尺規(guī)作圖方法大全含練習(xí)試題VIP

PAGEPAGE1尺規(guī)作圖【知識回顧】1、尺規(guī)作圖的定義：尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。最基本,最常用的尺規(guī)作圖,通常稱基本作圖。一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的。2、五種基本作圖：1、作一條線段等于已知線段；2、作一個角等于已知角；3、作已知線段的垂直平分線；4、作已知角的角平分線；5、過一點作已知直線的垂線；（1）題目一：作一條線段等于已知線段。已知：如圖，線段a.求作：線段AB，使AB=a.作法：作射線AP；在射線AP上截取AB=a.則線段AB就是所求作的圖形。（2）題目二：作已知線段的中點。已知：如圖，線段MN.求作：點O，使MO=NO（即O是MN的中點）.作法：（１）分別以M、N為圓心，大于的相同線段為半徑畫弧，兩弧相交于P，Q；（２）連接PQ交MN于O．則點O就是所求作的ＭＮ的中點。（3）題目三：作已知角的角平分線。已知：如圖，∠AOB，求作：射線OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別交OA，OB于M，N；（2）分別以M、Ｎ為圓心，大于的線段長為半徑畫弧，兩弧交∠AOB內(nèi)于Ｐ；作射線OP。則射線OP就是∠AOB的角平分線。（4）題目四：作一個角等于已知角。已知：如圖，∠AOB。求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB作法：（1）作射線O’A’；（2）以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O(shè)’為圓心，以O(shè)M的長為半徑畫弧，交O’A’于M’；（4）以M’為圓心，以MN的長為半徑畫弧，交前弧于N’；（5）連接O’N’并延長到B’。則∠A’O’B’就是所求作的角。（5）題目五：經(jīng)過直線上一點做已知直線的垂線。已知：如圖，P是直線AB上一點。求作：直線CD，是CD經(jīng)過點P，且CD⊥AB。作法：（1）以P為圓心，任意長為半徑畫弧，交AB于M、N；（2）分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點Q；（3）過D、Q作直線CD。則直線CD是求作的直線。（6）題目六：經(jīng)過直線外一點作已知直線的垂線已知：如圖，直線AB及外一點P。求作：直線CD，使CD經(jīng)過點P，且CD⊥AB。作法：（1）以P為圓心，任意長為半徑畫弧，交AB于M、N；（2）分別以M、N圓心，大于長度的一半為半徑畫弧，兩弧交于點Q；（3）過P、Q作直線CD。則直線CD就是所求作的直線。（5）題目七：已知三邊作三角形。已知：如圖，線段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.作法：作線段AB=c；以A為圓心，以b為半徑作弧，以B為圓心，以a為半徑作弧與前弧相交于C；連接AC，BC。則△ABC就是所求作的三角形。題目八：已知兩邊及夾角作三角形。已知：如圖，線段m，n,∠.求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.作法：作∠A=∠；在AB上截取AB=m,AC=n；連接BC。則△ABC就是所求作的三角形。題目九：已知兩角及夾邊作三角形。已知：如圖，∠，∠，線段m.求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.作法：作線段AB=m；在AB的同旁作∠A=∠，作∠B=∠，∠A與∠B的另一邊相交于C。則△ABC就是所求作的圖形（三角形）。2、三條公路兩兩相交，交點分別為A，B，C，現(xiàn)計劃建一個加油站，要求到三條公路的距離相等，問滿足要求的加油站地址有幾種情況？用尺規(guī)作圖作出所有可能的加油站地址。3、過點C作一條線平行于AB。4、如圖，平行四邊形紙條ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點。張老師請同學(xué)們將紙條的下半部分平行四邊形ABEF沿EF翻折，得到一個V字形圖案。請你在原圖中畫出翻折后的圖形平行四邊形A1B1FE；(用尺規(guī)作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡)。5、如圖，已知方格紙中的每個小方格都是全等的正方形，∠AOB畫在方格紙上，請用利用格點和直尺(無刻度)作出∠AOB的平分線。6、小蕓在班級辦黑板報時遇到一個難題,在版面設(shè)計過程中需將一個半圓面三等分,請你幫助他設(shè)計一個合理的等分方案，圖中AB為直徑，O為圓心(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡)。7、已知線段AB和CD，如下圖，求作一線段，使它的長度等于AB＋2CD.8、如圖，已知∠A、∠B，求作一個角，使它等于∠A-∠B.9、如圖，畫一個等腰△ABC，使得底邊BC=，它的高AD=10、如圖，有A，B，C三個村莊，現(xiàn)要修建一所希望小學(xué)，使三個村莊到學(xué)校的距離相等，學(xué)校的地址應(yīng)選在什么地方？請你在圖中畫出學(xué)校的位置并說明理由（保留作圖痕跡）．11、如圖，A、B兩村在一條小河的的同一側(cè)，要在河邊建一水廠向兩村供水．（1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，廠址應(yīng)選在哪個位置？（2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址應(yīng)選在哪個位置？請將上述兩種情況下的自來水廠廠址標出，并保留作圖痕跡．.BA.12、如圖，A為∠MON內(nèi)一點，試在OM、ON邊上分別作出一點B、C，使△ABC的周長最?。?3、如圖，已知兩點P、Q在銳角∠AOB內(nèi)，分別在OA、OB上求點M、N，使PM＋MN＋NQ最短．18．如圖所示，EFGH是一矩形的臺球臺面，有黑白兩球分別位于A、B兩點位置上，試問：怎樣撞擊黑球A，使黑球先碰撞臺邊EF反彈后再擊中白球B？2019年各區(qū)二模尺規(guī)作圖分類類型1：作已知直線的垂線平行線（2019朝陽二模）19．下面是小東設(shè)計的“過直線上一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程．已知：直線l及直線l上一點P．求作：直線PQ，使得PQ⊥l．作法：如圖，=1\*GB3①在直線l上取一點A（不與點P重合），分別以點P，A為圓心，AP長為半徑畫弧，兩弧在直線l的上方相交于點B；=2\*GB3②作射線AB，以點B為圓心，AP長為半徑畫弧，交AB的延長線于點Q； =3\*GB3③作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接BP，∵_____=_____=_____=AP， ∴點A，P，Q在以點B為圓心，AP長為半徑的圓上． ∴∠APQ=90°（_____）．（填寫推理的依據(jù)） 即PQ⊥l．答案：19．（1）圖略．（2）BP，BA，BQ，直徑所對的圓周角是直角．（2019平谷二模）圖119．下面是小元設(shè)計的“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的圖1已知：如圖1，直線l和l外一點P．求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點P．作法：如圖2，（1）在直線l上任取一點A；（2）連接AP，以點P為圓心，AP長為半徑作弧，交直線l于點B（點A，B不重合）；（3）連接BP，作∠APB的角平分線，交AB于點H；圖2（4）作直線PH，交直線l于點H圖2所以直線PH就是所求作的垂線．根據(jù)小元設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明.證明：∵PH平分∠APB，∴∠APH=．∵PA=，∴PH⊥直線l于H．()(填推理的依據(jù))答案：19．（1）如圖； 2（2）證明：∵PH平分∠APB，∴∠APH=∠BPH． 3∵PA=PB， 4∴PH⊥直線l于H．(等腰三角形三線合一) 5（2019順義二模）19.下面是小明設(shè)計的“作三角形的高線”的尺規(guī)作圖過程.已知：△ABC．求作：BC邊上的高線．作法：如圖，①分別以A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，E；②作直線DE，與AB交于點F，以點F為圓心，F(xiàn)A長為半徑畫圓，交CB的延長線于點G；③連接AG．所以線段AG就是所求作的BC邊上的高線．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）完成下面證明.證明：連接DA，DB，EA，EB，∵DA=DB，∴點D在線段AB的垂直平分線上（）（填推理的依據(jù)）．∵=，∴點E在線段AB的垂直平分線上．∴DE是線段AB的垂直平分線．∴FA=FB．∴AB是⊙F的直徑．∴∠AGB=90°（）（填推理的依據(jù)）．∴AG⊥BC即AG就是BC邊上的高線．答案：19.解：（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上EA=EB直徑所對的圓周角是直角（2019昌平二模）19．在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：如何使用尺規(guī)完成“過直線l外一點P作已知直線l的平行線”． 小明的作法如下： =1\*GB3①在直線l上取一點A，以點A為圓心，AP長為半徑作弧，交直線l于點B； =2\*GB3②分別以P，B為圓心，以AP長為半徑作弧，兩弧相交于點Q（與點A不重合）；=3\*GB3③作直線PQ． 所以直線PQ就是所求作的直線． 根據(jù)小明的作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明.證明：∵AB=AP=_________=__________.∴四邊形ABQP是菱形（______________________________）（填推理的依據(jù)）.∴PQ∥l.答案：（2）BQ，PQ四條邊相等的四邊形是菱形類型2：作特殊的四邊形（2019東城二模）17.下面是小明設(shè)計的“在一個平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖過程.已知：四邊形ABCD是平行四邊形.求作：菱形ABEF（點E在BC上，點F在AD上）.作法：①以A為圓心，AB長為半徑作弧，交AD于點F；②以B為圓心，AB長為半徑作弧，交BC于點E；③連接EF.所以四邊形ABEF為所求作的菱形.根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明.證明：∵AF=AB，BE=AB，∴________=________.在□ABCD中，AD∥BC.即AF∥BE.∴四邊形ABEF為平行四邊形.∵AF=AB，∴四邊形ABEF為菱形（_________________________）（填推理的依據(jù)）.答案：17.AF,BE；一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形類型3：作特殊的三角形（2019豐臺二模）17．下面是小明設(shè)計的“作一個含30°角的直角三角形”的尺規(guī)作圖過程．已知：直線l． 求作：△ABC，使得∠ACB=90°，∠ABC=30°．作法：如圖， ①在直線l上任取兩點O，A；②以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交直線l于點B；③以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，交于點C；④連接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：在⊙O中，AB為直徑，∴∠ACB=90°（①）．（填推理的依據(jù)）連接OC，∵OA=OC=AC，∴∠CAB=60°．∴∠ABC=30°（②）．（填推理的依據(jù)）答案：17.（1）略；（2）①直徑所對的圓周角是直角；②直角三角形兩個銳角互余.（2019門頭溝二模）20．下面是小明同學(xué)設(shè)計的“已知底邊及底邊上的高作等腰三角形”的尺規(guī)作圖的過程．已知：如圖1，線段a和線段b．求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC邊上的高為b．作法：如圖2，圖1①作射線BM，并在射線BM上截取BC=a；圖1②作線段BC的垂直平分線PQ，PQ交BC于D；③以D為圓心，b為半徑作圓，交PQ于A；④連接AB和AC．則△ABC就是所求作的圖形．根據(jù)上述作圖過程，回答問題：（1）用直尺和圓規(guī)，補全圖2中的圖形；圖2（2）完成下面的證明：圖2證明：由作圖可知BC=a，AD=b．∵PQ為線段BC的垂直平分線，點A在PQ上，∴AB=AC（）（填依據(jù)）．又∵AD在線段BC的垂直平分線PQ上，∴AD⊥BC．∴AD為BC邊上的高，且AD=b．答案：（1）尺規(guī)作圖正確；（2）填空正確．（2019懷柔二模）16.下面是一位同學(xué)的一道尺規(guī)作圖題的過程.已知：線段a，b，c.求作：線段，使得a：b=c：x.x.。他的作法如下：①以點O為端點畫射線OM，ON；②在OM上依次截取OA=a，AB=b；③在ON上截取OC=c；④聯(lián)結(jié)AC，過點B作BD∥AC，交ON于點D．所以：線段CD就是所求的線段x．這位同學(xué)作圖的依據(jù)是.答案：16.平行于三角形一邊的直線截其它兩（或兩邊的延，所得對應(yīng)線段成比例. 類型4：作已知角的角的等角倍角半角（2019石景山二模）17．下面是小華設(shè)計的“作一個角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過程．已知：∠AOB．求作：∠APC，使得∠APC=2∠AOB．作法：如圖，=1\*GB3①在射線OB上任取一點C；②作線段OC的垂直平分線，交OA于點P，交OB于點D；=3\*GB3③連接PC；所以∠APC即為所求作的角．根據(jù)小華設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明（說明：括號里填寫推理的依據(jù)）．證明：∵DP是線段OC的垂直平分線，∴OP=（）．∴∠O=∠PCO．∵∠APC=∠O+∠PCO（）．∴∠APC=2∠AOB．答案：17．解：（1）補全的圖形如圖所示：………………2分………………2分…………4分（2）PC；…………4分………………5分………………5分其他：（2019西城二模）19．下面是小東設(shè)計的“作平行四邊形一邊中點”的尺規(guī)作圖過程．已知：平行四邊形ABCD．求作：點M，使點M為邊AD的中點．作法：如圖，①作射線BA；②以點A為圓心，CD長為半徑畫弧，交BA的延長線于點E；③連接EC交AD于點M．所以點M就是所求作的點．根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接AC，ED．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥CD．∵AE=__________，∴四邊形EACD是平行四邊形（__________）（填推理的依據(jù)）．∴AM=MD（__________）（填推理的依據(jù)）．∴點M為所求作的邊AD的中點．答案：19．解：（1）補全的圖形如圖所示；………………2分（2）CD，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對角線互相平分．……5分（2019海淀二模）19．下面是小宇設(shè)計的“作已知直角三角形的中位線”的尺規(guī)作圖過程．已知：在△ABC中，∠C=90°．求作：△ABC的中位線DE，使點D在AB上，點E在AC上．作法：如圖，①分別以A，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；②作直線PQ，與AB交于點D，與AC交于點E．所以線段DE就是所求作的中位線．根據(jù)小宇設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接PA，PC，QA，QC，DC，∵PA=PC，QA=_________，∴PQ是AC的垂直平分線（________）（填推理的依據(jù)）．∴E為AC中點，AD=DC．∴∠DAC=∠DCA，又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC=90°，∠DCA+∠DCB=90°．∴∠ABC=∠DCB（________）（填推理的依據(jù)）．∴DB=DC．∴AD=BD=DC．∴D為AB中點．∴DE是△ABC的中位線．答案：（1）補全的圖形如圖所示：（作等弧交于兩點P,Q點1分，直線PQ1分）（2）QC到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上等角的余角相等（2019房山二模）17.閱讀下面材料：小明遇到一個問題：如圖，∠MON，點A在射線OM上，點B在∠MON內(nèi)部，用直尺和圓規(guī)作點，使點同時滿足下列兩個條件(要求保留作圖痕跡,不必寫出作法)：a.點P到，兩點的距離相等；b.點P到∠MON的兩邊的距離相等.小明的作法是：連接AB，作線段AB的垂直平分線交AB于E，交ON于F；作∠MON的平分線交EF于點P.所以點P即為所求.根據(jù)小明的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（2）證明：∵EF垂直平分線段AB，點P在直線EF上,∴PA=.∵OP平分∠MON,∴點P到∠MON的兩邊的距離相等（）（填推理的依據(jù)）.所以點P即為所求.答案：（1）（2）PB角平分線上的點到角兩邊的距離相等尺規(guī)作圖全搞定的尺規(guī)作圖的方法，還要靈活運用幾何圖形的性質(zhì).“七嘴八舌說”考情陜西：我們的考查題型均為解答題，題目不會明確說明作圖方式，需要將題目個相似三角形；④在正方形中作已知三角形的相似三角形.考查內(nèi)容有：①過一平分線.河北：8圖順序;②根據(jù)尺規(guī)作圖,判斷所給結(jié)論正確的是;③根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡補全已知和求證;④求符合要求的作圖痕跡;⑤根據(jù)尺規(guī)作圖判斷兩個人的作法正確的是;有:①作角的平分線;②作線段的垂直平分線;③作平行四邊形、矩形、正方形;④作平行線.山西：84考查其相關(guān)證明與計算.安徽：181作法.河南：我們在選擇題和填空題中考查，題目會給出作圖的過程，通過判斷做的線；②作線段的垂直平分線.云南：18k值.說來說去還得練類型一作一條線段等于已知線段圖示作法步驟圖示作法步驟 OPOP；OP即為所求線段a，bmABCBC=2a，AB=b，BC邊上的中線AD=m．（尺規(guī)作圖，保留痕跡）1解：如解圖所示，△ABC即為所求；第1題解圖【作法提示】BMBMBD=DC=aB為頂DAAB、AC即可.類型二 作一個角等于已知角圖示作法步驟性質(zhì)1.在∠α上以O(shè)為圓心，任意長為半αPQ；2.作射線O￠A；3.以O(shè)′為圓心，OP長為半α徑作弧，交OA于點M；OP=OQ=O￠M=O￠N4.M交步驟3所作的弧于點N；5.作射線AOB即為所求角“經(jīng)過已知角一邊上的一點，作一個角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程如下：此作圖的依據(jù)中不含有（ ）三邊分別相等的兩個三角形全等全等三角形的對應(yīng)角相等兩直線平行同位角相等兩點確定一條直線CF=OD,CG=OE,FG=DE得到△CFG≌△ODE（SSS），從而得到∠GCF=∠AOB,而確定射線CG是運用兩點確定一條直線為依據(jù)，故不含有的依據(jù)是C.類型三 作一個角的平分線圖示作法步驟性質(zhì)O為圓心，適當長為半徑作弧，OA，OBN、M;MN1MN2長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點P；OP，OP即為所求角平分線連接MP、NP、MNOM=ON∠MOP=∠NOP△MON為等腰三角形MNOP對稱5.△MOP≌△NOP如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ABCBDACD.作∠BACAFBDBCEO保留作圖痕跡，不寫作法）在（1）EG=FG=1，AE的長.3解：（1）AF即為所求；【作法提示】AAB、AC于兩點；分MAM并延長交⊙OFAF即為所求.第3題解圖（2）∵∠BEF是△ABE的外角，AG、BD分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=∠CAF+∠CBD=∠CBF+∠CBD=∠EBF∴BF=EF=EG+FG=2，又∵∠FBG=∠FAB，∠BFG=∠AFB，∴△BGF∽△ABF.BFGF

2=1,解得AF=4.AF BF AF 2∴AE=AF-EF=2.類型四 作一條線段的垂直平分線圖示作法步驟性質(zhì)1.分別以點A、B為圓心，以大于1AB長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，2分別交于點M、N；2.過點M、N作直線MN交AB于點O，MN即為所求線段的垂直平分線連接AM、BM、AN、BN1.四邊形ANBM是菱形2.OA=OB3.MN⊥AB4.MN平分∠AMB、∠ANB如圖，在△ABC中，∠C=90AB1AB長為半徑2作弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，交BC于點D，交AB于點E，連接若△ABC的周長為的周長為則線段AE的長等于 第4題圖6【解析】根據(jù)題意可知MN是線段AB的垂直平分線∴AD=BD, 1 ,AE=2AB∵△ADC的周長為12，∴AC+AD+CD=12,∵△ABC的周長為24，∴AC+CD+BD+AB=24，∴AC+CD+AD+AB=24，∴AB=24-12=12，∴AE=6.如圖，在△ABC中，AB=4cm，AC6cm.利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應(yīng)字母（作法）.①作BC邊的垂直平分線分別交AC、BC于點D、E；②連接BD；、BD、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：（1）作圖如解圖;

第5題圖第5題解圖【作法提示】分別以點B、C為圓心，以大于1BC長為半徑，在BC兩側(cè)作弧2M、NMNAC、BCD、EDEBD.（2）AC=AD+BD.理