關(guān)于具有逆斷面的正元群

關(guān)于具有逆斷面的正元群

正交*-半組的概念由t.e.nordahl和h.e.scheiblih給出。m.異議和t.imaka進(jìn)行了進(jìn)一步研究。左后半組和左后半組由p.s.ventisan研究，朱鳳林研究了一個(gè)完全不同的角度。本文證明了,正則*-半群是純正半群、存在正則*-半群S,ρ是它的同余時(shí),S/ρ不是正則*-半群.本文未給出的概念、符號見1正則半群所具有的條件設(shè)S是正則半群,E(S)為S的冪等元集,V(a)為a的逆元集.定義1.1如果一個(gè)半群S上有一個(gè)一元運(yùn)算*:S→S,它滿足對?a、b∈S,(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(ab)*=b*a*.則稱S是正則*-半群.在正則*-半群S中,a*aa*=((a*aa*)*)*=(aa*a)*=a*.所以a*是a的一個(gè)逆元、S是正則半群.定義1.2設(shè)S是正則半群,E(S)為S的冪等元集.E(S)的一個(gè)子集F被稱為p-組,如果滿足:(1)對?a∈S,存在唯一一個(gè)逆元a*使得aa*、a*a屬于F.(2)對?a∈S,a*Fa?F,這里*一元運(yùn)算由(1)確定.(3)F2?E(S).定理1.3正則半群S是正則*-半群的充分必要條件為:它至少有一個(gè)p-組.定義1.4設(shè)S是正則半群,E(S)為S的冪等元集.如果e、f∈E(S)時(shí),有ef∈E(S).則稱S是純正半群.(OrthodoxSemigroups)定義1.5正則半群S稱為右逆半群(Rightunipotentsemigroups),如果E(S)是左正則帶(右正則帶)即?e、f∈E(S)滿足efe=ef(efe=fe).定理1.6S是正則半群,那么下列幾條等價(jià)(1)S是右逆半群.(2)每一個(gè)R-類僅有一個(gè)冪等元.(3)對?e∈E(S)?a∈S和a′∈V(a)有aea′=ae.(4)對?a∈Sa′、a′′∈V(a)aa′=aa′′.若ρ是正則半群S的一個(gè)同余,我們知道當(dāng)S是純正半群時(shí),S/ρ也是純正半群.當(dāng)S是右逆半群時(shí),S/ρ也是右逆半群.當(dāng)S是逆半群時(shí),S/ρ也是逆半群(InverseSemigroups).并且許多結(jié)論在S/ρ上成立.那么當(dāng)S是正則*-半群時(shí),S/ρ是不是正則*-半群.我們得到否定的結(jié)論.2是材料型的[2]定理2.1若S是正則*-半群,則S是純正半群.證明設(shè)S是正則*-半群,E(S)為S的冪等元集,e、f∈E(S).那么e*e*=(ee)*=e*.冪等元在*運(yùn)算下的象是冪等元.ef=ee*eff*f=ee*e*eff*f*f=ee*(ee*)*ff*(ff*)*因?yàn)镾是正則*-半群由定理1.3,令F是S的一個(gè)p-組.再由定義1.2的(1)ee*(ee*)*∈F,ff*(ff*)*∈F.根據(jù)定義1.2的(3)F2?E(S).有ee*(ee*)*ff*(ff*)*∈E(S).S是純正半群.定理2.2存在正則*-半群S,S不是右逆半群.當(dāng)ρ是它的同余時(shí),S/ρ不是正則*-半群.證明設(shè)S={1,a,b,c,d}它的乘法由下表1給出.容易驗(yàn)證S是一個(gè)正則半群,E(S)=SV(1)={1}V(a)={a,b,c,d}V(b)={a,b,c,d}V(c)={c,a,d,b}V(d)={a,b,c,d}令F={1,a,d}取1*=1,a*=a,b*=c,c*=b,d*=d.因?yàn)樽⒁獾?只有一個(gè)逆元,ab=b,ad=b,ca=c,bb=b,bd=b,cc=c,dc=c,都不屬于F.F滿足定義1.2的條件(1).1F1=FaFa=FcFb=o4k6ae2bFc={a}dFd=o4asekc滿足定義1.2的條件(2).E(S)=S條件(3)顯然.F是一個(gè)p-組,再由定理1.3可知S是一個(gè)正則*-半群.但是,aba=aab=b由定義1.5,S不是右逆半群.令ρ是由以下分類確定的等價(jià)關(guān)系.{1}{a,c}{b,d}aρ=cρ.對于任意x∈Sxaρ=xcρ=aρbρ=dρ對于任意x∈Sxbρ=xdρ=bρ.對于任意y∈{1,a,c},ayρ=cyρ=aρ.對于任意y∈{b,d}ayρ=cyρ=bρ.對于任意y∈{1,b,d},byρ=dyρ=bρ.對于任意y∈{a,c},byρ=dyρ=aρ.所以ρ是S的一個(gè)同余.S/ρ={1ρ,aρ,bρ}它的乘法由表2給出.它自身不是一個(gè)p-組.因?yàn)閍ρ,bρ都是aρ的逆元不滿足定義1.2的條件(1).注意到1ρ只有一個(gè)逆元1ρ,而且{1ρ,bρ}和{1ρ,aρ}都不滿足定義1.2的條件(1).我們發(fā)現(xiàn)S/ρ沒有一個(gè)