任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式一對一輔導(dǎo)講義

課題任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式授課時間：2015-12-0610：00——12:00備課時間：2015-12-03教學(xué)目標(biāo)1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義2、理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；3、了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；4、靈活運用誘導(dǎo)公式重點、難點教學(xué)重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義教學(xué)難點：靈活運用誘導(dǎo)公式考點及考試要求任意角的三角函數(shù)的求法三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式教學(xué)內(nèi)容第一課時任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式知識點梳理知識梳理知識梳理1．三角函數(shù)定義Oxya角的終邊POxya角的終邊PTMA(1)叫做的正弦,記做,即；（2）叫做的余弦,記做,即；（3）叫做的正切,記做,即。2．三角函數(shù)線三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時，十分方便。以坐標(biāo)原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點，過點作軸交軸于點，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時,以為始點、為終點，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當(dāng)線段與軸反向時，的方向為負(fù)向，且有正值；其中為點的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當(dāng)線段與軸反向時，的方向為負(fù)向，且有正值；其中為點的橫坐標(biāo)。這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點,請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。3．同角三角函數(shù)關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）倒數(shù)關(guān)系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商數(shù)關(guān)系：使用這組公式進(jìn)行變形時，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個常用關(guān)系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之間可以互相表示)同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余兩式。4．誘導(dǎo)公式可用十個字概括為“奇變偶不變，符號看象限”。誘導(dǎo)公式一：，，其中誘導(dǎo)公式二：；誘導(dǎo)公式三：；誘導(dǎo)公式四：；誘導(dǎo)公式五：；；。5．幾種終邊在特殊位置時對應(yīng)角的集合為角的終邊所在位置角的集合X軸正半軸Y軸正半軸X軸負(fù)半軸Y軸負(fù)半軸X軸Y軸坐標(biāo)軸6．α、、2α之間的關(guān)系若α終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若α終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。若α終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若α終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。第二課時任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式典型例題典型例題一一典型例題一一題型一：三角函數(shù)定義例1．已知角的終邊過點，求的四個三角函數(shù)值。解析：因為過點，所以，。當(dāng)；，。當(dāng)，；。變：已知角的終邊經(jīng)過點P（2，--3），求的正弦，余弦，正切值。例2．已知角的終邊上一點，且，求的值。解析：由題設(shè)知，，所以，得，從而，解得或。當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，。變1、已知點，在角的終邊上，求、、的值。變2、已知角的終邊經(jīng)過P(4,3),求2sin+cos的值。題型二：誘導(dǎo)公式例3．（2001全國文，1）tan300°+的值是（）A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋解析：答案：Btan300°＋＝tan(360°－60°)＋＝－tan60°＋＝1－。例4．化簡：（1）；（2）。解析：（1）原式；（2）①當(dāng)時，原式。②當(dāng)時，原式。點評：關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)是表示的整數(shù)倍與公式一中的整數(shù)有區(qū)別，所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類型，分別加以討論。變：已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，且α是第四象限角，計算：sin(2π－α)；(2)eq\f(sin[α＋(2n＋1)π]＋sin[α－(2n＋1)π],sin(α＋2nπ)·cos(α－2nπ))(n∈Z)．題型三：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式例5．已知，試確定使等式成立的角的集合。解析：∵，===。又∵，∴，即得或所以，角的集合為：或。例6．（1）證明：；（2）求證：。解析：（1）分析：證明此恒等式可采取常用方法，也可以運用分析法，即要證，只要證A·D=B·C,從而將分式化為整式證法一：右邊===證法二：要證等式，即為只要證2（）（）=即證：，即1=，顯然成立，故原式得證。點評：在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡和三角恒等式的證明時，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式，利用倒數(shù)關(guān)系比常規(guī)的“化切為弦”要簡潔得多。（2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有三種，即平方關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系。（2）證法一：由題義知，所以?！嘧筮?右邊?！嘣匠闪?。證法二：由題義知，所以。又∵，∴。證法三：由題義知，所以。，∴。點評：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時常用的方法有：（1）從一邊開始，證明它等于另一邊（如例5的證法一）；（2）證明左右兩邊同等于同一個式子（如例6）；（3）證明與原式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立。師生小結(jié)師生小結(jié)1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了：2.你學(xué)到了什么？第三課時任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式課堂檢測課堂檢測課堂檢測1．設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．角α的終邊上有一點P(a，a)(a≠0)，則cosα＝()A.eq\f(\r(2),2) B．－eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2) D．13．若－eq\f(π,2)<α<0，則點Q(cosα，sinα)位于()A．第一象限 www.ks5u.cB．第二象限C．第三象限 www.D．第四象限4．如果點P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．sin600°＋tan240°的值是()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)＋eq\r(3) D.eq\f(1,2)＋eq\r(3)6．設(shè)tan(5π＋α)＝m，則eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值為()A.eq\f(m＋1,m－1) B.eq\f(m－1,m＋1)C．－1 D．17．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosα＝eq\f(3,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A.eq\f(1,7) B．7 C．－eq\f(1,7) D．－78．已知sinx＝2cosx，則eq\f(sinx－cosx,sinx＋cosx)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)9．若角θ的終邊與168°角的終邊相同，則在0°～360°內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角的集合為________．10．已知α是第二象限角且tanα＝－eq\f(1,2)，則cosα＝__________.11．已知角α終邊經(jīng)過點P(x，－eq\r(2))(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(3),6)x，求sinα，tanα的值．12．已知角α終邊經(jīng)過點P(x，－eq\r(2))(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(3),6)x，求sinα＋eq\f(1,tanα)的值．13．設(shè)f(x)＝eq\f(cosx,cos30°－x)，求f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)的值．14．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)eq\b\lc\