大連工業(yè)大學《線性代數》2016-2017學年期末試卷B

一、填空題（每空3分，共15分）得分二、單選題（每小題3分，共15分）2.設二次型f(x1,x2,x3)=xTAx經正交變換化為標準形yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)+2yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),2)+3yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),3)，則A的最小的特征值是()。2．試卷背面為草算區(qū) 題號一二三四五六七八九總分復核總分得分說明：“閱卷總分”由閱卷人填寫；“復核總分”由復核人填寫，復核總分不得有改動。得分1.設A為三階方陣，且A=3,則-A=。EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(2),6)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(1),4)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(8),2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(0),1)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(2),4)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(2),1)3132331323333.若行列式D1313233132333(A)D1=-D2(B)D1=D2(C)D1=D2(D)D1=2D24.若A與B均為n階可逆矩陣，則下列命題不正確的是()。B(A)AB=AB(B)(AB)-1=B-1A-1(C)產0(D)0為A的特征值B5.給定含有m個方程n個未知數的非齊次線性方程組Ax=b，其系數矩陣的秩為R(A)，增廣矩陣的秩為R(A,b),則該方程組無解的充分必要條件是()。（A）R(A)>R(A,b)（B）R(A)=R(A,b)<n（C）R(A)=R(A,b)=n（D）R(A)<R(A,b)得分三、計算題（每小題6分，共12分）得分1.計算行列式D=2.已知方陣A滿足A2-A-3E=O，求(A-3E)-12+2x3+2x4=02．試卷背面為草算區(qū) 得分得分|0五、計算題（10分）已知矩陣A=|014410231033得分230EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up14(3),2)230EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up14(0),0)七、計算題（12分）七、計算題（12分）(1)2．試卷背面為草算區(qū) 得分|2||2|,求該向量組的秩和一個極大無關組，并把不屬于該極大無關組的其余向量用該極324==大無關組線性表示。得分八、計算題（8分）判斷二次型f(x1,x2,x3)=xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)+xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),2)+5xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),3)-x1x2-2x1x3+4x2x3是否為正定二次型，并說明理由。得分得分得分=9EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up13(0),4)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up10(1),5)（3）6EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up13(0),4)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up10(1),5)（3）6（4）12二．1.C2.B3.A4.D5.DEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(-32),22)9222122212229322=9322=910092321232001092231223000……………（6分）2-A-3E=O可知(A-3E)(A+2E)=-3E。于是(A-3E)-1=-(A+2E)。………………（6分）（01211121-111-22010-120……（6分）于是原方程組對應的同解方程(x=x(x=x+x2=-2x3-2x4令x3=c1，x4=c2，可得方程組的通解為2x2x3（x4)|1|)-2-21|||+c2-2-20|||EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(1),0)1-23-21EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(1),0)1-23-21-11-11-22-2103312001100111410231210……………（6分）|0|0-6-6)（00303顯然R(A)顯然R(A)=3。A的一個最高階非零子式為20六12分）解：由λE-A=(λ-1)(λ-2)(λ-5)=0，求得A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=5?！?分）對于λ1=1，解(E-A)X=0,得基礎解系a1=|-1|。對于λ2=2，解(2E-A)X=0,得基礎解系a2=|0|。對于λ3=5，解(5E-A)X=0,得基礎解系a3=EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(1),0)……………………（8分）|2|將a1,a2,a3單位化，得p1=|-|取P=|-2001 1 1EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up11(1),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up11(0),2)|0||0|EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up15(0),0)-1AP=Λ?！?2分）EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(0),5)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(1),4)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(2),3)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(0),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(6),-6)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(2),-2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483646(0),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483646(0),0) EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(1),3)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(1),2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(1),1)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(1),0)故1，2為該向量組的一個極大無關組?！?|………………212八8分）解：該二次型是正定的?！?2121221d1=2=………（8分）>1221d1=2=………（8分）九6分）證明：假設k1(1+22)+k2(2+23)+k3(3+21)