詳解】自行車(chē)前后輪與撐腳分別接觸地面，此時(shí)三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上,所以可以確定一個(gè)平面，即地面，從而使得自行車(chē)穩(wěn)定.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，屬于簡(jiǎn)單題.6、A【解析】根據(jù)題意求得，要判斷的形狀，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判斷，從而可得結(jié)論.【詳解】解：由橢圓：，得，則，則，所以且為銳角，因?yàn)?，所以銳角，所以為銳角三角形.故選：A.7、C【解析】求出圓心坐標(biāo)和直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)有，即，解得.故選：C.8、B【解析】取的中點(diǎn)，得出平面，作，在直角中，求得，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，得到平行于平面且過(guò)點(diǎn)的平面，如圖（1）（2）所示，作，則P1與E重合，則，在直角中，可得，在圖（3）中，設(shè)直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，即所以，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分.故選：B.9、D【解析】解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D10、A【解析】先令，求出，再當(dāng)時(shí)，由，可得，然后兩式相比，求出，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相除可得，所以，所以，故選：A11、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列可求得，由此可得出，進(jìn)而可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，即，由于數(shù)列也為等差數(shù)列，則，可得，即，可得，即，解得，所以，數(shù)列為常數(shù)列，對(duì)任意的，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列基本量的求解，通過(guò)等差數(shù)列定義列等式求解公差是解題的關(guān)鍵，另外，在求解有關(guān)等差數(shù)列基本問(wèn)題時(shí)，可充分利用等差數(shù)列的定義以及等差中項(xiàng)法來(lái)求解.12、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線的距離，解得的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，圓的半徑為4，且與直線相切，則圓心到直線的距離，解得：或13（舍，則圓的坐標(biāo)為，故所求圓的方程為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解析】將x換成,將y換成,若方程不變則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；將x換成，曲線的方程不變則關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；令通過(guò)解方程即可求得被x軸所截得的弦長(zhǎng)；利用基本不等式即可判斷出曲線C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否不超過(guò)2，根據(jù)曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即可判斷出曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否都不超過(guò)2.【詳解】對(duì)于①，將x換成,將y換成,方程改變，則曲線C關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，將x換成，曲線的方程不變，則曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故②正確；對(duì)于③，令得，，解得，即曲線C與x軸的交點(diǎn)為和，則曲線C被x軸所截得的弦長(zhǎng)為，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，則，即曲線C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2，此曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即曲線C上y軸左側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離也不超過(guò)2，故④正確；故答案為：②④.14、【解析】計(jì)算點(diǎn)漸近線的距離，從而得，由勾股定理計(jì)算，由雙曲線定義列式，從而計(jì)算得，即可計(jì)算出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，由可知，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，即垂直平分線段，所以到漸近線的距離為，可得，所以，由雙曲線定義可知，，即，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)15、【解析】由題意得：考點(diǎn)：雙曲線離心率16、16【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及下標(biāo)和性質(zhì)以及通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，即，所以，所以，所以；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】利用復(fù)合命題的真假推出兩個(gè)命題為一真一假，求出m的范圍即可.【詳解】：方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)根，解得，：方程無(wú)實(shí)數(shù)根，解得，所以：，：或.因?yàn)闉檎婷}，為假命題，所以真假，或假真.（1）當(dāng)真假時(shí)，即真為真，所以，解得；（2）當(dāng)假真時(shí)，即真為真，所以，解得.綜上，取值范圍為18、（1）4（2）【解析】（1）根據(jù)純虛數(shù)，實(shí)部為零，虛部不為零列式即可；（2）根據(jù)第三象限，實(shí)部小于零，虛部小于零，列式即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以解得或，且且綜上可得,當(dāng)為純虛數(shù)時(shí);【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,解得或，且即,故的取值范圍為.19、（1）y=5x－1；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求切線方程（2）不等式化簡(jiǎn)為．設(shè)，求出導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，然后證明即可【詳解】解：（1）的定義域?yàn)椋膶?dǎo)數(shù)由（1）可得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，所求切線方程為（2）證明：即證．設(shè)，則，由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），即不等式成立，則原不等式成立20、（1）；.（2）或.【解析】(1)首先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線方程，再根據(jù)兩平行直線之間距離公式即可計(jì)算距離；(2)根據(jù)截距式方程的求法解答【小問(wèn)1詳解】由得設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，∴直線的方程為∴兩平行線間的距離【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，∴直線的方程的方程為，即綜上所述，直線的方程為或21、（1）；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式用N的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入圓M的方程化簡(jiǎn)即可得N的軌跡方程；(2)假設(shè)存在，設(shè)M為(m，0)，設(shè)直線l斜率為k，表示其方程，l方程和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得根與系數(shù)關(guān)系，由，得，代入根與系數(shù)的關(guān)系求k與m關(guān)系即可判斷.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，因?yàn)镹為的中點(diǎn)，，又P點(diǎn)在圓上，，即C軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】不存在滿足條件的點(diǎn)M，理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，直線的斜率為k，則直線的方程為，由消去y并整理，得，設(shè)，則由，得，即，將代入上式并化簡(jiǎn)，得將式代