2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市第一機(jī)械制造有限公司第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市第一機(jī)械制造有限公司第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“不到長城非好漢，屈指行程二萬”，出自毛主席1935年10月所寫的一首詞《清平樂·六盤山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長城”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（）A.2 B.C.1 D.3．已知點(diǎn)在橢圓上，與關(guān)于原點(diǎn)對稱，，交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.4．已知直線與圓相離，則以，，為邊長的三角形為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不存在5．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，函數(shù)，若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（）A. B.C. D.6．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則數(shù)列（）A.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列7．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.A. B.C. D.8．為調(diào)查學(xué)生的課外閱讀情況，學(xué)校從高二年級四個(gè)班的182人中隨機(jī)抽取30人了解情況，若用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)數(shù)分別為（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，29．下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是A. B.C. D.10．給出如下四個(gè)命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線的準(zhǔn)線方程是；④雙曲線的漸近線方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④11．在中，內(nèi)角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.12．函數(shù)，若實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.無法確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動點(diǎn)P滿足，則的最小值為_________.14．已知原命題為“若，則”，則它的逆否命題是__________（填寫”真命題”或”假命題”）15．若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________，的最小值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二年級全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試，學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.18．（12分）某市對排污水進(jìn)行綜合治理，征收污水處理費(fèi)，系統(tǒng)對各廠一個(gè)月內(nèi)排出的污水量x噸收取的污水處理費(fèi)y元，運(yùn)行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費(fèi)用.19．（12分）設(shè)，為雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，，為側(cè)棱包含端點(diǎn)上的動點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求證平面；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，M是PB的中點(diǎn)，平面ABC，且，，.（1）求證:平面PAC；（2）求三棱錐M—ABC體積.22．（10分）已知曲線C的方程為（1）判斷曲線C是什么曲線，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：設(shè)為不到長城，推出非好漢，即，則，即好漢到長城，故“好漢”是“到長城”的充分條件，故選：A2、B【解析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件代入即可解決.【詳解】，即整理得由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得，解之得故選：B3、B【解析】由，得到，結(jié)合，得到，進(jìn)而求得，得出，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，可得，所以，因?yàn)?，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因?yàn)?，所以，即又由，所以，解?故選：B.4、A【解析】應(yīng)用直線與圓的相離關(guān)系可得，再由余弦定理及三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可判斷三角形的形狀.【詳解】由題設(shè)，，即，又，所以，且，故以，，為邊長的三角形為鈍角三角形.故選：A.5、A【解析】分別由矩形面積公式與微積分幾何意義計(jì)算陰影部分和矩形部分的面積，最后由幾何概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，矩形的面積為4，陰影部分的面積為，由幾何概型公式可得此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于，故選：A6、B【解析】根據(jù)與的關(guān)系求出通項(xiàng)，然后可知答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為等差數(shù)列同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列不是等比數(shù)列.故選：B7、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性【詳解】的定義域?yàn)?，，令，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D8、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人，除以,商余，故抽樣的間隔為，需要隨機(jī)剔除人.故選：A.9、A【解析】由，但無法得出，A滿足；由、均無法得出，不滿足“充分”；由，不滿足“不必要”.考點(diǎn)：不等式性質(zhì)、充分必要性.10、A【解析】對選項(xiàng)①，根據(jù)圓一般方程求解即可判斷①錯(cuò)誤，對選項(xiàng)②，求出橢圓離心率即可判斷②錯(cuò)誤，對③，求出拋物線漸近線即可判斷③正確，對④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯(cuò)誤?！驹斀狻繉τ冖龠x項(xiàng)，，，故①錯(cuò)誤；對于②選項(xiàng)，由題知，所以，所以離心率，故②錯(cuò)誤；對于③選項(xiàng)，拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線，故準(zhǔn)線方程是，故③正確；對于④選項(xiàng)，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以，焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程是，故④錯(cuò)誤.故選：A11、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.12、A【解析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在遞減，又實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，即，又因?yàn)椋?，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出軌跡方程，然后推出的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化求解最小值即可.【詳解】以經(jīng)過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.則設(shè)，由，則，所以兩邊平方并整理得，所以P點(diǎn)的軌跡是以(3，0)為圓心，為半徑的圓，所以，，則有，則的最小值為.故答案為：.14、真命題【解析】先判斷原命題的真假，再由逆否命題與原命題是等價(jià)命題判斷.【詳解】因?yàn)槊}“若，則”是真命題，且逆否命題與原命題是等價(jià)命題,所以它的逆否命題是真命題，故答案為：真命題15、【解析】求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由此可求得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.16、①.②.【解析】首先確定的正負(fù)，分別在和兩種情況下求得，代入即可求得；由可求得，分別在和兩種情況下結(jié)合一次函數(shù)和對勾函數(shù)單調(diào)性得到最小值，綜合可得最終結(jié)果.【詳解】令，解得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；；，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查含絕對值的數(shù)列前項(xiàng)和的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠確定數(shù)列的變號項(xiàng)，從而以變號項(xiàng)為分類基準(zhǔn)進(jìn)行分類討論得到數(shù)列的前項(xiàng)和；求解數(shù)列中的最值問題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和來進(jìn)行求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個(gè)基本事件，由古典概型的計(jì)算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為18、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關(guān)系式，令，求得函數(shù)值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即.【小問2詳解】因?yàn)?，故，故該廠應(yīng)繳納污水處理費(fèi)1400元.19、（1）；（2）①；②定點(diǎn)有兩個(gè)，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設(shè)有，結(jié)合（1）求雙曲線參數(shù)，寫出雙曲線方程即可；②由題設(shè)可設(shè)為，，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理求，，，，再由、的方程求，坐標(biāo)，若在為直徑的圓上點(diǎn)，由結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題設(shè)，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設(shè)，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設(shè)為，，，聯(lián)立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點(diǎn)，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的②，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，，，進(jìn)而根據(jù)、的方程求，坐標(biāo)，再由圓的性質(zhì)及向量垂直的坐標(biāo)表示求定點(diǎn)坐標(biāo).20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于，連接，證得，從而證得平面；（2）過作于，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求面的法向量，由直線與平面所成角的正弦值為，求得的值，再用向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解：（1）連接交于，連接，由題意，∵，∴，∴，又面，面，∴面.（2）過作于，則在中，，，，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量，則由，有，令，得；記直線與平面所成的角為，則，解得，此時(shí)；設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量則由，有，令，得；∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定與證明，用向量法求線面角，二面角，還考查了學(xué)生的分析能力，空間想象能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題.21、（1）證明見解析（2）2【解析】（1）依題意可得，再由平面，得到，即可證明平面；（2）連接，可證，即可得到平面，為三棱錐的高，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得；【詳解】（1）證明:因?yàn)槭前雸A的直徑，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，?/p>