2023年等差數(shù)列說課稿

2023年等差數(shù)列說課稿

教學(xué)目標(biāo)

A、學(xué)問目標(biāo)：

駕馭等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法;駕馭公式的運用。

B、實力目標(biāo)：

(1)通過公式的探究、發(fā)覺，在學(xué)問發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培育學(xué)生視察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的實力。

(2)利用以退求進(jìn)的思維策略，遵循從特別到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實踐中通過視察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培育學(xué)生類比思維實力。

(3)通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培育學(xué)生思維的敏捷性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的實力。

C、情感目標(biāo)：(數(shù)學(xué)文化價值)

(1)公式的發(fā)覺反映了普遍性寓于特別性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。

(2)通過公式的運用，樹立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識。

(3)通過生動詳細(xì)的'現(xiàn)實問題，令人著迷的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的愛好和欲望，樹立學(xué)生求真的志氣和自信念，增加學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗，產(chǎn)生酷愛數(shù)學(xué)的情感。

教學(xué)重點：等差數(shù)列前n項和的公式。

教學(xué)難點：等差數(shù)列前n項和的公式的敏捷運用。

教學(xué)方法：啟發(fā)、探討、引導(dǎo)式。

教具：現(xiàn)代教化多媒體技術(shù)。

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。

師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)駕馭了等差數(shù)列的概念、通項公式及其有關(guān)性質(zhì)，今日要進(jìn)一步探討等差數(shù)列的前n項和公式。提起數(shù)列求和，我們自然會想到德國宏大的數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小學(xué)四年級時，一次老師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題："把從1到100的自然數(shù)加起來，和是多少?"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使老師特別驚訝，那么高斯是采納了什么方法來奇妙地計算出來的呢?假如大家也懂得那樣奇妙計算，那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。(老師視察學(xué)生的表情反映，然后將此問題縮小十倍)。我們來看這樣一道一例題。

例1，計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

這道題除了累加計算以外，還有沒有其他好玩的解法呢?小組探討后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。

生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個11，得到55。

生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，依據(jù)加法交換律，又可寫成S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10個

所以我們得到S=55，

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

師：高斯神速計算出1到100全部自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類似。

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一特性質(zhì)呢?

生3：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.

二、教授新課(嘗試推導(dǎo))

師：假如已知等差數(shù)列的首項a1，項數(shù)為n，第n項an，依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來導(dǎo)出它的前n項和Sn計算公式呢?依據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo)，并請一位學(xué)生板演。

生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成

Sn=an+an-1+......a2+a1

兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

n個

=n(a1+an)

所以Sn=

#FormatImgID_0#

(I)

師：好!假如已知等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，項數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

Sn=na1+

#FormatImgID_1#

d(II)上面(I)、(II)兩個式子稱為等差數(shù)列的前n項和公式。公式(I)是基本的，我們可以發(fā)覺，它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項a1，下底是第n項an，高是項數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個量?(a1，d，n，an，Sn)，它們由哪幾個關(guān)系聯(lián)系?[an=a1+(n-1)d，Sn=

#FormatImgID_2#

=na1+

#FormatImgID_3#

d];這些量中有幾個可自由改變?(三個)從而了解到：只要知道其中隨意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例說明公式(I)和(II)的一些應(yīng)用。

三、公式的應(yīng)用(通過實例演練，形成技能)。

1、干脆代公式(讓學(xué)生快速熟識公式，即用基本量觀點相識公式)例2、計算：

(1)1+2+3+......+n

(2)1+3+5+......+(2n-1)

(3)2+4+6+......+2n

(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

請同學(xué)們先完成(1)-(3)，并請一位同學(xué)回答。

生5：干脆利用等差數(shù)列求和公式(I)，得

(1)1+2+3+......+n=

#FormatImgID_4#

(2)1+3+5+......+(2n-1)=

#FormatImgID_5#

(3)2+4+6+......+2n=

#FormatImgID_6#

=n(n+1)

師：第(4)小題數(shù)列共有幾項?是否為等差數(shù)列?能否干脆運用Sn公式求解?若不能，那應(yīng)如何解答?小組探討后，讓學(xué)生發(fā)言解答。

生6：(4)中的數(shù)列共有2n項，不是等差數(shù)列，但把正項和負(fù)項分開，可看成兩個等差數(shù)列，所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個規(guī)律，兩項結(jié)合都為-1，故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n個

師：很好!在解題時我們應(yīng)細(xì)致視察，找尋規(guī)律，往往會找尋到好的方法。留意在運用Sn公式時，要看清等差數(shù)列的項數(shù)，否則會引起錯解。

例3、(1)數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列，假如a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

生8：(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

又∵d=-2，∴a1=6

∴S12=12a1+66×(-2)=-60

生9：(2)由a1+a2+a3=12，a1+d=4

a8+a9+a10=75，a1+8d=25

解得a1=1，d=3∴S10=10a1+

#FormatImgID_7#

=145

師：通過上面例題我們駕馭了等差數(shù)列前n項和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二)，請同學(xué)們依據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外練習(xí)題，以便下節(jié)課溝通。

師：(接著引導(dǎo)學(xué)生，將第(2)小題改編)

①數(shù)列{an}等差數(shù)列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

②若此題不求a1，d而只求S10時，是否肯定非來求得a1，d不行呢?引導(dǎo)學(xué)生運用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求a1+a10的值。

2、用整體觀點相識Sn公式。

例4，在等差數(shù)列{an}，(1)已知a2+a5+a12+a15=36，求S16;(2)已知a6=20，求S11。(老師啟發(fā)學(xué)生解)

師：來看第(1)小題，寫出的計算公式S16=

#FormatImgID_8#

=8(a1+a6)與已知相比較，你發(fā)覺了什么?

生10：依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。

師：對!(簡潔小結(jié))這個題目依據(jù)已知等式是不能干脆求出a1，a16和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和，于是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)。

師：由于時間關(guān)系，我們對等差數(shù)列前n項和公式Sn的運用一一剖析，引導(dǎo)學(xué)生視察當(dāng)d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀點如何來相識Sn公式后，這留給同學(xué)們課外接著思索。

最終請大家課外思索Sn公式(1)的逆命題：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對于全部自然數(shù)n，都有Sn=

#FormatImgID_9#

。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，并說明理由。

四、小結(jié)與作業(yè)。

師：接下來請同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。

生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式。

2、用所推導(dǎo)的兩個公式解決有關(guān)例題，熟識對Sn公式的運用。

生12：1、運用Sn公式要留意此等差數(shù)列的項數(shù)n的值。

2、詳細(xì)用Sn公式時，要依據(jù)已知敏捷選擇公式(I)或(II)，駕馭知三求二的解題通法。

3、當(dāng)已知條件不足以求此項a1和公差d時，要仔細(xì)視察，敏捷應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

師：通過以上幾例，說明在解題中敏捷應(yīng)用所學(xué)性質(zhì)，要訂正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。同時希望大家在學(xué)習(xí)中做一個有心人，去發(fā)覺更多的性質(zhì)，主動主動地去學(xué)習(xí)。

本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法;視察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。

數(shù)學(xué)思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。

等差數(shù)列說課稿13

本節(jié)課講解并描述的是人教版高一數(shù)學(xué)（上）§3.2等差數(shù)列（第一課時）的內(nèi)容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面，數(shù)列作為一種特別的函數(shù)與函數(shù)思想密不行分；另一方面，學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好打算。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的學(xué)問進(jìn)一步深化和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列供應(yīng)了學(xué)習(xí)對比的依據(jù)。

2、教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)教學(xué)大綱的要求和學(xué)生的實際水平，確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)

a在學(xué)問上：理解并駕馭等差數(shù)列的概念；了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及思想；初步引入"數(shù)學(xué)建模"的思想方法并能運用。

b在實力上：培育學(xué)生視察、分析、歸納、推理的實力；在領(lǐng)悟函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把探討函數(shù)的方法遷移來探討數(shù)列，培育學(xué)生的學(xué)問、方法遷移實力；通過階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的實力。

c在情感上：通過對等差數(shù)列的探討，培育學(xué)生主動探究、勇于發(fā)覺的求知精神；養(yǎng)成細(xì)心視察、仔細(xì)分析、擅長總結(jié)的良好思維習(xí)慣。

3、教學(xué)重點和難點

依據(jù)教學(xué)大綱的要求我確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：

①等差數(shù)列的概念。

②等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。

由于學(xué)生第一次接觸不完全歸納法，對此并不熟識因此用不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列的同項公式是這節(jié)課的一個難點。同時，學(xué)生對"數(shù)學(xué)建模"的思想方法較為生疏，因此用數(shù)學(xué)思想解決實際問題是本節(jié)課的另一個難點。

二、學(xué)情分析對于三中的高一學(xué)生，學(xué)問閱歷已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了教強的抽象思維實力和演繹推理實力，所以我在授課時注意引導(dǎo)、啟發(fā)、探討和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點，從而促進(jìn)思維實力的進(jìn)一步發(fā)展。

二、教法分析

針對中學(xué)生這一思維特點和心理特征，本節(jié)課我采納啟發(fā)式、探討式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法，通過問題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動參加數(shù)學(xué)實踐活動，以獨立思索和相互溝通的形式，在老師的指導(dǎo)下發(fā)覺、分析和解決問題。

三、學(xué)法指導(dǎo)在引導(dǎo)分析時，留出學(xué)生的思索空間，讓學(xué)生去聯(lián)想、探究，同時激勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和須要解決的問題弄清。

四、教學(xué)程序

本節(jié)課的教學(xué)過程由（一）復(fù)習(xí)引入（二）新課探究（三）應(yīng)用舉例（四）反饋練習(xí)（五）歸納小結(jié)（六）布置作業(yè)，六個教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成。

（一）復(fù)習(xí)引入：

1.從函數(shù)觀點看，數(shù)列可看作是定義域為__________對應(yīng)的一列函數(shù)值，從而數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的______.（N﹡；解析式）

通過練習(xí)1復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容，為本節(jié)課用函數(shù)思想探討數(shù)列問題作打算。

2.小明目前會100個單詞，他她準(zhǔn)備從今日起不再背單詞了，結(jié)果不知不覺地每天忘掉2個單詞，那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞減為：100,98,96,94,92①

3.小芳只會5個單詞，他確定從今日起每天背記10個單詞，那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞增為5,10,15,20,25②

通過練習(xí)2和3引出兩個詳細(xì)的等差數(shù)列，初步相識等差數(shù)列的特征，為后面的概念學(xué)習(xí)建立基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)新學(xué)問創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲。由學(xué)生視察兩個數(shù)列特點，引出等差數(shù)列的概念，對問題的總結(jié)又培育學(xué)生由詳細(xì)到抽象、由特別到一般的認(rèn)知實力。

（二）新課探究

1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念：

假如一個數(shù)列，從其次項起先它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。強調(diào)：

①"從其次項起"滿意條件；

②公差d肯定是由后項減前項所得；

③每一項與它的前一項的差必需是同一個常數(shù)（強調(diào)"同一個常數(shù)"）；

在理解概念的基礎(chǔ)上，由學(xué)生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，歸納出數(shù)學(xué)表達(dá)式：

an+1-an=d（n≥1）

同時為了協(xié)作概念的理解，我找了5組數(shù)列，由學(xué)生推斷是否為等差數(shù)列，是等差數(shù)列的找出公差。

1.9,8,7,6,5,4,……；√

2.0.70,0.71,0.72,0.73,0.74……；√

3.0,0,0,0,0,0,……；√

4.1,2,3,2,3,4,……；×

5.1,0,1,0,1,……×

其中第一個數(shù)列公差0,第三個數(shù)列公差=0

由此強調(diào)：公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0

2、其次個重點部分為等差數(shù)列的通項公式

在歸納等差數(shù)列通項公式中，我采納探討式的教學(xué)方法。給出等差數(shù)列的首項，公差d,由學(xué)生探討分組探討的通項公式。通過總結(jié)的通項公式由學(xué)生猜想的通項公式，進(jìn)而歸納的通項公式。整個過程由學(xué)生完成，通過相互探討的方式既培育了學(xué)生的協(xié)作意識又化解了教學(xué)難點。

若一等差數(shù)列{}的首項是a1,公差是d,

則據(jù)其定義可得：

a2-a1=d即：a2=a1+d

a3–a2=d即：a3=a2+d=a1+2d

a4–a3=d即：a4=a3+d=a1+3d

……

猜想：a40=a1+39d

進(jìn)而歸納出等差數(shù)列的通項公式：

1（1）

此時指出：這種求通項公式的方法叫不完全歸納法，這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密，為了培育學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)看法，在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項公式的方法------迭加法：

a2–a1=d

a3–a2=d

a4–a3=d

……

an–an-1=d

將這（n-1）個等式左右兩邊分別相加，就可以得到an–a1=（n-1）即an=a1+（n-1）（1）

當(dāng)n=1時，（1）也成立，

所以對一切n∈N﹡，上面的公式都成立

因此它就是等差數(shù)列{}的通項公式。

在迭加法的證明過程中，我采納啟發(fā)式教學(xué)方法。

利用等差數(shù)列概念啟發(fā)學(xué)生寫出n-1個等式。

比照已歸納出的通項公式啟發(fā)學(xué)生想出將n-1個等式相加。證出通項公式。

在這里通過該學(xué)問點引入迭加法這一數(shù)學(xué)思想，逐步達(dá)到"注意方法，凸現(xiàn)思想"的教學(xué)要求

接著舉例說明：若一個等差數(shù)列{an}的首項是1,公差是2,得出這個數(shù)列的通項公式是：an=1+（n-1）×2,即an=2n-1以此來鞏固等差數(shù)列通項公式運用

同時要求畫出該數(shù)列圖象，由此說明等差數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n一次函數(shù)，其圖像是勻稱排開的無窮多個孤立點。用函數(shù)的思想來探討數(shù)列，使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清晰。

（三）應(yīng)用舉例

這一環(huán)節(jié)是使學(xué)生通過例題和練習(xí)，增加對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用，提高解決實際問題的實力。通過例1和例2向?qū)W生表明：要用運動改變的觀點看等差數(shù)列通項公式中的a1、d、n、an這4個量之間的關(guān)系。當(dāng)其中的部重量已知時，可依據(jù)該公式求出另一部重量。

例1（1）求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項；第30項；第40項

（2）-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項？假如是，是第幾項？

在第一問中我添加了計算第30項和第40項以加強鞏固等差數(shù)列通項公式；其次問事實上是求正整數(shù)解的問題，而關(guān)鍵是求出數(shù)列的`通項公式an

例2在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.

在前面例1的基礎(chǔ)上將例2當(dāng)作練習(xí)作為對通項公式的鞏固

例3是一個實際建模問題

建立房屋時要設(shè)計樓梯，已知某大樓第2層的樓底離地面的高度為3米，第三層離地面5.8米，若樓梯設(shè)計為等高的16級臺階，問每級臺階高為多少米？

這道題我采納啟發(fā)式和探討式相結(jié)合的教學(xué)方法。啟發(fā)學(xué)生留意每級臺階"等高"使學(xué)生想到每級臺階離地面的高度構(gòu)成等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生將該實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型------等差數(shù)列：（學(xué)生探討分析，分別演板，老師評析問題。問題可能出現(xiàn)在：項數(shù)學(xué)生認(rèn)為是16項，應(yīng)明確a1為第2層的樓底離地面的高度，a2表示