改進(jìn)遺傳算法及最小二乘法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

第第頁改進(jìn)遺傳算法及最小二乘法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用摘要遺傳算法的基本思想是基于模仿生物界一種的遺傳過程，把問題的用基因代表參數(shù)，把問題的用染色體代表二進(jìn)制解從而得到一個(gè)群體，主要由三個(gè)基本操作構(gòu)成：選擇、交叉、變異。最小二乘法則為已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系，只要求在給定點(diǎn)的誤差，殘差的平方和最小，

即。本文基于2015年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模獲獎(jiǎng)作品提出了一種改進(jìn)遺傳算法，結(jié)合最小二乘法，利用MATLAB、JAVA軟件對太陽影子定位問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析。

【關(guān)鍵詞】遺傳算法最小二乘法非線性超定方程組

1問題分析

（1）天安門廣場一根3m的直桿，時(shí)間確定為10月22日，根據(jù)廣場位置確定經(jīng)緯度及太陽的直緯δ，推導(dǎo)出太陽高度角h、太陽方位角A及時(shí)角。直桿影子長度隨著各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律同時(shí)可得到。

（2）直桿太陽影子的端點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之間的的關(guān)系與直桿自身的高度無關(guān)。缺少直桿的高度，采用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合最低點(diǎn)即影長最小點(diǎn)對應(yīng)太陽直射時(shí)間，由真太陽時(shí)與北京時(shí)間的關(guān)系得出經(jīng)度。再建立非線性超定方程組，求解得測量地點(diǎn)緯度。

（3）日期未知，赤緯δ不唯一，變量增多，求解難度增大，故選擇利用性能較優(yōu)的遺傳算法求解，從而確定測量地點(diǎn)。

2模型建立與求解

2.1直桿影子端點(diǎn)變化模型

對任意直桿，設(shè)其桿高為H，太陽光線通過桿的最高點(diǎn)P，投影到了地面上端點(diǎn)P'，則其影長為OP'，定義太陽光和水平地面夾角h，即太陽高度角，可得如下數(shù)學(xué)關(guān)系：

（1）

得：，測量時(shí)差時(shí)，平太陽時(shí)t平及真太陽時(shí)t真關(guān)系如下：，m為分鐘，n為日期序號，，

，

，方位角

，而影長為影子端點(diǎn)P'到原點(diǎn)O的距離：

（2）

方位角滿足

（3）

利用MATLAB軟件做出影子的長度隨時(shí)間變化曲線如圖1。

圖1

2.2最小二乘法擬合影長隨時(shí)間變化關(guān)系

符合二次曲線關(guān)系：。原理如下：設(shè)定參數(shù)S，針對yi和當(dāng)S取最小值時(shí)作為優(yōu)化判據(jù)。模型一中日期確定得直緯δ，從而得緯度和高度角關(guān)系達(dá)到換元效果。對附件數(shù)據(jù)用此方法擬合，求解如下最小二乘法模型，當(dāng)S取最小值時(shí)，a，b，c即為二次擬合函數(shù)系數(shù)：

（4）

2.3經(jīng)度E的求解

對公式

時(shí)影長L有最小值，太陽直射本地，解

得經(jīng)度E。21組數(shù)據(jù)則可得到含有21個(gè)超越方程的非線性方程組：

（5）

然后利用matlab軟件逼近求解此超越方程組得緯度，推算出日期序列號n=108，確定赤緯角δ=10.51。根據(jù)已求得δ，的值最后確定測量地點(diǎn)：（108.265E，2.846N）海南省樂東黎族自治縣（109.156E，18.615N）肯達(dá)旺岸西海域。

下面給出遺傳算法的具體步驟：

Step1：選擇編碼策略，把參數(shù)集合（可行解集合）轉(zhuǎn)換染色體結(jié)構(gòu)空間；

Step2：確定適應(yīng)函數(shù)，用于便于計(jì)算適應(yīng)值，確定遺傳策略，包括群體大小的選擇，選擇、交叉、變異方法以及交叉概率的確定、變異概率等各遺傳參數(shù)；

Step3：初始化群體利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生，先對群體中的個(gè)體或染色體對解碼，然后計(jì)算后群體中的個(gè)體或染色體的適應(yīng)值

Step4：依據(jù)遺傳策略，使用選擇、交叉和變異算子作用于群體，產(chǎn)生下一代群體；

Step5：對群體性能進(jìn)行判斷，看其對某一指標(biāo)是否滿足、或者對預(yù)定的迭代次數(shù)是否已完成，如果不滿足，則返回第五步、或者對遺傳策略進(jìn)行修改，然后再返回第4步。對于遺傳算法，針對問題三根據(jù)上述分析，可得目標(biāo)函數(shù)R，

（6）

其中，m為太陽影子個(gè)數(shù)，Li為預(yù)測影子長度，為實(shí)際影子長度。利用MATLAB軟件對遺傳算法所分析模型進(jìn)行求解。得到的結(jié)果如下：

附件2：（83.887E，35.701N）7月9日新疆西藏交界處（84.667E，37.472S）8月2日印度洋海域

附件3：（111.921E，41.735N）9月14日呼和浩特（115.423E，41.735N）9月14日山西

3小結(jié)

本文采用的遺傳算法是一種較為先進(jìn)的現(xiàn)代優(yōu)化算法，具有很強(qiáng)的并行性和全局搜索能力，其編碼技術(shù)和遺傳操作較為簡單，對優(yōu)化問題的限制性條件要求低。目前各類遺傳算法已在機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理、模式識別、優(yōu)化控制、組合優(yōu)化和管理決策等領(lǐng)域得到了很好的應(yīng)用，遺傳算法的研究和推廣對于經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展具有重大意義。

參考文獻(xiàn)