2024版新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.2奇偶性第1課時奇偶性的概念導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊

第1課時奇偶性的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義．(2)了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征．(3)能用定義判斷函數(shù)的奇偶性．【問題探究1】觀察下列兩個函數(shù)的圖象，據(jù)此回答下列問題：(1)這兩個函數(shù)的圖象有何共同特征？(2)對于上述兩個函數(shù)，f(1)與f(－1),f(2)與f(－2)，f(a)與f(－a)有什么關(guān)系？由此可得到什么一般性的結(jié)論？【問題探究2】觀察下列兩個函數(shù)的圖象，據(jù)此回答下列問題：(1)這兩個函數(shù)的圖象有何共同特征？(2)對于上述兩個函數(shù)，f(1)與f(－1),f(2)與f(－2)，f(a)與f(－a)有什么關(guān)系？由此可得到什么一般性的結(jié)論？題型1函數(shù)奇偶性的判斷例1(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；(3)f(x)＝x2＋x；(4)f(x)＝x2題后師說判斷函數(shù)奇偶性的3種方法跟蹤訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝2xx(2)f(x)＝x4題型2奇、偶函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)為定義在[－3，3]上的偶函數(shù)，其部分圖象如圖所示．(1)請作出函數(shù)f(x)在[0，3]上的圖象；(2)根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及最值．學(xué)霸筆記：利用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題(1)依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對稱．(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求值、比較大小及解不等式問題．跟蹤訓(xùn)練2已知奇函數(shù)f(x)定義域為[－5，5]且在[0，5]上的圖象如圖所示，求使f(x)<0的x的取值范圍．題型3利用函數(shù)的奇偶性求值例3(1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，則f(3)＝()A．26B．18C．10D．－26(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x+1x+ax為奇函數(shù)，則a＝一題多變(1)將本例(2)中的函數(shù)改為f(x)＝x+ax2+1是奇函數(shù)，則a(2)將本例(2)中的函數(shù)改為函數(shù)f(x)＝x2－(2－m)x＋3為偶函數(shù)，則m的值是________．題后師說1．利用函數(shù)奇偶性求值的方法(1)未知的值不在已知的范圍內(nèi)，可利用函數(shù)的奇偶性將未知的值或區(qū)間轉(zhuǎn)化為已知的值或區(qū)間；(2)有些函數(shù)雖然是非奇非偶函數(shù)，但觀察表達式可以發(fā)現(xiàn)其間存在奇偶性的表達式，所以可用奇函數(shù)或偶函數(shù)表達出此函數(shù)，從而間接地求值．2．已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的2種方法跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)＝x＋2，則f(0)＋f(3)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，則a＋b＝()A．1B．1C．－1D．3隨堂練習(xí)1.下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是()2．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝1xB．y＝(x＋2)C．y＝2xD．y＝|x|3．如圖，給出奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，則2f(－1)＋3f(－2)的值為()A．－7B．7C．5D．－54．若函數(shù)f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a，2＋a]上為奇函數(shù)，則a＋b＝________．課堂小結(jié)1.函數(shù)的奇偶性(1)定義域特點：關(guān)于原點對稱；(2)圖象特點：偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)關(guān)于原點對稱；(3)解析式特點：偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函數(shù)滿足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.2．判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法；(2)圖象法．3．利用函數(shù)奇偶性求值的方法(1)定義法；(2)特值法．第1課時奇偶性的概念問題探究1提示：(1)都關(guān)于y軸對稱．(2)f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，f(a)＝f(－a)．一般地，若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)自變量任取定義域中的一對相反數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值相等．即f(－x)＝f(x)，滿足這種性質(zhì)的函數(shù)叫作偶函數(shù)．問題探究2提示：(1)都關(guān)于原點對稱．(2)f(1)＝－f(－1)，f(2)＝－f(－2)，f(a)＝－f(－a)．一般地，若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，當(dāng)自變量任取定義域中的一對相反數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值相反，f(－x)＝－f(x)，滿足這種性質(zhì)的函數(shù)叫做奇函數(shù)．例1解析：(1)函數(shù)定義域為R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以該函數(shù)是奇函數(shù)．(2)函數(shù)定義域為R，且f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以該函數(shù)是偶函數(shù)．(3)函數(shù)定義域是{x|x≥0}，不關(guān)于原點對稱，因此它是非奇非偶函數(shù)．(4)要使函數(shù)有意義，需滿足x2-4≥0，4-x2≥0，解得x所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，因此該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)函數(shù)定義域為R，且f(－x)＝-2x-x2+3＝-2x(2)函數(shù)定義域為{x|x≠±1}，關(guān)于原點對稱，且f(－x)＝-x4-x2-1＝例2解析：(1)畫圖如圖：(2)根據(jù)函數(shù)圖象，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－3，－2]，[0，2]，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－2，0)，(2，3]，f(x)的最大值為2，f(x)的最小值為－2.跟蹤訓(xùn)練2解析：由題可知：函數(shù)是[－5，5]上的奇函數(shù)，則函數(shù)在[－5，5]上圖象如下：所以f(x)<0的解集為(－3，0)∪例3解析：(1)方法一由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝-x5+a-x3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)∴G(x)是奇函數(shù)，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.方法二由已知條件，得f①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.故選D.(2)方法一(定義法)由已知f(－x)＝－f(x)，即-x+1-x+a顯然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.(經(jīng)檢驗滿足題意)方法二(特值法)由f(x)為奇函數(shù)得f(－1)＝－f(1)，即-1+1-1+a整理得a＝－1(經(jīng)檢驗滿足題意)．答案：(1)D(2)－1一題多變解析：(1)∵f(x)＝x+ax∴f(0)＝a1＝0∴a＝0，檢驗，當(dāng)a＝0時，f(－x)＝-xx2+1＝－ff(x)＝xx(2)方法一f(－x)＝(－x)2－(2－m)(－x)＋3＝x2＋(2－m)x＋3，由函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)，知f(－x)＝f(x)，即x2＋(2－m)x＋3＝x2－(2－m)x＋3，∴2－m＝－(2－m)，∴m＝2.方法二由f(－1)＝f(1)得4＋(2－m)＝4－(2－m)，解得m＝2.答案：(1)0(2)2跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)因為函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)＝x＋2，所以f(3)＝－f(－3)＝－(－3＋2)＝1.而f(0)＝0，∴f(0)＋f(3)＝1.故選C.(2)因為f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，則a－1＋2a＝0，解得a＝13且有－b2a＝0，可得b＝0，因此，a＋b＝13.答案：(1)C(2)B[隨堂練習(xí)]1．解析：選項A中的圖象關(guān)于原點或y軸均不對稱，故排除；選項C、D中的圖象所示的函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，不具有奇偶性，故排除；選項B中的圖象關(guān)于y軸對稱，其表示的函數(shù)是偶函數(shù)．故選B.答案：B2．解析：A：f(－x)＝1-x＝－1x＝－f(x)且定義域為{x|xB：f(－x)＝(－x＋2)2≠±f(x)，為非奇非偶函數(shù)；C：f(－x)＝－2x＝－f(x)且定義域為R，為奇函數(shù)；D：f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)且定義域為R，為偶函數(shù)．故選D.答案：D3．解析：依題意，f(x)是奇函數(shù)，結(jié)