初三升高一數(shù)學直播騰飛班（課改）講義

第1講集合的概念與表示 知識引航第1講集合的概念與表示 知識引航集合的概念與表示學習目標學習目標第第1講集合的概念與表示 學習目標了解集合的有關概念，知道常用數(shù)集及其記法．理解并掌握元素與集合的關系．理解并掌握集合的表示方法．直擊課堂直擊課堂集合的概念集合的概念-課堂總結知識引航知識引航在一個陽光明媚的下午，老師拿著一沓批改完的期末試卷，開始點名。大家都繃緊神經(jīng)，豎起耳朵，生怕把自己名字漏掉！“楊昊然，劉洋，楊徐坤，朱超越，蔡一龍，王肚皮，王肚皮，王肚皮沒來嗎，記一次曠課啊”！大家都四處張望在找“王肚皮”，此時班長站了起來，“老師，我們班沒有王肚皮這個人”?！斑@試卷上是這三個字沒毛病呀”!只見此時有一位學生站了起來，弱弱的說到，老師，您叫的應該是我，但是我不叫王肚皮。聰明的你，一定猜到這位學生叫什么名字了吧，沒錯，這位學生叫“王月坡”的比較潦草，月和坡的土字旁結合在了一起，就變成了“王肚皮”，由此可見，我們漢字中的語言是多么精彩與重要！不明確的語言，可能就會出現(xiàn)誤解，因此使用明確的語言是非常重要的．而集合是數(shù)學語言的基礎，學好了集合才能正確地理解、表達數(shù)學含義．讓我們一起開啟數(shù)學的語言“集合”之門吧！模塊1：集合的概念素材 knowledgecombing第第1講集合的概念與表示 模塊一 集合的概念【知識點睛】元素與集合的概念一般的，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合(或集)．構成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員)．集合中元素的特性確定性：①確定性是判斷是否可以構成集合最重要的標準；②判斷以客觀事實為標準．互異性：給定的集合，集合中的元素一定互不相同．無序性：集合中的元素不區(qū)分順序．順序不同，元素相同的集合是同一個集合．1例題1現(xiàn)有以下說法，其中正確的是( )①接近于0的數(shù)的全體構成一個集合；②正方體的全體構成一個集合；③未來世界的高科技產(chǎn)品構成一個集合；④不大于3的所有自然數(shù)構成一個集合．72%①②②③③④②④22設集合A是由1，k2，2k?1為元素組成的集合，則實數(shù)k的取值范圍是 ．考法：[達標測試]1式變式①②①②③④②③①③)1考察下列每組對象，能組成一個集合的是(①一中高一年級聰明的學生；②直角坐標系中橫、縱坐標相等的點；③不小于3的正整數(shù)；④3的近似值．已知集合A含有三個元素a?3，2a?1，a2?4，若?3是集合A中的元素，則實數(shù)a= ．素材 knowledgecombing第第1講集合的概念與表示 模塊一 集合的概念【知識點睛】集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集；含有無限個元素的集合叫做無限集．空集我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記作?．素材 knowledgecombing第第1講集合的概念與表示 模塊一 集合的概念5．常用數(shù)集的符號數(shù)學中一些常用的數(shù)集及其記法：6．元素與集合的關系集合通常用英文大寫字母ABC?來表示，元素通常用英文小寫字母a?來表示．如果a是集合A的元素，記作aA，讀作“a屬于A”．如果a不是集合A的元素，記作a/A，讀作a不屬于A”．2例題21用，/填空．?1 N；∣?3∣ N?；Z；23.14 Q；π Q；5 Q；? 2 R．2考法：【達標測試1】式變式))78%1下列選項正確的是(0∈N?π/R1/Q0∈Z下列敘述中正確的個數(shù)是( )①若?a∈Z，則a∈Z；②若?a/N，則a∈N；③a∈Z，若?a/N，則a∈N；④a∈Z，若a∈N，則?a/N．51%0個1個2個3個模塊2：集合的表示素材 knowledgecombing第第1講集合的概念與表示 模塊二 集合的表示【知識點睛】1．集合的表示方法-列舉法我們可以把集合的所有元素都列舉出來，寫在大括號“{}”內(nèi)，用“，”分隔．這種表示集合的方法叫做列舉法．3例題31用列舉法表示：1用列舉法表示：大于2且小于10的偶數(shù)組成的集合．2用列舉法表示：滿足2x?7<0的正整數(shù)解組成的集合．3用列舉法表示：方程3用列舉法表示：方程(x?1)(x+2)2=0的解組成的集合．44用列舉法表示：二元方程x+y=6x∈N?,y∈N的解組成的集合．考法：【達標測試】2式變式A.A.{2,4}B.{2,4,4}C.(1,2,3)D.{高個子男生})90%1下列集合表示正確的是(把方程x2?3x+2=0的解集用列舉法表示為( )88%A.{1,2}B.{x=1,2}C.{x2?3x+2=0}D.(1,2)素材 knowledgecombing第1講集合的概念與表示 模塊二 集合的表示【知識點睛】集合的表示方法-描述法如果集合A中的任意一個元素x都在集合I中，且p(x)是它的一個特征性質，那么集合A可以表示為{x∈I∣p(x)}，這種用集合中元素的特征性質來描述集合的方法稱為特征性質描述法，簡稱描述法．圖示【思考探究】使用自然語言表示下列集合①{x∈N∣1<x≤5∣}②{x∈R∣1<x≤5∣}③{y∈N∣1<y≤5∣}④{y∈N∣1<x≤5∣}⑤{x∣x2?1=0,x∈∣}⑥{x∈R∣x2?1=0∣}⑦{x∣x2?1=0∣}⑧{(x,y)∣y=x2∣}【注意】【注意】集合的描述與字母的選取無關．表示的元素是實數(shù)時，數(shù)的取值范圍可以省略，其他情況不能省略．描述法表示集合的方法不唯一．對于無限集，一般采用描述法表示，它的優(yōu)點是形式簡潔，能充分體現(xiàn)集合中元素的特征．4例題411用自然語言表示下列集合：A={x∈∣y=3x?2}，B={y∈∣y=3x?2}，C={,y∣y=3x?2}．4567)48%y2已知集合A={1,2,4}，集合B={z∣z=x,x∈A,y∈A}，則集合B中元素的個數(shù)為(用列舉法表示集合M{m

10m+

∈Z}= ．考法：【達標檢測】4式變式11用自然語言表示下列集合：A={x∈∣y=2+1}，B={y∈∣y=2+1}，C={,y∣y=2+1}．)80%2集合{(xy)∣xy?0xRyR}是指(第一象限內(nèi)的所有點第三象限內(nèi)的所有點第一象限和第三象限內(nèi)的所有點不在第二象限、第四象限內(nèi)的所有點3集合M=

6a+

∈N，且a∈Z}，用列舉法表示集合M=

．25%A.A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2}C.{0,2,4}D.{1,2})82%4已知集合A={0,1,2}，B={z∣z=x+y,x∈A,y∈A}，則B=(素材 knowledgecombing第1講集合的概念與表示 模塊二 集合的表示【知識點睛】集合的表示方法-圖示法我們常用平面內(nèi)一條封閉曲線的內(nèi)部表示一個集合，這種方式可以很形象地表示出集合之間的關系，這種圖形通常叫做維恩(Venn)圖．集合的表示方法-區(qū)間法設a,b∈R，且a<b，我們規(guī)定：滿足a?x?的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[ab]．滿足ax的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(ab)．滿足ax或ax的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為(ab]或[ab)．這里的實數(shù)a與都叫做相應區(qū)間的端點．實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(?∞,+∞)，“∞”讀作“無窮大”，“?∞”讀作“負無窮大”，“+∞”讀作“正無窮大”，這樣我們可以把滿足A={x∣x>a}與B={x∣x?a}的集合表示為(a,+∞)與(?∞,a]．圖示5例題圖示51用區(qū)間表示集合1用區(qū)間表示集合{∣∣∣?1}．2用區(qū)間表示集合y∣y= x+2．3用區(qū)間表示集合{3用區(qū)間表示集合{y∣y=?2+2}．44用區(qū)間表示集合y∣y=2?2x+1,x>0．式變式11集合{y∣y=?2+3x?1}用區(qū)間表示為 ．2不等式?3)(6?x)<0的解集用區(qū)間表示為 ．33不等式x2?4x?5?0的解集用區(qū)間表示為 ．模塊3：課堂總結素材 knowledgecombing課堂總結課堂總結模塊4：秋季你會遇見考法：例1(2)例題6 1已知集合A，若aA，11?a

∈A，求滿足什么條件時，A中至少有三個元素．素材 knowledgecombing集合的概念與表示集合的概念與表示-春季你會遇見【點石成金】暑秋兩題都考察了集合中元素個數(shù)的問題.對比發(fā)現(xiàn)，暑期題目比較簡單，已經(jīng)具體給出集合中元素，而秋季題目則比較抽象，需要我們先找到集合中元素的具體形式.然后再根據(jù)集合中元素的性質，求出參數(shù)滿足的條件．這類型題目暑期并沒有見過，是我們秋季解決的重難點，期待我們秋季的學習吧！模塊5：理科大視野素材 knowledgecombing集合的概念與表示集合的概念與表示-理科大視野集合論的由來集合論是德國著名數(shù)學家康托爾（GeorgCantor，1845--1918）于19世紀末創(chuàng)立的．17世紀數(shù)學中出現(xiàn)了一門新的分支——微積分．在之后的200年中，這一門分支學科獲得了飛速發(fā)展并結出了豐碩的成果．其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎．19場重建數(shù)學基礎的運動．正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數(shù)點集，這是集合論研究的開端．到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念，他對集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素．人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日．德國偉大的數(shù)學家希爾伯特（DavidHilbert，1862—1943）稱康托爾的集合論是“數(shù)學精神最令人驚羨的花朵，人類理智活動最漂亮的成果”．英國數(shù)學家和哲學家羅素（BertrandRussell，1872—1970）把康托爾的工作描述為“可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作”．蘇聯(lián)著名的數(shù)學家科爾莫戈洛夫（AndreyNikolaevichKolmogorov，1903--1987）說“康托爾的不朽功績，在于他敢向無窮大冒險邁進．”還有人曾評價：集合論是對無限最深刻的洞察，它是數(shù)學天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一．總之，康托爾的無窮集合論是過去2500年中對數(shù)學的最令人不安的獨創(chuàng)性貢獻之一．第2講集合的關系與運算 知識引航第2講集合的關系與運算 知識引航“白馬非馬”的故事戰(zhàn)國末年的公孫龍，是我國古代的著名邏輯學家和哲學家．《白馬論》是他的一篇著名的哲學論文，這篇論文要證明的一個論題是：“白馬非馬”，他提出的理由之一是“求‘馬’．‘黃’‘黑’馬皆可致．求‘白馬’．‘黃’‘黑’馬不可致……是白馬之非馬，審矣！”意思是：若說要馬，黃馬黑馬都行，若說要白馬，黃馬黑馬就不行了，……可見白馬非馬是無疑的了．想一想，公孫龍話里的奧妙在哪里？集合的關系與運算學習目標學習目標第第2講集合的關系與運算 學習目標理解集合之間包含與相等的含義．能使用圖表達集合之間的關系．理解集合的交集、并集和補集的含義，并會求兩個簡單集合的交集、并集和補集．直擊課堂直擊課堂集合的關系與運算集合的關系與運算-課堂總結知識引航知識引航我們?nèi)粘Ｕf話，用的是自然語言，自然語言雖然生動通俗，但很難做到嚴謹．因為常有一字多義的情形．“白馬非馬”的“我們?nèi)粘Ｕf話，用的是自然語言，自然語言雖然生動通俗，但很難做到嚴謹．因為常有一字多義的情形．“白馬非馬”的“非”字乃“是”字的反義詞，“是”字的用法有多種，例如：“關云長的坐騎是赤兔馬，這里“是”字相當于數(shù)學中的等號，表示“關云長的坐騎”和“赤兔馬”是同一個事物．“赤兔馬是紅馬”，這里“是”字相當于我們上一節(jié)學的符號∈，表示“赤兔馬”是“紅馬”集合的一個元素．“紅馬”是馬，這里“馬”是個大集合，“紅馬”是個小集合，“是”字表示的是兩個集合之間的包含關系：紅馬集合包含于馬集合．“是”字既然身兼多職，可以表示“等于”、“屬于”或“包含于”“非”字也就可以表示“不等于”、“不屬于”或“不包含于”了．公孫龍所論證的，實際上是“白馬集合不等于馬集合”．如果說“白馬集合不等于馬集合”，這大家都知道，并無新意，含糊地說“白馬非馬”，通常會被理解成“白馬集合不包含于馬集合”，就引起討論的興趣了，這個例子說明，使用集合的思想和一詞一義的數(shù)學概念．有助于把事情弄清楚．素材 knowledgecombing第第2講集合的關系與運算 模塊一 集合的關系【知識點睛】1．子集如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集．記作A?B或B?A讀作：“A包含于B”或“B包含A”．我們規(guī)定空集是任何一個集合的子集，即對任意集合A，有??A．1例題111集合M={0,1,2,4}，則集合M的非空子集的個數(shù)是 ．2已知集合A122m1}B2m2}．若BA，則實數(shù)m=

．83%∣∣∣3若集合Axx2x60，Bxx2xa0，且BA，求實數(shù)的取值范圍．考法：[達標檢測]式變式))32%1已知集合A={∣?2?x?7}，B={∣m+1<x<2m?1}，且B=?，若B?AA.?3?m?4B.?3<m<4C.2<m<4D.2<m?4第2講集合的關系與運算 模塊一 集合的關系【知識點睛】第2講集合的關系與運算 模塊一 集合的關系【知識點睛】2．集合相等如果集合A是集合B如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此時，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B 相等，記為A=B．2A.MA.M={(2,3)},N={(3,2)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={,y)∣x+y=1},N={y∣x+y=1}D.M={1,2},N={(1,2)})85%1下列各組集合中，表示同一集合的是(1300或1)75%2已知集合M23N32a2}．若集合MN，則a=(式變式2}1集合A={1,,y}，B=1,2,2y，若A=B，則實數(shù)的取值集合為( A.{1}2}B.

11?2,2C.{0,1}2D.{ 1 1}0,2,?222已知集合A={x∣x=1+a2,a∈R}，B={y∣y=a2?4a+5,a∈R}，判斷這兩個集合之間的關系．素材 knowledgecombing第第2講集合的關系與運算 模塊一 集合的關系【知識點睛】3．真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，記作A?B或B?A，讀作“A真包含于B”或“B真包含A”．我們規(guī)定空集是任何非空集合的真子集，即對任意集合A，若A ，則??A．3例題3若集合A={∣x>3}，則下列表示中正確的是( )π?A{π}?A{π}∈A{π}?A1313141516)54%2集合A2}的真子集的個數(shù)為(））56%3若{12?A12345}，則滿足條件的集合A的個數(shù)是（6789考法：【達標檢測1】式變式)1)1已知集合M={∣2?x?0,x∈}，集合N=0,1]，則集合M,N的關系是(M?NN?MM=NM?N且N?M22設集合A={1,2}，B={1,2,3,4,5}，若A?S?B，則滿足條件的集合S的個數(shù)為 ．模塊2：集合的運算第2講集合的關系與運算 模塊二 集合的運算【知識點睛】第2講集合的關系與運算 模塊二 集合的運算【知識點睛】1．交集【思考探究】A={x∣x是我們班級的女同學}，B={x∣x是我們班級戴眼鏡的同學}，C={x∣x是我們班級戴眼鏡的女同學}，集合C與集合A,B是什么關系呢？對于兩個給定的集合A、B，由屬于A又屬于B的所有元素構成的集合叫做A、B的交集，記作“A∩B”，讀作A交B．用符號語言表示為：A∩B={x∣x∈A且x∈B}．圖形語言表示為：4例題圖形語言表示為：4A.A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4})76%1已知集合A={1,2,3,4},B={y∣y=3x?2,x∈A}，則A∩B=()76%2已知集合P={∣x?1?0},M={∣x+2>0}，則P∩M=(A.(?∞,1]B.[?2,+∞)C.[1,2)D.(?2,1]考法：【達標檢測1】式變式1若集合A={∣?2<x<1}，B={∣x<?1或x>3}，則A∩B=( )66%A.{∣?2<x<?1}B.{∣?2<x<3}C.{∣?1<x<1}D.{∣1<x<3}A.A.1)B.[0,1]C.[0,1)D.(0,1])2x?x ?0，則A∩B=(∣∣x2B={}，<3∣x+1+15x∣A={x2已知集合素材 knowledgecombing第第2講集合的關系與運算 模塊二 集合的運算【知識點睛】2．并集對于兩個給定的集合A、B，由兩個集合所有元素構成的集合叫做A與B的并集，記作“A∪B”，讀作“A并B”．用符號語言表示為A∪B={x∣x∈A或x∈B}．用維恩圖表示如下：陰影部分表示：A∪B．5例題51設集合A={x∈N∣0?x?2},B={x∈N∣1?x?3}，則A∪B=( )51%A.{1,2}B.{0,1,2,3}C.{∣1?x?2}D.{∣0?x?3}22若集合A={1,x2},集合B={1,3,x}，且A∪B={1,3,x}，則x= ．式變式已知集合A已知集合A={1,3,x2},B={1,2?x}，且B?A．1求實數(shù)x的值．若BCA，求集合C．素材 knowledgecombing第第2講集合的關系與運算 模塊二 集合的運算【知識點睛】3．補集一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U合A的補集，記作?UA，讀作：A在U中的補集．用符號語言表示為：?UA{x∣x∈U且x/A}．用維恩圖表示如下，陰影部分表示集合A的補集?UA．6例題611設集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，則?AB= .2已知全集U={x∈N∣x?5}，若A={x∈N∣2x?5<0}，則?UA=( )77%A.{3,4}B.{3,4,5}C.{2,3,4,5}D.{4,5}考法：【達標檢測1】式變式))54%1已知全集U=，集合A={∣x<?2或x>2}，則?UA=(A.(?2,2)B.(?∞,?2)∪(2,+∞)C.[?2,2]D.(?∞,?2]∪[2,+∞)2設集合A=4,,2+3中實數(shù)的取值集合為M，則?RM= ．7例題71已知全集U=，集合A={∣?2?x?3},B={∣x<?1或x>4}，則A∩?UB=( )66%A.{∣?2?x<4}B.{∣x?3或x?4}C.{∣?2?x??1}D.{∣?1?x?3}式變式))71%1已知集合A={∣3?x<7}，B={∣2<x<10}，則?RA∪B)=(A.{∣3?x<7}B.{∣2<x<10}C.{∣x?2或x?10}D.{∣x<3或x?7}2已知全集U12345678910}，集合A2359}，集合B45679}，則AB=()A.{5,9}B.{2,3}C.{1,8,10}D.{4,6,7}模塊3：課堂總結素材 knowledgecombing集合的關系與運算課堂總結集合的關系與運算課堂總結模塊4：秋季你會遇見考法：變式2（1）例題8 MM=N?PM?N=PM?N=PM=N=P)78%，P的關系為(M，N2 6p 1∣x= + ,p∈Z}，則2 3n 1∣x= ? ,n∈Z}，P={x61∣x=m+ ,m∈Z}，N={x1已知集合M={x素材 knowledgecombing集合的概念與表示集合的概念與表示-春季你會遇見【點石成金】暑秋兩題都考察了集合間的關系題.對比發(fā)現(xiàn)，暑期題目比較簡單，可以計算出各個集合中元素，從而判斷它們的關系而秋季題目則比較復雜，每個集合都是無限集，并不容易一一列舉出集合中的元素．需要我們分析集合所表示的內(nèi)容.這類型題目暑期并沒有見過，是我們秋季解決的重難點，期待我們秋季的學習吧！模塊5：理科大視野素材 knowledgecombing理科大視野

羅素悖論20世紀之初,數(shù)學界甚至整個科學界籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中,科學家們普遍認為,數(shù)學的系統(tǒng)性和嚴密性已經(jīng)達到,科學大廈已經(jīng)基本建成．例如,德國物理學家基爾霍夫(G.R.Kirchhoff)就曾經(jīng)說過:“物理學將無所作為了,至多也只能在已知規(guī)律的公式的小數(shù)點后面加上幾個數(shù)字罷了．”英國物理學家開爾文(L.Kelvin)在1900年回顧物理學的發(fā)展時也說:“在已經(jīng)基本建成的科學大廈中,后輩物理學家只能做一些零碎的修補工作了．”彭迦萊(Poincar6)在1900年的國際數(shù)學家大會上也公開宣稱,數(shù)學的嚴格性,現(xiàn)在看來可以說是實現(xiàn)了．然而好景不長,時隔不到兩年,科學界就發(fā)生了一件大事,這件大事就是羅素(Russell)悖論的發(fā)現(xiàn)．所謂羅素悖論指的是由羅素發(fā)現(xiàn)的一個集合論悖論．設集合S是由一切不屬于自身的集合所組成,即“S={x∣x/S}”．那么問題是S包含于S是否成立？首先,S包含于S,則不符合x/S,S不包含于S；其次,若S不包含于S,則符合x/SS包含于S．在某個城市中有一位理發(fā)師,他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發(fā)技藝十分高超,譽滿全城．我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉．我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕,自然都是那些不給自己刮臉的人．可是,有一天,這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了,他本能地抓起了剃刀,你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”,他就要給自己刮臉,而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉．理發(fā)師悖論與羅素悖論是等價的:如果把每個人看成一個集合,這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象．那么,理發(fā)師宣稱,他的元素,都是城里不屬于自身的那些集合,并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他．那么他是否屬于他自己？這樣就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論．反過來的變換也是成立的．“理發(fā)師悖論”是很容易解決的,解決的辦法之一就是修正理發(fā)師的規(guī)矩,將他自己排除在規(guī)矩之外；可是嚴格的羅素悖論就不是這么容易解決的了．羅素悖論提出后,數(shù)學家們紛紛提出自己的解決方案．人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造,通過對集合定義加以限制來排除悖論,這就需要建立新的原則．“這些原則必須足夠狹窄,以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊,使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來．”解決這一悖論主要有兩種選擇,ZF公理系統(tǒng)和NBG公理系統(tǒng)．1908年,策梅羅(ErnstZermelo)在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系,后來這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷．這一公理系統(tǒng)在通過弗蘭克爾(AbrahamFraenkel)的改進后被稱為ZF公理系統(tǒng)．在該公理系統(tǒng)中,由于分類公理(Axiomschemaofspecification):P(x)是x的一個性質,對任意已知集合A意已知集合A,B使得對所有元素x∈B當且僅當x∈A且P(x)；因此{x是一個集合}并不能在該系統(tǒng)中寫成一個集合,由于它并不是任何已知集合的子集；并且通過該公理,存在集合A={x∣x是一個集合}在ZF系統(tǒng)中能被證明是矛盾的,因此羅素悖論在該系統(tǒng)中被避免了．除ZF系統(tǒng)外,集合論的公理系統(tǒng)還有多種,如馮?諾伊曼(vonNeumann)等人提出的NBG系統(tǒng)等．在該公理系統(tǒng)中,所有包含集合的"collection"都能被稱為類(class),凡是集合也能被稱為類,但是某些collection太大了(比如一個collection包含所有集合)以至于不能是一個集合,因此只能是個類．這同樣也避免了羅素悖論．解不等式解不等式學習目標學習目標第3第3講不等式 學習目標不等關系與不等式①理解不等關系和不等式的聯(lián)系，會用不等式表示不等關系；②理解并掌握比較兩個實數(shù)大小的方法；③掌握不等式的性質和利用不等式的性質證明簡單的不等式．解一元二次不等式①理解一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)之間的關系；②掌握看圖找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法．解其它不等式①會解一般的分式不等式；②會解簡單的絕對值不等式．直擊課堂解不等式-解不等式-直擊課堂知識引航第3講不等式 學習引航站觀察下面圖片：圖(1)哥哥高，弟弟矮；圖(2)A的質量要大于2g；圖(3)左邊的蘋果比右邊的蘋果大．生活中，我們還接觸過大量的不等關系，比如：(1)在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，表示為a+b>c；有2000立方米的原材料，要生產(chǎn)體積為50立方米的A部件x個的和60立方米的B部件y個，則可以知道50x+60y?2000；商店的某商品的成本為C元，為保證該商品盈利，售價為s元，則s與應滿足的關系：s標．如點A在點B右下方，則xaxb，yayb；在等式中，有一些基本的運算性質，那么，不等式中是否也有相似的性質呢？模塊1：不等式與不等關系bbb3.bbb3.不等式的性質②作商法：若a0，b0，則a1aa1aa1a模塊一不等關系與不等式【知識點睛】不等式的概念我們往往用數(shù)學符號“=”“>”“<”“?”“?”若兩個（或多個）不等式．實數(shù)的不等關系數(shù)軸上的任意兩點中，右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大；對于任意兩個實數(shù)a和a>b,a=b,a<b中有且僅有一種關系成立．實數(shù)比較大小的方法①作差法：a?b>0?a>b；a?b=0?a=b；a?b<0?a<b．【性質1】對稱性：a【性質1】對稱性：a>b?b<a．【性質2】傳遞性：a>b且b>c?a>c．【性質3】加法法則：abacb【推論1】移項法則：abcac【推論2】同向可加性：a>b且c>d?a+c>b+d．【性質4】乘法法則：a>b且c>0?ac>bc；a>b且c<0?ac<bc．【推論1】正值同向可乘性：a>b>0c>d>0?ac>bd．【推論2】乘方法則：a>b>0?an>n(n∈?)．【推論3】開方法則：a>b>0?na>nb(n∈?)．1a a b⑨若ab，且11，則a0，b0．a(chǎn) b⑦∣a∣>b>0?>bn∈N,n?1)；⑧若abbc，則abb⑥a>b>0?1<1；1判斷下列說法是否正確，并說明理由．①a>b,c>d?a?c>b?d；②ac<bc?a<b；③a>b?ac2>bc2；④a>b>0,c<d<0?ac>bd；⑤ac2>bc2?a>b；2已知M=x2?3x+7,N=?x2+x+1，則( )65%M<NM>NM=NMN的大小與x的取值有關的大?。拇笮。ca+b +b2a?b ?b23已知a>b>0，比較考法：【達標檢測2】式變式PP=QP>QP<Q大小關系不確定)80%b+mb1已知0<a<b，m>0，P=a，Q=a+m，則(2如果a<b<0，給出下列不等式：①b?a>

②ab>

③a>b

1 1④? <?a b

⑤a3>b3則其中一定成立的有（ ）80%A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤模塊2：解一元二次不等式素材 knowledgecombing第第3講不等式 模塊二 一元二次不等式【知識點睛】}二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關系：如表格所示例題2 不等式x2?1x?

<0的解集為( )53%6 6A.(11)?3,2B.?∞,?1)∪(1,+∞)3 2C.(11)?2,3D.?∞,?1)∪(1,+∞)2 3))67%2一元二次不等式?x2x20的解集是(A.{∣x<?1或x>2}B.{∣x<?2或x>1}C.{∣?1<x<2}D.{∣?2<x<1})3不等式5)(1x8的解集是(A.{∣x?1或x??5}B.{∣x??3或x??1}C.{∣?5?x<1}D.{∣?3?x??1}考法：【達標檢測】式變式))1不等式1)(2x0的解集為(A.{∣1?x?2}B.{∣x?1或x?2}C.{∣1<x<2}D.{∣x<1或x>2}3例題3>>a}a∣x1∣∣D.{xx< 或a1x> }或∣∣<x<a}∣aC.{xx<a1∣∣∣B.{x1a∣∣A.{xa<x< })a1x? 0的解集是(1若0<a<1，則不等式x?)(求解關于x的不等式x22x2m0，其中為常數(shù)．變式 11解關于x的不等式(x?1)(x?a)<0,a∈R．模塊3：解其它不等式素材 knowledgecombing第第3講不等式 模塊三 解其它不等式1.分式不等式【知識點睛】【思考探究】解不等式：(1)x?10(2)?3x+2>?2對于含有分式的不等式解法思路：f(x)?x+1x?2(1)(2)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)>0?f(x)g(x)>0f(x)g(x)?0g(x)=0<0?f(x)g(x)<0f(x)g(x)?0g(x) 0?0?{(3)(4)?0?{例題4 1不等式3xx+1

<0的解集是( )65%A.(?∞,?3)∪+∞)B.(?∞,?1)∪+∞)C.(?1,3)D.(?3,1)A.A.[1,2]B.[1,2)C.2]D.2))62%1?x2不等式2x5?1的解集為(考法：【達標檢測1】式變式不等式x1x?3

?0的解集為( )62%A.(?∞,1]∪(3,+∞)B.[1,3)C.[1,3]D.(?∞,1]∪[3,+∞)555D.1,1)C.(?∞,?1)∪1,+∞))66%x+1A.(?∞,?1)∪+∞)B.(?1,1)2不等式5x+13的解集為(第3講不等式 模塊三 解其它不等式2.第3講不等式 模塊三 解其它不等式2.絕對值不等式【知識點睛】在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值．即∣x∣=x(x>0)?0(x=0)．?x(x<0)設a為正數(shù)，不等式∣x∣<a的解集是{x∣?a<x<a}，如圖所示：不等式∣xa的解集是{x∣xa或xa}，如圖所示：總結：1．不等式∣x∣<a與∣x∣>a型的解集：2．∣ax2．∣ax?c(c0)和∣ax?c(c0)型不等式的解法：(1)∣ax+?c??c?ax+b?c?{ax+b??cax+b?c；(2)∣ax?caxb?或axb?5))78%1不等式∣2x15的解集為(A.(?∞,?2]B.(2,3]C.[3,+∞)D.[?2,3])67%2不等式3∣52x9的解集為(A.[?2,1)∪[4,7)B.(?2,1]∪[4,7]C.(?2,1]∪7)D.(?2,1]∪[4,7)考法：【達標檢測1】式變式1不等式∣4x?1∣>4的解集是( )77%A.{∣x<?3或4

5>4}B.{∣?34{∣x

5<x<4}3

<?4}5>4}22D.{∣?2<x<3且x=A.{∣?2<x<3}B.{∣?2<x<2}C.{∣x<?2或x>3})85%2不等式05的解集為(模塊4：課堂總結素材 knowledgecombing解不等式解不等式-課堂總結模塊5：秋季你會遇見6例題6x x 1+y2的最大值為 ．y222x+ 1，則x y1若，為正數(shù)，且素材 knowledgecombing解不等式解不等式-秋季你會遇見【點石成金】暑秋都考察了解不等式，但是此題與我們本節(jié)課學習解不等式完全不一樣，是我們秋季即將學習的新的內(nèi)容-基本不等式.此題主要利用“湊定值”的方法，利用均值不等式求最值，期待秋季的學習吧！模塊6：理科大視野素材 knowledgecombing理科大視野早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道算數(shù)中項、幾何中項以及調(diào)和中項．畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算數(shù)中項、幾何中項的定義與今天大致相同，即對于兩個正數(shù)a稱a+b為a2

ab為a,b的幾何中項，而我們分別稱之為a,b的算數(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，并把這兩者相結合的不等式

ab?

a+b（當且僅當a=b時，取“=”）叫作基本不等式．中華民族悠悠五千年文明史，2給予了我們豐富的數(shù)學文化，下面讓我們一起翻開歷史畫面，尋找基本不等式的歷史背景及幾何意義．趙爽的“弦圖”我們先來看一張圖片，2002年，第24屆國際數(shù)學家大會在我國召開，圖1是大會會標，是根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”設計的．公元3世紀，中國數(shù)學家趙爽“負薪余日，聊觀《周髀》”，他在給《周髀算經(jīng)》“勾股圓方圖”作注時，給出圖2所示的“大方圖”．趙爽寫道：“以圖考之，倍弦實，滿外大方，而多黃實．黃實之多，即勾股差實，以差實減之，開其余，得外大方，大方直面，即勾股并也．”用數(shù)學符號語言表達，即：若直角三角形兩只角邊為a,b,a?0,b?0，則(ab)24abba)2ab)22c2ba)22a2b2ba)2，因此，可得不等式4ab?(ab)2?2a2b2)．a(chǎn)+bab兩邊開方，得 ? 2 ，當且僅當a=時取“=”．a(chǎn)b歐幾里得的矩形之變古希臘數(shù)學家似乎并沒有對各類中項的大小進行比較，但他們已經(jīng)研究過部分中項的幾何作圖法以及他們之間的數(shù)量關系．歐幾里得在《幾何原本》卷六命題13中給出了兩條已知線段之間的幾何中項的作圖法．如圖3，以AB為半徑作半圓，則CD即為AC何CB之間的幾何中項．由歐幾里得的這種作圖法，若設AC=a,CB=則CD= ab，AB=a+a+b

a+b我們可以發(fā)現(xiàn)

是三角形ADB的外接圓的半徑．添上外接圓O的半徑OD（如圖4），則OD= 2 .因aba+babCD?OD，所以

? 2 ．這就是基本不等式的幾何意義．芝諾多魯斯的等周問題在歐幾里得之后，獲得與均值不等式等價結果的數(shù)學家是芝諾多魯斯（Zenodorus在歐幾里得之后，獲得與均值不等式等價結果的數(shù)學家是芝諾多魯斯（Zenodorus，約公元前2世紀）他寫了一本書名為《論等周圖形》的書，專門研究等周問題．在書中，他給出了許多命題，其中一個是：“長相等的所有多邊形中，等邊且等角的多邊形的面積最大．”在四邊形情形中，我們考慮長為b、款為a的矩形以及與之等周的正方形（邊長為a+b），即有不等式ab?a+22（請同學們自己證明）．這些歷史材料，再現(xiàn)了基本不等式的“源頭”，通過挖掘數(shù)學歷史文化背景，揭示了基本不等式的幾何意義，值得我們細細品味．第3講第3講函數(shù)的概念與三要素 知識引航“函數(shù)”一詞的由來“函”在中國古代既有“信件”的意思，也有“包含、容納”的意思．1859年我國清代數(shù)學家李善蘭翻譯《代數(shù)學》一書時首先用“函數(shù)”一詞翻譯“function”一詞，他解釋說：“凡此變數(shù)函(包含)彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)”．中國古代用天、地、人、物表示未知數(shù)．李善蘭譯《代數(shù)學》中有“凡式中含天，為天之函數(shù)”這樣的語句．函數(shù)又具有“信件”似的特征，一封信只能一對一或多對一寄出，一對多便無法寄出，函數(shù)也具有這樣的“指向唯一確定”特征．附：李善蘭是中國(1810—1882)清朝數(shù)學家，浙江杭州府海寧人，為中國近代數(shù)學家的前驅．他10歲即通《九章函數(shù)的概念與三要素學習目標學習目標數(shù)學第數(shù)學第3講函數(shù)的概念與三要素 學習目標了解函數(shù)定義，能用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的應用能根據(jù)實際問題情景選擇恰當?shù)姆椒ū硎疽粋€函數(shù)以獲取有用的信息，培養(yǎng)學生的靈活運用知識的能力初步體會運用函數(shù)知識解決實際問題的方法體會數(shù)形結合思想在理解函數(shù)概念中的重要作用，在圖形變化中感受數(shù)學的直觀美直擊課堂直擊課堂函數(shù)的概念函數(shù)的概念-課堂總結知識引航知識引航算術》，15歲通習《幾何原本》六卷，曾獨立發(fā)明對數(shù)微積分，并在組合恒等式方面提出李善蘭恒等式．35歲時刻印《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》和《對數(shù)探源》三種數(shù)學著作．同時鉆研天文、歷算．他直接引進大量數(shù)學符號：算術》，15歲通習《幾何原本》六卷，曾獨立發(fā)明對數(shù)微積分，并在組合恒等式方面提出李善蘭恒等式．35歲時刻印《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》和《對數(shù)探源》三種數(shù)學著作．同時鉆研天文、歷算．他直接引進大量數(shù)學符號：=、×、÷、<、>，而且他的翻譯工作具獨創(chuàng)性，創(chuàng)譯了許多數(shù)學名詞：代數(shù)、常數(shù)、變數(shù)、已知數(shù)、函數(shù)、系數(shù)、指數(shù)、級數(shù)、單項式、多項式、微分、橫軸、縱軸、切線、法線、曲線、漸近線、相似等，其他學科如：植物等，這些譯名獨具匠心，自然貼切，沿用至今．素材 knowledgecombing第第3講函數(shù)的概念與三要素 模塊一 函數(shù)的概念1．函數(shù)概念：設集合A是非空的數(shù)集，對于A中的任意實數(shù)x，按照確定的對應法則f，都有唯一確定的實數(shù)值y與它對應，則這種對應關系叫做集合A上的一個函數(shù)．記作yf(x)，xA．也常寫做函數(shù)f或函數(shù)f(x)，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x∣xA}叫做函數(shù)的值域．1例題111下列對應中哪幾個是函數(shù)？根據(jù)你對函數(shù)概念的理解，下列曲線表示的函數(shù)中，y不是x的函數(shù)的是( )91%A.B.C.D.考法：【達標檢測1】式變式如圖所示，不可能表示函數(shù)的是( )81%A.B.C.D.))73%2由下列各式能確定y是x的函數(shù)的是(A.x2+y2=1B.x2?y+3=0C.y= x?3+ 2?x+2D.以上都不是2例題2xx已知函數(shù)f(x)= x+2．1f= ，f= ．22當a>0時，f= ，f+1)= ．考法：【達標檢測1】式變式00?6aC.2a2+2D.?6a+2)59%1設函數(shù)fx23x3，則ff等于(2設f=x?1，則f+f(1)=（ ）55%x+1 x1?x1+x1x10模塊2：函數(shù)的三要素素材 knowledgecombing第第3講函數(shù)的概念與三要素 模塊二 函數(shù)的三要素1．函數(shù)的定義域自變量的取值范圍叫定義域【注意】定義域是自變量的取值范圍，必須寫成集合的形式．目前涉及到的函數(shù)定義域的限制主要有：①分母不為零；②偶次被開方數(shù)非負；③非零實數(shù)的零次方才有意義．3例題3A.A.[?4,0)∪(0,4]B.[?4,4]C.(?∞,?4]∪[4,+∞)D.[?4,0)∪[4,+∞))64%x1函數(shù)y= 16?x2的定義域是(函數(shù)y

1?x2

x2?1的定義域是 .5%))21D.(,+∞)2211?2, )∪(,+∞C.(B.(?2,+∞)21?2, )A.()73%x+220 ∣x2?1∣1x? )+∣ ∣的定義域為(3函數(shù)f(考法：【達標檢測1】式變式A.A.(?1,2]B.[?1,2]C.(?1,2)D.[?1,2))x+11函數(shù)y= 2?x+ 1 的定義域是(.的定義域是.的定義域是?∣x∣?x2函數(shù)y=素材 knowledgecombing第第3講函數(shù)的概念與三要素 模塊二 函數(shù)的三要素2．函數(shù)的值域函數(shù)yf(x)中，函數(shù)值的集合{f(xxA}叫做函數(shù)的值域部分常見函數(shù)的值域4例題41函數(shù)f=x+1，x∈{?1,1,2}的值域是( )A.0，2，3B.0?y?3C.{0,2,3}D.[0,3]))64%2若yx22xx2]，則函數(shù)的值域為(A.[?4,5]B.(?4,5)C.(?4,5]D.[?4,0)A.A.(?∞,?1)B.+∞)C.[1,+∞)D.(0,1])46%的值域是(12x+13函數(shù)y=4函數(shù)y= 5+4x?x2的值域是 .1%式變式11函數(shù)f=x2?x的定義域為{0,1,2}，則值域為 ．A.+∞)B.+∞)C.[0,+∞)D.[2,+∞))2函數(shù)yx1x1∣的值域為(函數(shù)y

1?x2?6x?

的值域為( )44%1A.[2,+∞)1B.[3,+∞)1C.[4,+∞)1D.[5,+∞)素材 knowledgecombing第第3講函數(shù)的概念與三要素 模塊二 函數(shù)的三要素3．函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種：列表法：列出自變量與對應函數(shù)值的表格來表達兩個變量之間的關系的方法．圖象法：把一個函數(shù)定義域內(nèi)的每個自變量x的值和它對應的函數(shù)值f(x)構成的有序實數(shù)對(x,f(x))作為點的坐標，所有這些點的集合就稱為函數(shù)yf(x)的圖象，即FP(xy∣yf(xxA}．(3)解析式法：用代數(shù)式(或解析式)表示兩個變量之間的函數(shù)對應關系的方法，如y=2x?6．5例題5))65%1已知f1x26x，則f的表達式是(A.x2+4x?5B.x2+8x+7C.x2+2x?3D.x2+6x?102已知fx2?1x2+1

x+1)=x+2x，則f=( )58%C.x2+?1)D.x2??1)考法：【達標檢測1】式變式))69%1已知f1x24x5，則f的表達式是(A.x2+6xB.x2+8x+7C.x2+2x?3D.x2+6x?10)41%2已知f(x3x2，則f(A.x2+1(x?0)B.x2+1(x∈[?3,0])C.x2+2(x?0)D.x2+2素材 knowledgecombing第第3講函數(shù)的概念與三要素 模塊二 函數(shù)的三要素4．函數(shù)相同：當兩個函數(shù)的定義域與對應法則相同時，則兩個函數(shù)相同．6例題6C.C.f(x)=1,g(x)=x02D.f=x+1,g=x?x?1x2A.f= x2,g=( )B.f(x)=x,g(x)=3x3)58%1下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是(考法：【達標檢測1】式變式D.D.f= ?2x3，g=x?2xx2B.f=?1)0,g=1C.f(x)=∣x∣,g(x)=x2?4x?2A.f=x+2,g=)75%1下列各組函數(shù)是相同函數(shù)的一組是(B.B.f(x)=(x?1)2,g(x)=x?1C.f=x2+x+1,g=t2+t+1D.f= x2,g=3x3x2?4x?2A.f=x+2,g=)2下列各組函數(shù)是相等函數(shù)的為(模塊3：課堂總結素材 knowledgecombing函數(shù)三要素課堂總結函數(shù)三要素課堂總結模塊4：秋季你會遇見考法：例4（3）例題7 1已知函數(shù)y=x+1

(a>0，0?x?)，若函f的值域為[1,1，則實數(shù)的取值范圍是 ．x2+3 32素材 knowledgecombing第第3講函數(shù)的概念與三要素秋季你會遇見【點石成金】暑秋兩題都考察了分式值域問題，暑期題目可以直接按照逐層求值域方法來求，而秋季題目較為復雜，已知分式函數(shù)值域，反求參數(shù).這是我們秋季解決的重難點，一起期待秋季的學習吧！模塊5：理科大視野素材 knowledgecombing第3講函數(shù)的概念與三要素理科大視野1665年夏天，因為英國爆發(fā)鼠疫，劍橋大學暫時關閉．剛剛獲得學士學位、準備留校任教的牛頓被迫離校到他母親的農(nóng)場住了一年多．這一年多被稱為“奇跡年”，牛頓對三大運動定律、萬有引力定律和光學的研究都開始于這個時期．在研究這些問題過程中他發(fā)現(xiàn)了他稱為“流數(shù)術”的微積分．他在1666年寫下了一篇關于流數(shù)術的短文，之后又寫了幾篇有關文章．但是這些文章當時都沒有公開發(fā)表，只是在一些英國科學家中流傳．首次發(fā)表有關微積分研究論文的是德國哲學家萊布尼茨．萊布尼茨在1675年已發(fā)現(xiàn)了微積分，但是也不急于發(fā)表，只是在手稿和通信中提及這些發(fā)現(xiàn)．1684年，萊布尼茨正式發(fā)表他對微分的發(fā)現(xiàn)．兩年后，他又發(fā)表了有關積分的研究．在瑞士人伯努利兄弟的大力推動下，萊布尼茨的方法很快傳遍了歐洲．到1696年時，已有微積分的教科書出版．起初沒有人來認領微積分的發(fā)現(xiàn)權．1699年，移居英國的一名瑞士人一方面為了討好英國人，另一方面由于與萊布尼茨的個人恩怨，指責萊布尼茨的微積分是剽竊自牛頓的流數(shù)術，但此人并無威望，遭到萊布尼茨的駁斥后，就沒了下文．1704年，在其光學著作的附錄中，牛頓首次完整地發(fā)表了其流數(shù)術．當年出現(xiàn)了一篇匿名評論，反過來指責牛頓的流數(shù)術是剽竊自萊布尼茨的微積分．于是究竟是誰首先發(fā)現(xiàn)了微積分，就成了一個需要解決的問題了．1711年，蘇格蘭科學家、英國王家學會會員約翰凱爾在致王家學會書記的信中，指責萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，只不過用不同的符號表示法改頭換面．同樣身為王家學會會員的萊布尼茨提出抗議，要求王家學會禁止凱爾的誹謗．王家學會組成一個委員會調(diào)查此事，在次年發(fā)布的調(diào)查報告中認定牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分，并譴責萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作．此時牛頓是王家學會的會長，雖然在公開的場合假裝與這個事件無關，但是這篇調(diào)查報告其實是牛頓本人起草的．他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長篇文章．當然，爭論并未因為這個偏向性極為明顯的調(diào)查報告的出籠而平息．事實上，這場爭論一直延續(xù)到了現(xiàn)在．沒有人，包括萊布尼茨本人，否認牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分．問題是，萊布尼茨是否獨立地發(fā)現(xiàn)了微積分？萊布尼茨是否剽竊了牛頓的發(fā)現(xiàn)？1673年，在萊布尼茨創(chuàng)建微積分的前夕，他曾訪問倫敦．雖然他沒有見過牛頓，但是與一些英國數(shù)學家見面討論過數(shù)學問題．其中有的數(shù)學家的研究與微積分有關，甚至有可能給萊布尼茨看過牛頓的有關手稿．萊布尼茨在臨死前承認他看過牛頓的一些手稿，但是又說這些手稿對他沒有價值．此外，萊布尼茨長期與英國王家學會書記、圖書館員通信，從中了解到英國數(shù)學研究的進展．1676至收到過牛頓的兩封信，信中概述了牛頓對無窮級數(shù)的研究．雖然這些通信后來被牛頓的支持者用來反對萊布尼的影響，恐怕沒人能說得清．后人在萊布尼茨的手稿中發(fā)現(xiàn)他曾經(jīng)抄錄牛頓關于流數(shù)術的論文的段落，并將其內(nèi)容改用他發(fā)明的微積分符號表示．這個發(fā)現(xiàn)似乎對萊布尼茨不利．但是，我們無法確定的是，萊布尼茨是什么時候抄錄的？如果是在他創(chuàng)建微積分之前，從某位英國數(shù)學家那里看到牛頓的手稿時抄錄的，那當然可以做為萊布尼茨剽竊的鐵證．但是他也可能是在牛頓在1704年發(fā)表該論文時才抄錄的，此時他本人的有關論文早已發(fā)表多年了．后人通過研究萊布尼茨的手稿還發(fā)現(xiàn)，萊布尼茨和牛頓是從不同的思路創(chuàng)建微積分的：牛頓是為解決運動問題，先有導數(shù)概念，后有積分概念；萊布尼茨則反過來，受其哲學思想的影響，先有積分概念，后有導數(shù)概念．牛頓僅僅是把微積分當做物理研究的數(shù)學工具，而萊布尼茨則意識到了微積分將會給數(shù)學帶來一場革命．這些似乎又表明萊布尼茨象他一再聲稱的那樣，是自己獨立地創(chuàng)建微積分的．即使萊布尼茨不是獨立地創(chuàng)建微積分，他也對微積分的發(fā)展做出了重大貢獻．萊布尼茨對微積分表述得更清楚，采用的符號系統(tǒng)比牛頓的更直觀、合理，被普遍采納沿用至今．因此現(xiàn)在的教科書一般把牛頓和萊布尼茨共同列為微積分的創(chuàng)建者．實際上，如果這個事件發(fā)生在現(xiàn)在的話，萊布尼茨會毫無爭議地被視為微積分的創(chuàng)建者，因為現(xiàn)在的學術界遵循的是誰先發(fā)表誰就擁有發(fā)現(xiàn)權的原則，反對長期對科學發(fā)現(xiàn)秘而不宣．至于兩人之間私下的恩怨，誰說得清呢？尤其是在有國家榮耀、民族情緒參與其中時，更難以達成共識．牛頓與萊布尼茨之爭，演變成了英國科學界與德國科學界、乃至與整個歐洲大陸科學界的對抗．英國數(shù)學家此后在很長一段時間內(nèi)不愿接受歐洲大陸數(shù)學家的研究成果．他們堅持教授、使用牛頓那套落后的微積分符號和過時的數(shù)學觀念，使得英國的數(shù)學研究停滯了一個多世紀，直到1820年才愿意承認其他國家的數(shù)學成果，重新加入國際主流．牛頓與萊布尼茨之爭無損于萊布尼茨的名聲，對英國的科學事業(yè)卻是一場災難．雖然說“科學沒有國界，但是科學家有祖國”（巴斯德語），但是讓民族主義干擾了科學研究，就很容易變成了科學也有國界，被排斥于國際科學界之外，反而妨礙了本國的科學發(fā)展．第6講函數(shù)的單調(diào)性 知識引航第6講函數(shù)的單調(diào)性 知識引航函數(shù)的單調(diào)性學習目標學習目標第6第6講函數(shù)的單調(diào)性 學習目標通過對初中已經(jīng)學習過的函數(shù)(特別是二次函數(shù))圖象的觀察、分析，逐步理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義．能根據(jù)函數(shù)圖象的升降特征，劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；理解增(減)的單調(diào)性．會判斷簡單函數(shù)的單調(diào)性，以及利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍．直擊課堂函數(shù)的單調(diào)性-函數(shù)的單調(diào)性-直擊課堂知識引航看到這幅圖，你會想到什么呢？隨著經(jīng)濟的增長，人們收入越來越多，那么閑置的錢放到哪里呢？投資股市是一部分人的選擇．可是股市可能在一段時間內(nèi)持續(xù)上漲，又有可能在一段時間內(nèi)持續(xù)下跌，漲了賺錢跌了賠錢，真是玩得心跳加速?。顒窀魑粚殞殻吹竭@幅圖，你會想到什么呢？隨著經(jīng)濟的增長，人們收入越來越多，那么閑置的錢放到哪里呢？投資股市是一部分人的選擇．可是股市可能在一段時間內(nèi)持續(xù)上漲，又有可能在一段時間內(nèi)持續(xù)下跌，漲了賺錢跌了賠錢，真是玩得心跳加速啊．奉勸各位寶寶，“股市有風險，入行需謹慎”．通過對這幅圖的觀察，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么呢？對啦！它反映了兩個變量間的關系．“股市”隨著時間的推移，一段時間內(nèi)逐漸上升，而在另外一段時間內(nèi)逐漸下降．Longlongago，大約在初中，我們給這兩個變量就取了通俗易懂的名字，叫做函數(shù)的自變量與因變量，隨著自變量的增加，因變量有的增加，有的減小，聽起來還挺“峨嵋經(jīng)”的．言歸正傳，在如今我們引入集合概念來對函數(shù)進行重新定義的基礎上，這種函數(shù)變化趨勢又該如何用嚴謹?shù)臄?shù)學語言進行定義與描述呢？模塊1：單調(diào)性的概念第6講函數(shù)的單調(diào)性 模塊一 單調(diào)性的概念根據(jù)生活實際匹配下面三幅圖象與三個事件：第6講函數(shù)的單調(diào)性 模塊一 單調(diào)性的概念根據(jù)生活實際匹配下面三幅圖象與三個事件：事件1：嬰兒0-3歲身高曲線(身高隨著月份增加的曲線)事件2：艾賓浩斯遺忘曲線(記憶量隨著時間變化的曲線)事件3：學習效率與緊張程度的曲線(學習效率隨著緊張程度變化的曲線)【思考探究】在初中，我們已經(jīng)學習過了一次函數(shù)，二次函數(shù)，現(xiàn)在分別畫出y=x,y=?x,y=x2的圖象，并仔細觀察函數(shù)圖象的變化趨勢．【知識點睛】如果對于定義域I【知識點睛】如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1x2，當x1x2時，有f(x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(如圖A)．區(qū)間D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間．如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1<x2時，有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)(如圖B)．區(qū)間D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間．圖示：111R上的函數(shù)f滿足fff是R上的增函數(shù)；②定義在R上的函數(shù)f滿足fff在R上不是減函數(shù)；③定義在R上的函數(shù)f(x)在(?∞,0]上是增函數(shù)，在[0,+∞)上也是增函數(shù)，則f(x)在R上單調(diào)遞增；④定義在R上的函數(shù)f在(?∞,上是增函數(shù)，在[0,+∞)上也是增函數(shù)，則f在R上單調(diào)遞增．以上說法正確的是( )64%②③②④③④D.②③④考法：【達標檢測】式變式1若函數(shù)f的定義域為+∞)，且滿足f<f<f則函數(shù)f在+∞)上( )74%是增函數(shù)是減函數(shù)先增后減單調(diào)性不能確定2例題2A.A.[?4,?2]B.[1,4]C.[?42]和[14]D.[?4,?2]∪[1,4]82%)1函數(shù)yf44]的圖象如圖所示，則函數(shù)f的所有單調(diào)遞減區(qū)間為(考法：【達標檢測】式變式如圖是函數(shù)y=f的圖象，則函數(shù)f的單調(diào)遞減區(qū)間是( )84%A.(?1,0)B.(1,+∞)C.(?1,0)∪(1,+∞)D.(?1,0),(1,+∞)模塊2：單調(diào)性的證明素材 knowledgecombingff(x1)③定號：確定Δy的符號(做差與0比，做商與1比)，若符號不確定，可以進行分類討論．④下結論：根據(jù)定義得出結論，注意下結論時不要忘記說明區(qū)間．②變形：對Δyf(x2f(x1)或f(x2進行因式分解、配方、有理化等，向有利于判斷符號的方向變形．第6講函數(shù)的單調(diào)性 模塊二 單調(diào)性的證明【知識點睛】單調(diào)性嚴格證明的步驟：①取值：設x1，x2是某區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且Δxx2x10．3例題3xx1已知fx+1，證明f在[1+∞)上單調(diào)遞增．x2判斷并證明f=x21在上的單調(diào)性．變式 11證明f= x在+∞)上單調(diào)遞增．2證明fx3在R上單調(diào)遞增．模塊3：常見函數(shù)的單調(diào)性第6講函數(shù)的單調(diào)性 模塊四 常見函數(shù)的單調(diào)性素材 第6講函數(shù)的單調(diào)性 模塊四 常見函數(shù)的單調(diào)性【知識點睛】4例題【知識點睛】4xxD.f=2?3)54%1下列四個函數(shù)在(?∞,0)是增函數(shù)的為(A.f=x2+4B.f=1?2xC.f=?x2?x+1式變式1下列函數(shù)中，在區(qū)間(?1,上為增函數(shù)的是( )65%A.y=x?x2B.y=∣x+1∣y=?1xy=x2?2x5例題511已知函數(shù)f=?a2)x+2在(?∞,+∞)上為減函數(shù)，則的取值范圍是 ．)57%2若函數(shù)fx22在區(qū)間4]上為減函數(shù)，則的取值范圍是(a=?3a??3a?3a??3考法：【達標檢測】3式變式1若函數(shù)fx22mx1在1)上單調(diào)遞減，在(?1上單調(diào)遞增，則m=

．78%xx+1D.f(x)=?∣x∣C.f(x)=?1f=3?xf=x2?3x)2下列四個函數(shù)中，在(0,+∞)上為增函數(shù)的是(增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)無法判斷)66%ax3已知函數(shù)y=ax和y=?b在區(qū)間(0,+∞)上都是減函數(shù)，則函數(shù)y=bx+1在R上的單調(diào)性是(模塊4：單調(diào)性的四則運算素材 knowledgecombing第6講函數(shù)的單調(diào)性 模塊三 單調(diào)性的四則運算第6講函數(shù)的單調(diào)性 模塊三 單調(diào)性的四則運算【知識點睛】若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上有單調(diào)性，則函數(shù)f(x)與f為常數(shù))具有相同的單調(diào)性；當c0時，f(x)與(x)具有相同的單調(diào)性；當c0時，f(x)與(x)具有相反的單調(diào)性；1若f(x)恒為正值或者恒為負值時，則函數(shù)f(x)與在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結論：f(x)具有相反的單調(diào)性；6例題6①③①③①④②③②④)1設f都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個命題，其中正確的命題是(①若f單調(diào)遞增，g單調(diào)遞增，則fg單調(diào)遞增；②若f單調(diào)遞增，g單調(diào)遞減，則fg單調(diào)遞增；③若f單調(diào)遞減，g單調(diào)遞增，則fg單調(diào)遞減；④若f單調(diào)遞減，g單調(diào)遞減，則fg單調(diào)遞減．7例題71判斷函數(shù)的單調(diào)性．f= x+7xxf=x?1．2判斷函數(shù)的單調(diào)性．xxf=?x2+1>0)3判斷函數(shù)的單調(diào)性．考法：【達標檢測】1式變式函數(shù)f=x3+1在其定義域內(nèi)的單調(diào)性為（ ）65%增函數(shù)減函數(shù)既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)無法判斷增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)無法判斷）2函數(shù)f=x+ x的單調(diào)性為（78%模塊5：課堂總結素材 knowledgecombing函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性-課堂總結模塊6：秋季你會遇見例題8 xx+1已知函數(shù)f(x2x+1．11判斷函數(shù)在區(qū)間(?1,+∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結論．22在(1)的條件下,若f(m?1)?f(1?2m)>0，求實數(shù)m的取值范圍．素材 knowledgecombing函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性-秋季你會遇見【點石成金】暑期我們學習函數(shù)的單調(diào)性，主要是通過給定函數(shù)解析式，來判斷函數(shù)的單調(diào)性。秋季，我們將繼續(xù)學習函數(shù)單調(diào)性，考察已知函數(shù)單調(diào)性，進行解不等式，進而求出參數(shù)的取值范圍，期待秋季的學習吧！模塊7：理科大視野理科大視野素材 knowledgecombing理科大視野在一個斜面上,擺兩條軌道,一條是直線,一條是曲線,起點高度以及終點高度都相同．兩個質量、大小一樣的小球同時從起點向下滑落,曲線的小球反而先到終點．這是由于曲線軌道上的小球先達到最高速度,所以先到達．然而,兩點之間的直線只有一條,曲線卻有無數(shù)條,那么,哪一條才是最快的呢？牛頓、萊布尼茲、洛比達以及雅克布·伯努利等解決了這個問題．這條最速曲線就是一條擺線,也叫旋輪線．意大利科學家伽利略在1630年率先提出一個分析學的基本問題——“一個質點在重力作用下,從一個給定點到不在它垂直下方的另一點,如果不計摩擦力,問沿著什么曲線滑下所需時間最短．”．他說這曲線是圓,可是這是一個錯誤的答案．瑞士數(shù)學家約翰.伯努利在1696年再提出這個最速曲線的問題,征求解答．次年已有多位數(shù)學家得到正確答案,旋輪線與1673年荷蘭科學家惠更斯討論的擺線相同．因為鐘表擺錘作一次完全擺動所用的時間相等,所以擺線(旋輪線)又稱等時曲線．約翰.伯努利對最速曲線問題的完美解答:如果使分成的層數(shù)n無限地增加,即每層的厚度無限地變薄,則質點的運動便趨于空間A、B兩點間質點運動的真實情況,此時折線也就無限增多,其形狀就趨近我們所要求的曲線——最速曲線.而折線的每一段趨向于曲線的切線,因而得出最速曲線的一個重要性質:任意一點上切線和鉛垂線所成的角度的余弦與該點落下的高度的平方根的比是常數(shù).而具有這種性質的曲線就是擺線.所謂擺線,它是一個圓沿著一條直線滾動(無滑動)時,圓周上任意一點的軌跡．因此,最速曲線就是擺線,只不過在最速曲線問題中,這條擺線是上、下顛倒過來的罷了.經(jīng)過論證和科學實驗,圖中紅色路線是最快的路線,即“最速曲線”．最速曲線的形狀為曲線,起始近乎垂直加速,讓物體獲得了快速通過后半程水平位移的能力,平均速度最快．第7講第7講函數(shù)的奇偶性與對稱性 知識引航對稱性在自然界中的存在是一個普遍的現(xiàn)象．99%的現(xiàn)代動物是左右對稱祖先的后代．試想生命中如果沒有對稱性是什么樣子呢？如果人不是左右對稱，只有一條腿，一只眼睛，一個耳朵，那么這個世函數(shù)的奇偶性學習目標學習目標第7第7講函數(shù)的奇偶性與對稱性 學習目標通過數(shù)形結合，深刻理解函數(shù)的奇偶性概念，會判斷函數(shù)的奇偶性掌握利用奇偶性求解對稱函數(shù)解析式的方法.直擊課堂函數(shù)的奇偶性-函數(shù)的奇偶性-直擊課堂知識引航界貌似就不太美好了．人具有獨一無二的對稱美，所以人們又往往以是否符合“對稱性”去審視大自然，并且創(chuàng)造了許許多多的具有界貌似就不太美好了．人具有獨一無二的對稱美，所以人們又往往以是否符合“對稱性”去審視大自然，并且創(chuàng)造了許許多多的具有“對稱性”的美的藝術品：服飾，雕塑和建筑物等．對稱性對于人，不僅僅是外在的美，也是健康和生存的需要．如果人只有一只眼睛，人的視野不僅變小、對與目標的距離判斷不精確，而且對物體的立體形狀的認知會發(fā)生扭曲．如果一只耳朵失聰，對于聲源的定位就會不精確．在數(shù)學學習的過程中，很多時候，提到對稱，便讓我們想到某些幾何圖形．然而，數(shù)學對稱的源頭卻是來自于代數(shù)，讓我們一起打開代數(shù)的對稱之門吧！素材 knowledgecombing第7講函數(shù)的奇偶性與對稱性 模塊一 奇偶性的概念與判定【思考探究】觀察下面四個函數(shù)的圖象，回答以下問題：(1)觀察圖象，從對稱的角度思考，它們有什么共同的特征？(2)分別求當自變量x=±1,±2時的函數(shù)值，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(3)是否對于定義域內(nèi)所有的x，都有類似的情況？【知識點睛】奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義設函數(shù)的定義域為I，如果對I內(nèi)的任意一個x，都有?x∈I，且f(?x)=f(x)，則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)．設函數(shù)的定義域為I，如果對I內(nèi)的任意一個x，都有?xI，且f(?x?f(x)，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)．函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，就說函數(shù)yf(x)具有奇偶性；反之，稱函數(shù)yf(x)不具有奇偶性．函數(shù)奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下幾種方法：定義法用定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟：①確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于坐標原點對稱．標原點對稱，再判斷f(?x)是否等于±f(x)，或判斷f(xf(?x)是否等于零．圖象法可以通過函數(shù)的圖象直觀看出函數(shù)的奇偶性，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱．1例題111下面是一些函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷它們的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性：①f)=3；②f)=1x

；③f)=x?1；④f)=3．x考法：【達標檢測】1,2式變式1根據(jù)圖象依次判斷函數(shù)①②③④的奇偶性 (如“AABA”)．奇函數(shù)偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)55%奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)28%x①f)=3x?1；②f)=?2；③f)=0；④f)=2?∣∣+1(如“AABA”)．2依次判斷下列函數(shù)的奇偶性是奇函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù))1?x1+x(3函數(shù)f1)例題2 xx