2022-2023學(xué)年廣東省信宜市高三5月適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題試卷

2022-2023學(xué)年廣東省信宜市高三5月適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．842．已知實數(shù)、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．3．已知三棱錐中，是等邊三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．若復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在直線上，則等于()A． B． C． D．5．執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的是（）A． B．C． D．6．將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在上的值域是（）A． B． C． D．7．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（）A． B．C． D．9．設(shè)，，，則，，三數(shù)的大小關(guān)系是A． B．C． D．10．將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知，則（）A． B． C． D．12．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為________.14．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則________．15．在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式_____.16．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，，為的中點，.（1）求線段的長.（2）若為線段上一點，且，求二面角的余弦值.18．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）設(shè)，且當(dāng)時，不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）如圖，在正四棱錐中，，點、分別在線段、上，．（1）若，求證：⊥；（2）若二面角的大小為，求線段的長．20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項和.若對恒成立，求實數(shù)，的值.21．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是:（是參數(shù)）.（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m值.（2）設(shè)為曲線上任意一點，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項的性質(zhì)，即得解【詳解】，解得．．故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.2、C【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖象知當(dāng)直線過點時，取得最大值.【詳解】解：作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部，如下圖表示：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時，取得最大值，最大值為.故選：C.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識,屬于中檔題.3、D【解析】

根據(jù)底面為等邊三角形，取中點，可證明平面，從而，即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為，可求得到平面的距離，畫出幾何關(guān)系，設(shè)球心為，即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑，進(jìn)而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點，是等邊三角形，所以，又因為，且，所以平面，則，由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐，設(shè)底面等邊的重心為，可得，，所以三棱錐的外接球球心在面下方，設(shè)為，如下圖所示：由球的性質(zhì)可知，平面，且在同一直線上，設(shè)球的半徑為，在中，，即，解得，所以三棱錐的外接球表面積為，故選：D.【點睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.4、C【解析】

由題意得，可求得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得選項.【詳解】由題意得，解得，所以，所以，故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何表示和共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果的值.【詳解】滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，，；不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖的計算，解題時要根據(jù)算法框圖計算出算法的每一步，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.6、D【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.【詳解】解：把函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，可得的圖象；再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，，，函數(shù).在上，，，故，即的值域是，故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．7、C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵,,∴,故選：C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

是函數(shù)的零點，根據(jù)五點法求出圖中零點及軸左邊第一個零點可得．【詳解】由題意，，∴函數(shù)在軸右邊的第一個零點為，在軸左邊第一個零點是，∴的最小值是．故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對稱性．函數(shù)的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)．9、C【解析】

利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式，將a，b，c與，比較即可.【詳解】由，，，所以有.選C.【點睛】本題考查對數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.10、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，此時與函數(shù)的圖象重合，則，即，，當(dāng)時，取得最小值為，故選：．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵．11、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三角函數(shù)的符號.12、C【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立，對導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，則，故在上恒成立；結(jié)合圖象可知，，解得故.故選：C.【點睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，即為所求斜率.【詳解】，，解得：，即在處的切線斜率為.故答案為：.【點睛】本題考查切線斜率的求解問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合題意可求得正實數(shù)的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由題意可得，又，數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，分別求出，從而得到數(shù)列的通項公式.【詳解】解：∵，∴①，②，①﹣②得：，又∵，∴數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，則為奇數(shù)，∴，∴數(shù)列的通項公式，故答案為：.【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出，從而確定數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，求出通項公式后再由已知求出偶數(shù)項，要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式．16、【解析】

作出滿足約束條件的可行域，將目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點的斜率，觀察圖形斜率最小在點B處，聯(lián)立，解得點B坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，該目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點的斜率，故由題可知，聯(lián)立得,聯(lián)立得所以，故所以的最小值為故答案為：【點睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的長為4（2）【解析】

（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)向量垂直關(guān)系計算得到答案.（2）計算平面的法向量為，為平面的一個法向量，再計算向量夾角得到答案.【詳解】（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以.，因為，所以，即，解得，所以的長為4.（2）因為，所以，又，故.設(shè)為平面的法向量，則即取，解得，所以為平面的一個法向量.顯然，為平面的一個法向量，則，據(jù)圖可知，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了立體幾何中的線段長度，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）通過分類討論去掉絕對值符號，進(jìn)而解不等式組求得結(jié)果；（2）將不等式整理為，根據(jù)能成立思想可知，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，可化為，由，解得；由，解得；由，解得．綜上所述：所以原不等式的解集為．（2），，，，有解，，即，又，，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是明確對于不等式能成立的問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.19、（1）證明見解析；（2）．【解析】試題分析：由于圖形是正四棱錐，因此設(shè)AC、BD交點為O，則以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可用空間向量法解決問題．（1）只要證明＝0即可證明垂直；（2）設(shè)＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量為，利用法向量夾角與二面角相等或互補可求得．試題解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點O，以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．因為PA＝AB＝，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．由＝，得N，由＝，得M，所以，＝(－1，－1，0)．因為＝0，所以MN⊥AD(2)解：因為M在PA上，可設(shè)＝λ，得M(λ，0，1－λ)．所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．設(shè)平面MBD的法向量＝(x，y，z)，由，得其中一組解為x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可?。?λ－1，0，λ)．因為平面ABD的法向量為＝(0，0，1)，所以cos＝，即＝，解得λ＝，從而M，N，所以MN＝＝．考點：用空間向量法證垂直、求二面角．20、（1）（2），.【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系式，即求解數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的前n項和公式和裂項法，求得，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，可得，即，顯然當(dāng)時上式也適合，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.因為對恒成立，所以，.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解，等差數(shù)列的前n項和公式，以及裂項法求和的應(yīng)用，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，以及合理利用“裂項法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.21、（1）;（2）.【解析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項和公式即可求出．【詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項公式為an＝n＋1.（2）設(shè)的前n項和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和．【方法點晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項和公式、一元二次方程的解法等知識點的綜合應(yīng)用，解答中方