無網(wǎng)格法的研究現(xiàn)狀與展望

無網(wǎng)格法的研究現(xiàn)狀與展望

1有限元自適應(yīng)分析的難點(diǎn)為了模擬現(xiàn)代工程系統(tǒng)復(fù)雜的物理現(xiàn)象，計(jì)算機(jī)已成為一種不可或缺的分析和模擬工具?；谟?jì)算機(jī)的數(shù)值方法在現(xiàn)代工程分析和模擬中發(fā)揮著重要作用。自20世紀(jì)50年代提出了分離法以來，分離法已成為工程分析和計(jì)算中不可或缺的工具之一。目前，人們成功開發(fā)了大量的有限付款商業(yè)軟件包，并在工程分析中得到了廣泛應(yīng)用。差分的主要特點(diǎn)之一是，使用之前定義的網(wǎng)格，將有限粒度的連續(xù)部分離散到有限粒度的單元中，以獲得復(fù)雜問題的相似解。有限差分法有很多優(yōu)點(diǎn)。在許多出版物中，有許多詳細(xì)討論，而不是在文本中詳細(xì)討論。然而，由于網(wǎng)絡(luò)的使用，有限差分法在解決一些工程問題時(shí)有很多困難（這里指的是純largrage的有限差分法，而不包括ale方法，它們有不同的缺點(diǎn)）。(1)首先,在應(yīng)用有限元分析一個(gè)問題時(shí),很多人力都用在網(wǎng)格的劃分上.真正用于分析計(jì)算的CPU時(shí)間一般較短.在人力越來越昂貴,而CPU費(fèi)用越來越便宜的今天,這一問題顯得越來越突出.其次,有限元采用了分片連續(xù)的形狀函數(shù),并且形狀函數(shù)的階次較低,使得有限元所求得的應(yīng)力精度相對(duì)較低,因此在有限元應(yīng)用中需要復(fù)雜和費(fèi)時(shí)的后處理過程.再次,盡管已經(jīng)發(fā)展了很多有限元自適應(yīng)分析的方法,但有限元真正實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)分析仍存在很多技術(shù)上的困難,尤其對(duì)三維問題.(2)有限元在處理一些復(fù)雜的問題時(shí)會(huì)遇到困難.這些問題主要包括:極度大變形問題;動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展問題;高速?zèng)_擊及幾何畸變問題;材料裂變問題;金屬材料成型問題;多相變問題等等.用有限元分析這些問題時(shí),由于巨大的網(wǎng)格畸變或單元分裂等造成有限元求解的困難甚至導(dǎo)致求解的失敗.為了解決這些問題,往往在有限元計(jì)算中不斷地進(jìn)行有限網(wǎng)格重新劃分,然而,這樣不但大大地增加了計(jì)算時(shí)間,而且對(duì)于有些問題單單重新劃分網(wǎng)格并不能完全解決問題.仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn),有限元的這些缺點(diǎn)源自于它使用了事先定義的網(wǎng)格.要想徹底解決有限元所面臨的這些問題,就應(yīng)避免應(yīng)用固定的網(wǎng)格.因此,近年來無網(wǎng)格法的思想被提了出來,并得到了迅速地發(fā)展.目前,有關(guān)無網(wǎng)格法的研究已成為計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域中最熱點(diǎn)的研究方向之一.實(shí)際上早在20多年前研究人員就已經(jīng)開始了無網(wǎng)格法的研究.最早的無網(wǎng)格法之一是光滑質(zhì)點(diǎn)水動(dòng)力學(xué)法(smoothparticlehydrodynamics,SPH),是由Lucy和Moraghan等于1977年率先提出的,并被大量地應(yīng)用于天體物理學(xué)的研究中.不過,直到20世紀(jì)90年代初,無網(wǎng)格法并沒有突破性的發(fā)展也沒有得到足夠的重視.1994年美國的Belytschko教授在修正了所謂的模糊單元法(diffuseelementmethod,DEM)的基礎(chǔ)上提出了自由單元Galerkin(elementfreeGalerkin,EFG)法以后,無網(wǎng)格法才得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展.那么,什么叫無網(wǎng)格法呢?無網(wǎng)格法(或稱為自由網(wǎng)格法)是在對(duì)于一個(gè)問題域建立離散的系統(tǒng)方程時(shí)不用事先定義好的網(wǎng)格的一種數(shù)值方法.無網(wǎng)格法的最低要求是:至少在進(jìn)行場量近似時(shí)不需要事先定義好的網(wǎng)格.而一個(gè)理想的無網(wǎng)格法在求解一個(gè)問題的全過程中都不需要事先定義好的網(wǎng)格(包括場量近似和數(shù)值積分).按這一要求,目前已提出的很多無網(wǎng)格法并不是真正理想的無網(wǎng)格法.例如,EFG法在進(jìn)行場量近似時(shí)不需要網(wǎng)格,而為了得到弱式所需的數(shù)值積分,需要一種所謂的“背景網(wǎng)格”,盡管這一背景網(wǎng)格和場點(diǎn)無關(guān),但仍需事先定義.由于在無網(wǎng)格法中不再使用相互聯(lián)結(jié)的單元來離散問題域,上面所提到的在有限元分析中由于使用單元而引起的問題自然得到解決.和有限元相比,無網(wǎng)格法的優(yōu)點(diǎn)包括:不需要網(wǎng)格;容易構(gòu)造高階形狀函數(shù);容易進(jìn)行自適應(yīng)分析;能夠解決一些傳統(tǒng)數(shù)值方法很難解決的問題.例如,如無網(wǎng)格法已經(jīng)成功地應(yīng)用于大變形問題,金屬成型問題,動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展問題,高速?zèng)_擊問題,穿透問題,巖土工程等.當(dāng)然無網(wǎng)格法也存在計(jì)算量大,效率低等很多缺點(diǎn).有關(guān)無網(wǎng)格法優(yōu)缺點(diǎn)的詳細(xì)討論詳見第4部分.目前,有關(guān)無網(wǎng)格法的文章迅速增加,每年也舉行很多和無網(wǎng)格法相關(guān)的國際會(huì)議及講座,已提出的無網(wǎng)格法已不下十幾種之多.除了有關(guān)無網(wǎng)格法的文章外,幾本有關(guān)無網(wǎng)格法的專著也相繼出版.對(duì)于目前的無網(wǎng)格法有不同的分類方法,如根據(jù)使用的無網(wǎng)格形狀函數(shù)的不同來分類;根據(jù)使用的計(jì)算模型來分類;根據(jù)域內(nèi)離散與否來分類(類似與FEM和BEM的分類)等等.根據(jù)無網(wǎng)格法所使用的計(jì)算模型不同,無網(wǎng)格法可分為3大類:(1)基于配點(diǎn)的無網(wǎng)格法;(2)基于弱式(主要是各種Galerkin弱式)的無網(wǎng)格法.(3)基于積分弱式和配點(diǎn)結(jié)合的無網(wǎng)格法.本文目的在于評(píng)述幾種主要的無網(wǎng)格法;論述典型的無網(wǎng)格形狀函數(shù)的構(gòu)造方法;介紹無網(wǎng)格法的發(fā)展現(xiàn)狀;評(píng)價(jià)已提出無網(wǎng)格法的優(yōu)缺點(diǎn),并對(duì)幾種典型無網(wǎng)格法進(jìn)行比較;討論無網(wǎng)格法發(fā)展所面臨的問題等.最后指出無網(wǎng)格法的發(fā)展趨勢.在回顧各種無網(wǎng)格法發(fā)展之前,我們先討論一下在無網(wǎng)格法中最基本,又是最核心的問題:無網(wǎng)格法形狀函數(shù)的構(gòu)造.2無網(wǎng)格形狀函數(shù)任何一種求解偏微分方程的數(shù)值方法,都需要通過某種近似方法將無限維的問題轉(zhuǎn)化為有限維的問題,使得問題的解,可以用有限個(gè)參數(shù)來表征:如有限級(jí)數(shù)的系數(shù),解在有限個(gè)給定點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))上的值或加權(quán)平均值等.而后通過偏微分方程和邊界及初始條件(強(qiáng)形式)或變分方程和相關(guān)條件(弱形式)來確定這些參數(shù).通常問題的解u(x)都可以通過這些有限個(gè)參數(shù)αi近似地表示為Ni(x)一般稱之為插值函數(shù)或形狀函數(shù).對(duì)于有限元方法,形狀函數(shù)滿足Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì)，也就是這一關(guān)系的存在使得有限元方法對(duì)一些問題的處理(如對(duì)本質(zhì)邊界條件的處理)變得簡單,這也是有限元方法的優(yōu)點(diǎn)之一.早期的無網(wǎng)格方法的形狀函數(shù)往往是不滿足這一關(guān)系的.為克服早期無網(wǎng)格方法的弱點(diǎn),進(jìn)行了大量的研究工作.在無網(wǎng)格法的發(fā)展和研究中,如何成功地構(gòu)造無網(wǎng)格形狀函數(shù)是我們所面臨的核心問題.一個(gè)理想的無網(wǎng)格形狀函數(shù)構(gòu)造法應(yīng)滿足如下條件:(1)應(yīng)適用于任意分布的場點(diǎn)——不規(guī)則點(diǎn)的適應(yīng)性.這樣才能適用于工程中的復(fù)雜問題的分析;(2)應(yīng)基于局部近似(應(yīng)用局部點(diǎn)進(jìn)行近似)——局部性;這樣才能產(chǎn)生一個(gè)帶狀的矩陣,提高求解效率,適于計(jì)算大型的問題.(3)所構(gòu)造的形狀函數(shù)應(yīng)滿足一定的再生性和協(xié)調(diào)性的要求——再生性和協(xié)調(diào)性;這是保證無網(wǎng)格法收斂的重要條件.(4)應(yīng)有較高的計(jì)算效率——高效性;(5)最好具有Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì).這一性質(zhì)可使無網(wǎng)格法容易精確地滿足本質(zhì)邊界條件.近年來,研究人員先后提出了幾種無網(wǎng)格形狀函數(shù)構(gòu)造法.這些方法一般僅可滿足上面所述的部分要求,到目前為止還沒有一種滿足上面所有要求的理想的構(gòu)造方法.已有的無網(wǎng)格形狀函數(shù)的構(gòu)造法可分成3大類:2.1再生核雜質(zhì)法在此方法中,一個(gè)場函數(shù)f(x)的近似值可應(yīng)用積分形式來表示式中W為Kernel函數(shù)(或權(quán)函數(shù),也稱為光滑函數(shù)).光滑質(zhì)點(diǎn)水動(dòng)力學(xué)(SPH)法和再生核質(zhì)點(diǎn)法(reproducingKernelparticlemethod,RKPM)屬于這一方法.SPH形狀函數(shù)構(gòu)造法是于1977年提出的.在SPH中,一個(gè)場函數(shù)u(x)在一點(diǎn)的近似值可以表示為式中Ωx是光滑域,h為光滑域長度.在這一形式中,核(Kernel)函數(shù)起著非常大的作用.Monaghan仔細(xì)研究了Kernel函數(shù)應(yīng)該滿足的條件,更詳細(xì)的討論可見有關(guān)無網(wǎng)格法的專著.常用的核函數(shù)包括:指數(shù)函數(shù)和各種樣條函數(shù)等.有關(guān)常用的核函數(shù)的討論可見文章.SPH構(gòu)造法的主要缺點(diǎn)是SPH形狀函數(shù)不滿足Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì),另外離散的SPH形狀函數(shù)很難保證一致性的要求.因此美國的Liu引入了所謂的窗口函數(shù)修正了傳統(tǒng)的SPH形式,使其滿足所需要階次的一致性,這就是所謂的再生核質(zhì)點(diǎn)法(RKPM).在RKPM中,場函數(shù)u(x)在一點(diǎn)的近似值表示為式中C(x,ζ)是修正函數(shù),它可通過滿足所需要的一致性條件來構(gòu)造.有關(guān)C(x,ζ)的詳細(xì)構(gòu)造方法可參見文獻(xiàn).RKPM還先后發(fā)展出了一些變種形式,如:基于小波分析的伸縮尺度平移及多分辨率等特點(diǎn)的多尺度再生核質(zhì)點(diǎn)法(MSRKPM)和小波質(zhì)點(diǎn)法,另外還有基于移動(dòng)最小二乘法的再生核法(MLSRKM)等.然而和SPH形狀函數(shù)類似,RKPM形狀函數(shù)具有較低的近似精度和不滿足Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì)等缺點(diǎn),這使得以SPH和RKPM為基礎(chǔ)的無網(wǎng)格法精度較低和施加邊界條件需特殊處理.2.2移動(dòng)最小二乘法在此方法中,一個(gè)場函數(shù)可用如下形式表示式中ai為插值系數(shù),pi(x)為基函數(shù).移動(dòng)最小二乘法(movingleastsquares,MLS),點(diǎn)插值法(pointinterpolationmethod,PIM),單位分解法(partitionofUnity,PU)和hp-云法等均屬于這一方法.(1)種新的最小二乘法形式Lancaster和Salkauskas在進(jìn)行曲面擬合時(shí)推廣了標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘形式提出了移動(dòng)最小二乘法(MLS).在移動(dòng)最小二乘法中一個(gè)場函數(shù)u(x)在一點(diǎn)的近似值可以表示為這里p(x)是完備的多項(xiàng)式基函數(shù)向量,a(x)是插值系數(shù)向量,m是基函數(shù)的項(xiàng)數(shù)(例如在二維問題中若取線性基函數(shù),則m=3),a(x)通過使得加權(quán)最小二乘的誤差最小來求得.式中n是用于插值的場點(diǎn)數(shù),且n>m.W是權(quán)函數(shù).這里應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是,a(x)也是插值點(diǎn)的函數(shù),它隨插值點(diǎn)的移動(dòng)而變化,這一點(diǎn)和標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘形式有所不同,這就是所謂“移動(dòng)”的由來,也是使MLS形狀函數(shù)能滿足相容性要求(compatibility)的主要原因.移動(dòng)最小二乘法的最大優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用較低階的基函數(shù)(如線性基函數(shù))通過選取適當(dāng)權(quán)函數(shù)來獲得具有較高連續(xù)性和相容性的形狀函數(shù).其主要缺點(diǎn)是MLS形狀函數(shù)不滿足Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì),這增加了處理邊界條件的困難.(2)基于徑向基函數(shù)的點(diǎn)插值點(diǎn)插值法是最古老的插值方法之一,實(shí)際上有限元應(yīng)用的就是點(diǎn)插值,只不過其插值是在特定的單元內(nèi)進(jìn)行的.無網(wǎng)格點(diǎn)插值可寫為如下形式這里p(x)是基函數(shù)向量,a是插值系數(shù)向量,n是用于插值的場點(diǎn)數(shù).基函數(shù)項(xiàng)數(shù)和插值場點(diǎn)數(shù)在PIM中是一致的.這里的a是插值常數(shù),只要用于插值的場點(diǎn)確定后,它不隨插值點(diǎn)的移動(dòng)而變化,這一點(diǎn)和移動(dòng)最小二乘法有所不同.到目前為止PIM中應(yīng)用了兩種基函數(shù),一是普通的多項(xiàng)式,另一種是徑向基函數(shù)(radialbasisfunction,RBF).應(yīng)用多項(xiàng)式基函數(shù),PIM插值形式簡單,并且對(duì)于規(guī)則分布的場點(diǎn)的插值具有較高的精度.但若所選多項(xiàng)式基函數(shù)和所選的插值場點(diǎn)不匹配的話,多項(xiàng)式點(diǎn)插值的矩陣可能產(chǎn)生病態(tài)或奇異.為了解決這一問題,先后提出了一系列方法,如隨機(jī)移點(diǎn)法,局部坐標(biāo)變換法,和基于矩陣運(yùn)算的矩陣三角化法(matrixtriangularizationalgorithm,MTA)等.盡管這些方法可基本上解決多項(xiàng)式PIM的插值奇異性問題,但它們?nèi)栽诩夹g(shù)上存在或多或少的不足之處.因此,插值的奇異性問題仍限制了多項(xiàng)式PIM的應(yīng)用.徑向基函數(shù)(RBF)是一組僅以距離為自變量的特殊基函數(shù).RBF已成功地應(yīng)用于地質(zhì)分析中.RBF具有對(duì)任意分布場點(diǎn)的插值穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn),有效地解決了多項(xiàng)式插值中所存在的奇異性問題.另外,RBF很容易地從二維推廣到三維(因其自變量僅為距離),因此,RBF在構(gòu)造無網(wǎng)格PIM形狀函數(shù)中越來越受到重視(radialPIM,RPIM).常用的RBF包括:MQ(multi-quadrics)函數(shù),Gaussian函數(shù),薄板樣條(thinplatespline,TPS)函數(shù),緊支的徑向基函數(shù)(CSRBF)等.有關(guān)這些函數(shù)的特性已有了很多研究結(jié)果.由于RBF所具有的優(yōu)點(diǎn),RBF插值將是一種很有發(fā)展前景的無網(wǎng)格形狀函數(shù)構(gòu)造法.除了上述的點(diǎn)插值法外,還提出了其它幾種PIM形式,如加權(quán)的點(diǎn)插值和Kriging點(diǎn)插值法等.其中Dai等證明了Kriging點(diǎn)插值法實(shí)際上是基于徑向基函數(shù)插值的另外一種表達(dá)形式,他們構(gòu)造的形狀函數(shù)的形式完全相同.為了比較MLS和PIM形狀函數(shù)的不同,圖1給出了一維MLS和PIM(應(yīng)用多項(xiàng)式和RBF)的形狀函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的例子.從圖1中可以發(fā)現(xiàn),MLS形狀函數(shù)不具有Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì),與此相反,PIM形狀函數(shù)具有Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì).和PIM相比,MLS形狀函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)更加光滑.此外,MLS和PIM相比近似精度一般較低且需要較多的場點(diǎn)進(jìn)行近似,這一點(diǎn)已應(yīng)用曲面擬合進(jìn)行了詳細(xì)的比較和分析.不過,PIM形狀函數(shù)由于沒有使用權(quán)函數(shù),很難自動(dòng)保證全域的相容性.為了克服這一缺點(diǎn),因此提出了加約束的弱形式.這里應(yīng)再次強(qiáng)調(diào),MLS形狀函數(shù)可通過選取適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)來保證其全域的相容性.除了MLS和PIM外,其它屬于有限函數(shù)序列無網(wǎng)格形狀函數(shù)的構(gòu)造法還包括:單位分解法(PU),hp-云法(hp-Clouds)等.這類方法給出一種構(gòu)造滿足單位分解形狀函數(shù)的方式,從而也揭示了一些無網(wǎng)格形狀函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系.如,MLS可組成單位分解函數(shù)應(yīng)用于PU法和hp-云法中.2.3ethod,fpm在此類方法中,一個(gè)場函數(shù)應(yīng)用如下泰勒級(jí)數(shù)展開的形式表示為有限插分法中應(yīng)用的就是此種方法.有限點(diǎn)法(finitepointmethod,FPM)就是屬于這一方法的無網(wǎng)格形狀函數(shù)構(gòu)造法.綜上所述,盡管到目前為止已經(jīng)提出了多種無網(wǎng)格形狀函數(shù)構(gòu)造法,它們各有其優(yōu)缺點(diǎn),可以說到目前為止還沒有找到一個(gè)十全十美的方法.在實(shí)際計(jì)算中常用的方法包括:SPH,RKPM,MLS,RPIM等.可以說,尋找一個(gè)有效,穩(wěn)定和精確的理想的無網(wǎng)格形狀函數(shù)構(gòu)造法仍是無網(wǎng)格法發(fā)展中的重點(diǎn)之一,并且在這一領(lǐng)域還需要我們作大量的研究工作.3現(xiàn)在提出的無網(wǎng)絡(luò)法3.1u3000利用sph的方法原理所謂配點(diǎn)方法就是直接離散微分(或偏微分)方程的一類數(shù)值方法.它的歷史要比基于積分弱式的無網(wǎng)格法要長的多.這些方法包括:無網(wǎng)格vortex法,基于任意網(wǎng)格的差分法,有限點(diǎn)法(FPM),hp-云法(hp-Clouds)和各種形式的無網(wǎng)格配點(diǎn)法(Collocation法).基于配點(diǎn)的無網(wǎng)格法具有形式簡單,易于應(yīng)用和編程的優(yōu)點(diǎn).另外由于在此類方法中一般沒有積分,使得這類方法不但計(jì)算效率高也可徹底擺脫對(duì)網(wǎng)格的依賴.然而這類方法在穩(wěn)定性和精度上都比不過基于積分弱式的無網(wǎng)格法.另外,在這類方法中較難處理邊界條件(特別是導(dǎo)數(shù)邊界條件).為了解決這一問題,先后提出了一些改進(jìn)的配點(diǎn)法,如基于Hermite插值的配點(diǎn)法,基于最小二乘的配點(diǎn)法等.有關(guān)基于配點(diǎn)的無網(wǎng)格法的討論可詳見相應(yīng)的出版物,如文.在通常的分類中,光滑質(zhì)點(diǎn)流體動(dòng)力學(xué)法(SPH)也被歸為基于強(qiáng)式(配點(diǎn))的無網(wǎng)格法.實(shí)際上,SPH在某種意義上也是一種基于弱式的方法,只不過其弱化過程是在場量及其導(dǎo)數(shù)的近似時(shí)進(jìn)行的,這一點(diǎn)和通常的基于弱式的方法不同.通常的基于弱式的方法是在得到離散的系統(tǒng)方程時(shí)進(jìn)行弱化的.在本文中,我們?nèi)詫PH歸于基于強(qiáng)式的無網(wǎng)格法中.作為較早提出的一種無網(wǎng)格法,光滑質(zhì)點(diǎn)流體動(dòng)力學(xué)法(SPH)的主要思想是認(rèn)為任何一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)可離散為一系列的任意分布的質(zhì)點(diǎn),所有有關(guān)這一系統(tǒng)的量(物理的或數(shù)值的)都認(rèn)為集中于這些質(zhì)點(diǎn)上.起初SPH被大量用于天體物理和流力學(xué)有關(guān)的研究領(lǐng)域.例如對(duì)二元星和恒星爆炸的模擬,對(duì)彈性流的模擬,對(duì)重力流的模擬,和對(duì)熱傳導(dǎo)的模擬等.近年來,SPH被大量地應(yīng)用于用一些傳統(tǒng)的數(shù)值方法很難解決的問題的模擬中,如高速?zèng)_擊問題,高速爆炸問題,和穿透問題等.SPH的缺點(diǎn)包括張力不穩(wěn)定問題,不能保證插值的一致性,零能模式和難于處理本質(zhì)邊界條件等.研究人員已經(jīng)提出了一系列改進(jìn)措施.Liu和其同事,引進(jìn)了窗口函數(shù)對(duì)SPH進(jìn)行了改進(jìn)并提出了RKPM法,Aluru在此基礎(chǔ)上提出了基于配點(diǎn)的再生核質(zhì)點(diǎn)法(RKPM)并用于微機(jī)械電子系統(tǒng)(MEMS)的分析和模擬中.目前,已有一些商業(yè)軟件包括了SPH解題器,如AUTODYN和LS-DYNA.3.2dem方法的發(fā)展和基于配點(diǎn)的無網(wǎng)格法相比,基于弱式的無網(wǎng)格法發(fā)展得要晚得多.1992年Nayroles等在他的文章中第一次將移動(dòng)最小二乘(MLS)近似和伽遼金弱式結(jié)合起來提出了所謂模糊單元法(diffuseelementmethod,DEM).在DEM方法中,節(jié)點(diǎn)的布置和有限元中的一樣,然而其形狀函數(shù)的建立是基于MLS.不過在其推導(dǎo)中,在對(duì)形狀函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的處理中有一些不合理的地方,從而限制了DEM的進(jìn)一步發(fā)展.1994年美國的Belytschko教授在修正了DEM的基礎(chǔ)上發(fā)表了一篇重要的文章在此文章中提出了自由單元伽遼金(elementfreeGalerkin,EFG)法.從EFG法提出后,基于弱式的無網(wǎng)格法的研究才真正蓬勃開展起來,這體現(xiàn)在先后提出多種無網(wǎng)格法,出現(xiàn)了大量的有關(guān)無網(wǎng)格法的論文和報(bào)告,例如:回顧和總結(jié)性文章,幾期雜志特刊,先后出版了幾本有關(guān)無網(wǎng)格法的專著等,并且舉行多次有關(guān)無網(wǎng)格法的國際會(huì)議和研討會(huì).下面討論幾種典型的基于弱式的無網(wǎng)格法.3.2.1galeshen控制方程的離散類似于有限元法,此類無網(wǎng)格法中獲得離散方程一般應(yīng)用Galerkin方法.通過對(duì)原控制方程的弱形式實(shí)施Galerkin過程,然后應(yīng)用無網(wǎng)格形狀函數(shù)進(jìn)行離散.這里著重介紹EFG法,無網(wǎng)格點(diǎn)插值法(meshfreepointinterpolationmethod,MPIM)和RKPM法.(1)在求解彈性力學(xué)問題中的應(yīng)用以二維彈性靜力學(xué)為例,EFG法應(yīng)用如下標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin弱形式:這里L(fēng)是微分算子.應(yīng)用MLS在局部插值域Ωs(如圖2所示)內(nèi)構(gòu)造無網(wǎng)格形狀函數(shù)從而建立離散方程.由于弱形式的積分是基于整個(gè)問題域Ω的,因此需要一個(gè)全域的“背景網(wǎng)格”進(jìn)行數(shù)值積分(如圖2).這一積分網(wǎng)格在理論上是獨(dú)立于場點(diǎn)的.EFG法首先被應(yīng)用于求解彈性力學(xué)問題,結(jié)果發(fā)現(xiàn)EFG法比有限元法具有更好的精度和收斂性.另外,EFG法對(duì)于點(diǎn)的分布不敏感,對(duì)于任意分布的亂點(diǎn)仍可獲得較好的計(jì)算精度.因此,EFG法被大量的應(yīng)用在計(jì)算力學(xué)(尤其固體力學(xué))中.在已發(fā)表的研究結(jié)果中,EFG法已經(jīng)成功地應(yīng)用于二維和三維線性或非線性固體力學(xué)問題;裂紋擴(kuò)展問題;梁,板,殼結(jié)構(gòu);和電磁場問題等非常廣泛的領(lǐng)域.EFG法主要缺點(diǎn)包括:應(yīng)用本質(zhì)邊界條件困難和計(jì)算效率低.應(yīng)用本質(zhì)邊界條件困難的原因是因?yàn)镸LS形狀函數(shù)沒有Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì).目前,已提出了一些在EFG中應(yīng)用本質(zhì)邊界條件數(shù)值技術(shù),這些數(shù)值方法歸納起來包括:拉格朗日乘子法罰函數(shù)法,奇異值分解法和約束MLS法等.其中最有效也是最常用的是罰函數(shù)法.EFG較低的計(jì)算效率是因?yàn)槭褂昧藦?fù)雜的MLS近似和背景積分.為了提高EFG的計(jì)算效率,先后提出了一些改進(jìn)措施,如:點(diǎn)積分,EFG加速計(jì)算法等.不過,這些數(shù)值技術(shù)還是沒能從根本上解決EFG法所存在的問題.(2)無網(wǎng)格點(diǎn)插值mpim無網(wǎng)格點(diǎn)插值法(meshfreepointinterpolationmethod,MPIM)其應(yīng)用過程非常類似于EFG法,所不同的是,應(yīng)用了點(diǎn)插值法(PIM)構(gòu)造無網(wǎng)格形狀函數(shù).和MLS形狀函數(shù)相比,PIM形狀函數(shù)滿足Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì),因此在MPIM中應(yīng)用本質(zhì)邊界條件非常容易.由于插值穩(wěn)定性的原因,基于多項(xiàng)式PIM的MPIM的應(yīng)用比較有限,而基于局部支撐徑向基函數(shù)(RBF)的RBF無網(wǎng)格點(diǎn)插值(MRPIM)得到更廣泛的應(yīng)用.MRPIM主要缺點(diǎn)包括:需要確定RBF的形狀參數(shù)和計(jì)算效率較低.另外,PIM形狀函數(shù)難于滿足全域的相容性條件.實(shí)際上不考慮相容性(不加約束)的MRPIM仍具有很好的收斂性和精度,因此在實(shí)際計(jì)算中多不考慮全域的相容性.無網(wǎng)格點(diǎn)插值法已經(jīng)成功地應(yīng)用于二維彈性力學(xué)問題彈塑性(材料非線性)問題,智能材料(壓電材料)和土木工程問題中的地基問題等領(lǐng)域.盡管目前為止的MRPIM的應(yīng)用還沒有EFG廣泛,但MRPIM具有精度高,處理邊界條件簡單,可應(yīng)用成熟的FEM技術(shù)和易于擴(kuò)展到三維問題等優(yōu)點(diǎn).因此,MRPIM有一個(gè)很好的應(yīng)用和發(fā)展前景.(3)其他rkpm法前面已提到了基于配點(diǎn)的RKPM法,基于弱式的RKPM法得到了更廣泛的應(yīng)用.此外還陸續(xù)提出了一些其它形式的RKPM法:多尺度再生核質(zhì)點(diǎn)法(MSRKPM),小波質(zhì)點(diǎn)法(WPM)和移動(dòng)最小二乘再生核法(MLSRKM)等.各種RKPM法已成功應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題,大變形分析,CFD和MEMS等的計(jì)算和模擬中.這方面的綜述文章已經(jīng)很多,這里就不再仔細(xì)討論了.3.2.2mlpg法關(guān)于局部無網(wǎng)格法的研究基于全域伽遼金弱式的無網(wǎng)格法(如EFG法)需要用全域背景網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值積分,這使得此類方法不能完全擺脫對(duì)“網(wǎng)格”的依賴.Atluri等應(yīng)用局部伽遼金弱式于1998年提出了無網(wǎng)格局部伽遼金法(meshlessPetrov-Galerkinmethod,MLPG).MLPG的核心是對(duì)控制方程在一個(gè)局部子域Ωq(圖3所示)采用局部加權(quán)殘值法(類似于子域法)這里i是所選擇的權(quán)函數(shù).方程(12)應(yīng)用分步積分后可進(jìn)一步得到Petrov-Galerkin弱式,然后應(yīng)用MLS在局部插值域Ωs上構(gòu)造試探函數(shù),從而使一個(gè)需要在全域求解的問題簡化為在各個(gè)子域上對(duì)局部伽遼金方程的求解問題,從而避免了全域的數(shù)值積分.如圖3所示,MLPG只需要在局部子域Ωq進(jìn)行局部數(shù)值積分,局部域可以選擇簡單的形狀并可在計(jì)算中自動(dòng)生成(如圖中的圓形域或矩形域).因此和EFG法相比,MLPG法大大地減小了對(duì)背景積分網(wǎng)格的依賴.可以說,在無網(wǎng)格方面,MLPG法比EFG法朝我們理想的目標(biāo)邁進(jìn)了一大步.Atluri和他的研究組對(duì)MLPG法作了進(jìn)一步的研究,Atluri等在其綜述性的文章中對(duì)MLPG法進(jìn)行系統(tǒng)的評(píng)價(jià),并提出了適于MLPG法的誤差分析法.2002年和2004年Atluri等出版了兩本有關(guān)MLPG法的專著然而,MLPG的應(yīng)用還遠(yuǎn)沒有EFG那么廣.到目前為止,MLPG法的應(yīng)用主要集中在:求解二維勢流問題,二維彈性問題,一維4階薄或厚梁問題,薄板問題,線性裂紋問題,流體力學(xué)問題等.MLPG法的缺點(diǎn)包括:MLPG的“剛度陣”帶狀但不對(duì)稱.這是因?yàn)闄?quán)函數(shù)和試探函數(shù)取自不同的空間和不對(duì)稱的邊界積分引起的.不對(duì)稱的剛度陣無疑將增加求解的難度和計(jì)算量.MLPG的另一個(gè)缺點(diǎn)是,MLPG需要進(jìn)行局部邊界積分.盡管在MLPG中大部分的邊界積分可通過選用適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)消除掉,但在問題域的邊界上或附近,邊界積分是不可避免的,這將增加求解的難度和計(jì)算量,尤其對(duì)于一些具有復(fù)雜邊界(幾何形狀)的問題,局部邊界積分變得更難處理.另外兩種局部無網(wǎng)格法是局部點(diǎn)插值法(localpointinterpolationmethod,LPIM)和局部徑向點(diǎn)插值法(localradialpointinterpolationmethod,LRPIM).LPIM和LRPIM是基于MLPG的思想并將點(diǎn)插值法和局部伽遼金弱式結(jié)合起來而提出的.和MLLPG相比,LPIM和LRPIM更易滿足本質(zhì)邊界條件且有較好的精度和收斂性.這兩種無網(wǎng)格局部點(diǎn)插值法,尤其是LRPIM已被成功地應(yīng)用于不同的問題求解中,如,二維、三維彈性力學(xué)問題,薄及厚梁結(jié)構(gòu),不可壓縮流體問題等.前面我們已經(jīng)提到了,PIM形狀函數(shù)不能自動(dòng)滿足全域相容性的要求,在基于全域弱式的無網(wǎng)格MRPIM中,這一問題將影響其的收斂性和精度.而應(yīng)用局部伽遼金弱式的無網(wǎng)格法不需要滿足全域相容性的要求.因此,應(yīng)用RPIM的局部無網(wǎng)格法更能體現(xiàn)RPIM的優(yōu)點(diǎn),因此也更有前途.當(dāng)然了,這還需要大量的后續(xù)研究工作.3.2.3pim改進(jìn)的邊界型無網(wǎng)格法邊界元法(BEM)是計(jì)算力學(xué)中另一重要的數(shù)值方法,它只需離散問題的邊界,從而減少了網(wǎng)格劃分工作.然而,對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的三維問題,對(duì)其復(fù)雜的表面進(jìn)行網(wǎng)格離散仍是一項(xiàng)艱巨和復(fù)雜的任務(wù).因此,無網(wǎng)格的概念自然也被引入到BEM中.Mukherjee等首先將MLS和傳統(tǒng)的邊界積分方程(BIE)相結(jié)合提出了第一個(gè)邊界型無網(wǎng)格法:邊界點(diǎn)法(boundarynodemetlhod,BNM).BNM已經(jīng)被成功地應(yīng)用于二維三維勢問題和彈性力學(xué)問題中.由于在BNM中應(yīng)用了MLS形狀函數(shù),邊界條件很難滿足.這一問題在邊界型無網(wǎng)格法中顯得更加突出,因?yàn)樵谶@類方法中往往需要處理更多的邊界條件.Mukherjee等提出了一種添加一組額外方程的方法來滿足邊界條件,然而這一處理將增加系統(tǒng)方程的數(shù)目,使BNM計(jì)算效率變得很低.Gu等應(yīng)用PIM替代MLS與邊界積分方程結(jié)合提出了邊界型無網(wǎng)格點(diǎn)插值法(boundarypointinterpolationmethod,BPIM和boundaryradialpointinterpolationmethod,BRPIM)[37,126,127,128].在此方法中,由于應(yīng)用了滿足Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì)的PIM形狀函數(shù),邊界條件很容易處理,不需要任何額外方程,也不需要增加系統(tǒng)方程的個(gè)數(shù),因此大大提高了BPIM和BRPIM的計(jì)算效率.基于廣義變分原理的雜交邊界積分方程是上個(gè)世紀(jì)80年代末90年代初發(fā)展起來.它的主要優(yōu)點(diǎn)是將產(chǎn)生一個(gè)對(duì)稱的系數(shù)陣.雜交邊界積分方程也被用來發(fā)展邊界型無網(wǎng)格法.另外,基于局部邊界積分方程的局部邊界積分方程法(localboundaryintegralequationmethod,LBIEM)也被提了出來,并被應(yīng)用于非線性問題[133,134,135,136]的求解中.3.2.4基于hp-云法的不確定量的計(jì)算以上回顧了幾種典型的無網(wǎng)格法,近10多年來提出了一系列無網(wǎng)格法,除了以上已提到的無網(wǎng)格法外,還有下列一些無網(wǎng)格法.美國學(xué)者Oden和他的學(xué)生提出了hp-云法.該方法應(yīng)用最小二乘原理建立單位分解函數(shù),應(yīng)用Galerkin弱式建立離散的模型,從而推導(dǎo)了一種適于自適應(yīng)分析的無網(wǎng)格法.Liszka基于hp-云法的思想,應(yīng)用配點(diǎn)法提出了另外一種無網(wǎng)格hp-云法.日本Yagawa教授基于點(diǎn)積分的概念,提出了自由網(wǎng)格法(freemeshmethod,FMM).FMM的求解是完全基于場點(diǎn),對(duì)于每個(gè)場點(diǎn)自動(dòng)形成一個(gè)局部的三角形網(wǎng)格,然后進(jìn)行節(jié)點(diǎn)積分.Yagawa及其同事成功地將FMM用于三維固體及流體問題,并將并行計(jì)算引入到計(jì)算中.美國學(xué)者Babuska和他的學(xué)生提出了單位分解法(partitionofunity,PU),其核心思想是應(yīng)用單位分解函數(shù)建立無網(wǎng)格形狀函數(shù),然后應(yīng)用弱式建立離散方程.除此之外,無網(wǎng)格法還包括:點(diǎn)到點(diǎn)法(nodeby-nodemethod),有限覆蓋法(finitecovermethod,FCM),有限球法(finitespheresmethod,FSM)等.3.3存在于局部弱式無網(wǎng)格法前面分別介紹了基于強(qiáng)式(配點(diǎn))和弱式的無網(wǎng)格法.研究發(fā)現(xiàn),基于配點(diǎn)的無網(wǎng)格法有以下優(yōu)點(diǎn):(1)形式簡單;(2)計(jì)算效率高;(3)不需要積分網(wǎng)格,因此它們可稱為真正的無網(wǎng)格法.然而,這類方法的缺點(diǎn)也十分明顯:這類方法精度較低,穩(wěn)定性差,特別對(duì)于具有Neumann(導(dǎo)數(shù))邊界條件的偏微分方程的求解就更加困難,而這種邊界條件在固體力學(xué)問題中大量存在(如應(yīng)力邊界條件就是Neumann條件).造成這一問題的主要原因是基于配點(diǎn)的無網(wǎng)格法處理應(yīng)力邊界條件時(shí)不能很好地控制誤差,并容易造成求解的不穩(wěn)定性.因此,到目前為止,基于配點(diǎn)的無網(wǎng)格法仍主要用于流體問題的求解中,而在固體力學(xué)中的應(yīng)用并不十分成功.與此相反,基于弱式的無網(wǎng)格法具有穩(wěn)定性高和精度好的優(yōu)點(diǎn).這類方法已經(jīng)成功地應(yīng)用于固體力學(xué)問題的分析中.然而基于弱式的無網(wǎng)格法的缺點(diǎn)也十分明顯,它一般需要背景網(wǎng)格(全域或局部的)進(jìn)行數(shù)值積分,嚴(yán)格意義上講它們并不是真正的無網(wǎng)格法.另外,基于弱式的無網(wǎng)格法的計(jì)算量比較大,這主要由積分和插值所引起.因此,自然就會(huì)提出如下問題:既然這兩類方法各有優(yōu)缺點(diǎn),能否將它們結(jié)合起來?基于配點(diǎn)和局部弱式的無網(wǎng)格法有如下本質(zhì)聯(lián)系:(1)這兩類方法的應(yīng)用流程基本相同,都是基于場點(diǎn)來組裝系統(tǒng)方程的;(2)如果在基于局部弱式的無網(wǎng)格法中應(yīng)用具有Diracdelta函數(shù)性質(zhì)的權(quán)函數(shù),其將退化為基于配點(diǎn)的無網(wǎng)格法;(3)在基于配點(diǎn)的無網(wǎng)格法中,其計(jì)算誤差和計(jì)算的不穩(wěn)定性主要由導(dǎo)數(shù)邊界條件引起,與此相反,導(dǎo)數(shù)邊界條件在基于局部弱式的無網(wǎng)格法中很容易處理;(4)由于在導(dǎo)數(shù)邊界上的場點(diǎn)相對(duì)較少,在基于局部弱式的無網(wǎng)格法中的大量計(jì)算時(shí)間花費(fèi)在對(duì)內(nèi)部場點(diǎn)和本質(zhì)邊界上的場點(diǎn)的數(shù)值積分上.(5)基于以上特性,最近提出了一種基于弱式-配點(diǎn)結(jié)合的無網(wǎng)格法(簡稱為無網(wǎng)格弱強(qiáng)式法,meshlessweak-strongform,MWS).如圖4所示,一個(gè)問題域由任意分布的場點(diǎn)來離散.在MWS中,如果一個(gè)場點(diǎn)位于問題域內(nèi)或本質(zhì)邊界上,應(yīng)用配點(diǎn)法建立系統(tǒng)方程;如果一場點(diǎn)位于(或非常接近)導(dǎo)數(shù)邊界上,應(yīng)用局部弱式建立系統(tǒng)方程.然后應(yīng)用前面已經(jīng)介紹的無網(wǎng)格形狀函數(shù)的構(gòu)造法(MLS或RPIM)構(gòu)造形狀函數(shù),從而得到離散的系統(tǒng)方程.這里,應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是,只對(duì)位于(或非常接近)導(dǎo)數(shù)邊界邊界上的場點(diǎn)進(jìn)行局部積分,從而完全避免了問題域內(nèi)或本質(zhì)邊界上場點(diǎn)的數(shù)值積分,因此可節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間.MWS已經(jīng)應(yīng)用于求解二維彈性力學(xué)問題和不可壓縮流體問題,都取得了令人滿意的成果.并且發(fā)現(xiàn)MWS和相應(yīng)的基于局部弱式的無網(wǎng)格法相比具有較高的計(jì)算效率,并且具有較高的精度和穩(wěn)定性.總之,MWS法中應(yīng)用了配點(diǎn)和局部積分弱式相結(jié)合的思想,使得MWS法同時(shí)兼有形式簡單和計(jì)算效率高的無網(wǎng)格配點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn),及精度高和穩(wěn)定性好的無網(wǎng)格弱式法的優(yōu)點(diǎn).不過,由于MWS才提出不久,還有許多技術(shù)問題有待進(jìn)一步解決,例如如何進(jìn)一步提高其穩(wěn)定性,如何提高其h收斂性(尤其應(yīng)用R.BF時(shí)),應(yīng)用MWS解決復(fù)雜的問題等.這需要更多的研究工作.3.4耦合振動(dòng)法.和傳統(tǒng)的FEM或BEM相比,無網(wǎng)格法存在計(jì)算量大效率低的缺點(diǎn).實(shí)際上對(duì)于很多問題應(yīng)用無網(wǎng)格法和其他成熟的方法耦合求解將大大地提高計(jì)算效率.如在一個(gè)大的連續(xù)體上的小裂紋擴(kuò)展問題,若只將無網(wǎng)格法應(yīng)用于包含裂紋的一個(gè)小區(qū)域來發(fā)揮無網(wǎng)格法的優(yōu)勢,而其它大部分區(qū)域應(yīng)用FEM或BEM是非常有效的.因此無網(wǎng)格法和其他方法的耦合法也相應(yīng)地發(fā)展了起來.首先發(fā)展的耦合法是EFG法和FEM或BEM的耦合.由于在EFG中應(yīng)用了MLS形狀函數(shù),使耦合交界面上的位移連續(xù)條件不能自動(dòng)滿足.因此為了克服這一困難,提出了兩種解決方案:(1)參數(shù)修正的形狀函數(shù)在與耦合面相鄰的EFG區(qū)內(nèi)布置一層耦合區(qū),耦合區(qū)劃分成有限元單元(耦合單元).在這一耦合區(qū)內(nèi)應(yīng)用如下修正的形狀函數(shù)這里是修正的形狀函數(shù),φ是MLS形狀函數(shù),N是FEM形狀函數(shù),R是所謂的跳躍函數(shù).通過應(yīng)用這一修正的形狀函數(shù),使得EFG的形狀函數(shù)在耦合面上滿足Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì),從而滿足耦合交界面上的位移連續(xù)條件.這種應(yīng)用修正形狀函數(shù)的方法簡單實(shí)用,但是這種耦合法也有缺點(diǎn),在從純EFG區(qū)到耦合區(qū)的過渡時(shí),修正形狀函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù),另外需要耦合單元也不同程度地增加了網(wǎng)格劃分工作.(2)耦合交界面應(yīng)用拉格朗日乘子法得到耦合交界面上位移連續(xù)條件的泛函項(xiàng)然后將方程(14)中的泛函項(xiàng)加到相應(yīng)的FEM或雜交BEM的泛函中得到耦合方程,耦合交界面上的位移連續(xù)條件從而得以滿足.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是,不用劃分耦合單元,并保持了MLS形狀函數(shù)的較高的連續(xù)性.應(yīng)用上述的兩種方法,先后提出了EFG和FEM耦合法,EFG和BEM及雜交BEM耦合法,EFG和無網(wǎng)格雜交邊界點(diǎn)插值法的耦合等.另外,其它無網(wǎng)格法也被用來和FEM或BEM進(jìn)行耦合,如MLPG和FEM或BEM的耦合法等.3.5無網(wǎng)格法上所使用的特殊問題在經(jīng)歷了一段時(shí)間的發(fā)展后,目前無網(wǎng)格法研究的重點(diǎn)之一是應(yīng)用無網(wǎng)格法解決實(shí)際的工程與科學(xué)問題.無網(wǎng)格法目前主要應(yīng)用于如下幾個(gè)領(lǐng)域:(1)傳統(tǒng)的計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域.很長的一段時(shí)間,大量有關(guān)無網(wǎng)格法的研究工作主要集中在這方面(前面幾節(jié)已經(jīng)詳細(xì)介紹).這方面應(yīng)用的目的主要是通過和其它方法的比較來探討無網(wǎng)格法的性質(zhì).然而這類應(yīng)用并不能真正體現(xiàn)無網(wǎng)格法特有的優(yōu)勢.(2)-些傳統(tǒng)方法不易解決的特殊問題.這類應(yīng)用主要包括.:大變形問題;裂紋擴(kuò)展問題[151,152,153,154,155,156,157];接觸問題;高速?zèng)_擊問題;高速爆炸問題;材料裂變問題;金屬材料成型問題,穿透問題等.對(duì)于這些問題的應(yīng)用真正體現(xiàn)了無網(wǎng)格法較之傳統(tǒng)方法所具有的優(yōu)勢.(3)應(yīng)用于一些新興的工程和科學(xué)領(lǐng)域.近年來,隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,出現(xiàn)了一些諸如生命科學(xué),微尺度,納米技術(shù)等熱點(diǎn)研究領(lǐng)域.在這些問題中,經(jīng)常涉及到強(qiáng)非線性,超大變形,多尺度結(jié)合,多場耦合等.這無疑對(duì)數(shù)值模擬方法提出了更大的挑戰(zhàn),以有限元和有限差分為代表的傳統(tǒng)的數(shù)值方法很難勝任.而無網(wǎng)格法在這些領(lǐng)域越來越顯示出其優(yōu)勢,因此最近幾年來無網(wǎng)格法越來越多地應(yīng)用于這些領(lǐng)域,例如,應(yīng)用于納米級(jí)多尺度(multi-scales)問題[164,165,166,167],細(xì)胞滲透,血液流動(dòng),生物微電子系統(tǒng)(Bio-MEMS)等.當(dāng)然無網(wǎng)格法在這些領(lǐng)域的應(yīng)用中還有很多不成熟和有待提高的地方,但可以預(yù)見,無網(wǎng)格法在這些領(lǐng)域的應(yīng)用中將大有作為.4無網(wǎng)格法的未來發(fā)展經(jīng)過短短10多年的時(shí)間,無網(wǎng)格法象雨后春筍一般蓬勃發(fā)展起來.目前已經(jīng)成為計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)話題之一.仔細(xì)算來,已經(jīng)提出的無網(wǎng)格法不下十幾種.上面已介紹一些典型的方法,總結(jié)起來,到目前為止比較成熟的無網(wǎng)格法包括:SPH,RKPM,EFG,RPIM,LRPIM,MLPG等.為了比較起見,表1中列出了幾種典型的無網(wǎng)格法.由表1可見,無網(wǎng)格法的區(qū)別主要來自兩個(gè)方面:選用不同形狀函數(shù)構(gòu)造法和選用不同計(jì)算模型.這些無網(wǎng)格方法各有優(yōu)缺點(diǎn).這一點(diǎn)在上面已經(jīng)有所討論.總結(jié)起來無網(wǎng)格法的共同優(yōu)點(diǎn)包括:(1)不需要網(wǎng)格(至少函數(shù)近似不需要網(wǎng)格),大大減少了有限元法中單元?jiǎng)澐止ぷ鞯呢?fù)擔(dān).(2)容易構(gòu)造高階形狀函數(shù),這不但有利于提高精度,也減少了后處理的工作量.(3)能