新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布7.1條件概率與全概率公式7.1.1條件概率7.1.2全概率公式課件新人教A版選擇性必修第三冊

第七章7.1.1條件概率7.1.2全概率公式基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引

課程標準1.結(jié)合古典概型,了解條件概率,掌握條件概率的兩種求法.2.理解全概率公式.3.能夠利用條件概率公式與全概率公式解決一些簡單的實際問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

條件概率1.定義:一般地,設(shè)A,B為兩個隨機事件,且P(A)>0,我們稱

為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率.

當(dāng)A為必然事件時,P(B|A)=P(B)2.概率的乘法公式:對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則

.我們稱該式為概率的乘法公式.

P(AB)=P(A)P(B|A)名師點睛對于條件概率需注意的問題(1)利用條件概率公式求P(B|A)時一定要注意P(A)>0.(2)事件B在“事件A已發(fā)生”這個附加條件下發(fā)生的概率與沒有這個附加條件發(fā)生的概率一般是不相同的.過關(guān)自診1.P(B|A)與P(AB)有何區(qū)別?提示

P(B|A)的值是事件AB發(fā)生相對于事件A發(fā)生的概率的大小;而P(AB)是事件AB發(fā)生相對于原來的總空間而言,一般P(B|A)≠P(AB).2.若事件A,B互斥,則P(B|A)是多少?提示

A與B互斥,即A,B不同時發(fā)生,則P(AB)=0,故P(B|A)=0.

A4.[蘇教版教材例題]拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},求P(A),P(B),P(AB),P(A|B).知識點2

條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間,因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)樣本空間為Ω,P(A)>0,則(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=

;

(3)設(shè)

和B互為對立事件,則P(|A)=

.

P(B|A)+P(C|A)1-P(B|A)過關(guān)自診1.[2023山東濰坊二模]已知事件A,B滿足P(A|B)=0.7,P()=0.3,則(

)A.P(A∩B)=0.3B.P(B|A)=0.3C.事件A,B相互獨立D.事件A,B互斥C由于A,B相互獨立,事件A,B可能同時發(fā)生,則事件A,B一定不互斥,故D錯誤.故選C.2.某人一周晚上值班2次,在已知他周日晚上一定值班的條件下,他在周六晚上或周五晚上值班的概率為

.

知識點3

全概率公式1.定義:一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B?Ω,有

,我們稱此公式為全概率公式.

*2.貝葉斯公式:設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B?Ω,P(B)>0,有

.

注意此條件不可或缺

過關(guān)自診1.設(shè)1000件產(chǎn)品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取兩件產(chǎn)品,則第二次抽到的是不合格產(chǎn)品的概率為

.

0.2解析

設(shè)事件A=“第一次抽到的是不合格產(chǎn)品”,事件B=“第一次抽到的是合格產(chǎn)品”,事件C=“第二次抽到的是不合格產(chǎn)品”,則A∪B=Ω,且A與B互斥.由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.2.2.一個盒子中有6只白球,4只黑球,不放回地每次任取1只,連取2次,則第二次取到白球的概率為

.

0.6重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用條件概率公式求條件概率【例1】

集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙兩人各從A中任取一個數(shù),若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇數(shù)的條件下,求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率.變式探究

1在本例條件下,求乙抽到偶數(shù)的概率.變式探究

2若甲先取(放回),乙后取,設(shè)事件M為“甲抽到的數(shù)大于4”,事件N為“甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7”,求P(N|M).規(guī)律方法

求條件概率P(B|A)的關(guān)鍵是先求出P(AB),P(A),再利用條件概率公式求出P(B|A).在古典概型中,樣本空間Ω包含的樣本點的個數(shù)為n(Ω),事件A包含的樣本點的個數(shù)為n(A),事件AB包含的樣本點的個數(shù)為n(AB),變式訓(xùn)練1某校高三(1)班有學(xué)生40人,其中共青團員15人,全班分成4個小組,第一小組有學(xué)生10人,其中共青團員4人.從該班任選一人作為學(xué)生代表:(1)求選到的是共青團員的概率;(2)求選到的既是共青團員又是第一小組學(xué)生的概率;(3)已知選到的是共青團員,求他是第一小組學(xué)生的概率.解

設(shè)“選到的是共青團員”為事件A,“選到的是第一小組學(xué)生”為事件B,則“選到的既是共青團員又是第一小組學(xué)生”為事件AB.探究點二求互斥事件的條件概率【例2】

一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字,每位數(shù)字都可從0~9這十個數(shù)中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時,忘記了密碼的最后一位數(shù)字,求:(1)任意按最后一位數(shù)字,不超過3次就按對的概率;(2)如果他記得密碼的最后一位的數(shù)字不大于4,不超過3次就按對的概率.規(guī)律方法

當(dāng)所求事件的概率相對較復(fù)雜時,往往把該事件分成兩個(或多個)互斥的較簡單的事件之和,求出這些較簡單事件的概率,再利用P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得所求事件的概率.但應(yīng)注意這個公式在“B與C互斥”這一前提下才成立.變式訓(xùn)練2在一個袋子中裝有除顏色外其他都相同的10個球,其中有1個紅球、2個黃球、3個黑球、4個白球,從中依次不放回地摸2個球,求在摸出的第一個球是紅球的條件下,第二個球是黃球或黑球的概率.解

設(shè)“摸出的第一個球為紅球”為事件A,“摸出的第二個球為黃球”為事件B,“摸出的第二個球為黑球”為事件C.探究點三全概率公式的應(yīng)用【例3】

有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時生產(chǎn)的,其中甲廠產(chǎn)品占50%,乙廠產(chǎn)品占30%,丙廠產(chǎn)品占20%,甲廠產(chǎn)品正品率為95%,乙廠產(chǎn)品正品率為90%,丙廠產(chǎn)品正品率為85%,如果從這批產(chǎn)品中隨機抽取一件,求該產(chǎn)品是正品的概率.解

設(shè)A,B,C分別表示抽得產(chǎn)品是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的,D表示抽得產(chǎn)品為正品,則由已知,P(A)=50%,P(B)=30%,P(C)=20%,P(D|A)=95%,P(D|B)=90%,P(D|C)=85%,從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率可由全概率公式得到:P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)規(guī)律方法

利用全概率公式求概率為了求復(fù)雜事件的概率,往往可以把它分解成若干個互不相容的簡單事件,然后利用條件概率和概率的乘法公式,求出這些簡單事件的概率,最后將概率相加,得到最終結(jié)果,這一方法實質(zhì)就是全概率公式的應(yīng)用.變式訓(xùn)練31號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,現(xiàn)隨機從1號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱中隨機取出一球,求從2號箱取出的球是紅球的概率.

本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)條件概率的理解;(2)利用定義或縮小樣本空間求條件概率;(3)全概率公式,貝葉斯公式.2.方法歸納:定義法,縮小樣本空間法,轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):(1)分不清“在誰的條件下”,求“誰的概率”;(2)事件拆分不合理或不全面.成果驗收·課堂達標檢測12341.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,記A=“兩次的點數(shù)均為奇數(shù)”,B=“兩次的點數(shù)之和為4”,則P(B|A)=(

)C解析

由題意知事件A的樣本空間A={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)},共包含9個樣本點,在A發(fā)生的條件下,事件B包含的樣本點是(1,3),(3,1),共2個,所以12342.盒中有10只同一型號的螺絲釘,其中3只是壞的,現(xiàn)在