2024屆云南省迪慶高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆云南省迪慶高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點(diǎn)E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（）A.當(dāng)x增大時(shí)，θ先增大后減小 B.當(dāng)x增大時(shí)，θ先減小后增大C.當(dāng)d增大時(shí)，θ先增大后減小 D.當(dāng)d增大時(shí)，θ先減小后增大2．如圖，在正方體中，（）A. B.C. D.3．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（，）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg4．若直線與平行，則m的值為（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.15．在中，，，，若該三角形有兩個(gè)解，則范圍是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數(shù)只有極大值，無極小值C.若與互為相反數(shù)，則的極值與的極值互為相反數(shù)D.若與互為倒數(shù)，則的極值與的極值互為倒數(shù)7．某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺(tái)）與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代號(hào)x01234年銷量y1015m3035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則表中m的值為（）A.22 B.20C.30 D.32.58．如圖，正四棱柱是由四個(gè)棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合的元素個(gè)數(shù)（）A.1 B.2C.4 D.89．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.10．設(shè)雙曲線的實(shí)軸長與焦距分別為2,4，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）.A. B.C. D.12．在等比數(shù)列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?個(gè)小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)，則兩船中有一艘在?？坎次粫r(shí)、另一艘船必須等待的概率為______.14．已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為________.15．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______16．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足：，，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍18．（12分）已知一張紙上畫有半徑為4圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過曲線C的右焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)為）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.20．（12分）已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，且（1）求拋物線的方程；（2）經(jīng)過焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)．若，分別是線段，的中點(diǎn)，求的最小值22．（10分）設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍，并證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，由函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對(duì)于C，D，當(dāng)x=0時(shí)，則，令，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，則，所以，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，對(duì)于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當(dāng)在下方時(shí)，，設(shè)，則對(duì)于給定的，為定值，此時(shí)設(shè)二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯(cuò)誤.當(dāng)在上方時(shí)，，則對(duì)于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對(duì)于給定的，隨的增大而減少，故選：C.2、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合向量加減法的幾何意義有，即可知所表示的向量.【詳解】∵，而，∴，故選：B3、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯(cuò)誤故選D4、C【解析】利用兩直線平行的判定有，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，可得或.經(jīng)驗(yàn)證不重合，滿足題意，故選：C.5、D【解析】根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】三角形有兩個(gè)解，，即.故選：D.6、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為該點(diǎn)處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過結(jié)合與互為相反數(shù)，若與互為倒數(shù)，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).【詳解】，，令，得，所以，因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，存在使，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即有極小值，無極大值，故B錯(cuò)誤；設(shè)為的極值點(diǎn)，則，且，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C正確，D錯(cuò)誤.7、B【解析】求出樣本中心的橫坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出樣本中心的縱坐標(biāo)，然后求解即可【詳解】因?yàn)?，代入回歸直線方程為，所以，，于是得，解得故選：B8、A【解析】用空間直角坐標(biāo)系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，為原點(diǎn)，正四棱柱的三個(gè)邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設(shè)，則AB所以集合，元素個(gè)數(shù)為1.故選：A.9、D【解析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計(jì)算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則，，，所以.故選：D10、C【解析】由已知可求出，即可得出漸近線方程.【詳解】因?yàn)椋?，所以的漸近線方程為.故選：C.11、A【解析】求出點(diǎn)坐標(biāo)，做出關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)，利用連點(diǎn)之間相對(duì)最短得出為的最小值【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，，到準(zhǔn)線的距離為2，故點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，把代入拋物線方程可得不妨設(shè)在第一象限，則，點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則，于是故的最小值為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再求出【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用幾何概型的面積型概率計(jì)算，作出邊長為24的正方形面積，求出部分的面積，即可求得答案.【詳解】設(shè)甲乙兩艘輪船到達(dá)的時(shí)間分為，則，記事件為兩船中有一艘在停靠泊位時(shí)、另一艘船必須等待，則，即∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意對(duì)概率模型的抽象成面積型.14、.【解析】設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，求得,結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:.故答案為：.15、【解析】分析可知，由可求得結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可知，.故答案為：.16、【解析】根據(jù)投影向量的知識(shí)求得正確答案.【詳解】空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）；（3）.【解析】(1)由可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可求得，由得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求得.(2)由(1)可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即得.(3)將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，構(gòu)造數(shù)列并判斷其單調(diào)性，即可求解作答.【小問1詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)時(shí)，，則，而當(dāng)時(shí)，，即得，因此，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，數(shù)列中，，，則數(shù)列是等差數(shù)列，而，，即有公差，則，所以數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別是：，.【小問2詳解】由(1)知，，則，則有，兩式相減得：，從而得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問3詳解】由(1)知，，依題意得對(duì)任意恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)，，為單調(diào)遞增數(shù)列，顯然有，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，即最大值是，因此，，所以實(shí)數(shù)k取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解18、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓；(2)分為l斜率存在和不存在時(shí)討論，斜率存在時(shí)，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示的面積，根據(jù)變量范圍可求面積的最大值﹒【小問1詳解】以O(shè)A中點(diǎn)G坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：∴可知，，設(shè)折痕與和分別交于M，N兩點(diǎn)，則MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，4為長軸的橢圓．∴M的軌跡方程C為；【小問2詳解】設(shè)，，則的周長為當(dāng)軸時(shí)，l的方程為，，，當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，由得，∵＞0，∴，，，令，則，，∵，∴，∴.綜上可知，S的取值范圍是19、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，利用求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值大于零，從而證得不等式成立.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，且，又與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因?yàn)椋?，要證，只需證當(dāng)時(shí)，即可.，易知在上單調(diào)遞增，又，所以，且，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以.【點(diǎn)睛】在證明不等式的過程中，直接證明困難時(shí)，可考慮證明和兩個(gè)不等式成立，從而證得成立.20、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）由，取倒數(shù)得到，再利用等差數(shù)列的定義求解；（2）由（1）得到，利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1詳解】證明：由，以及，顯然，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】由（1）可得，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和①所以②則由②-①可得：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.21、（1）；（2）8.【解析】(1)寫出拋物線E的準(zhǔn)線，利用拋物線定義求出p即可作答.(2)由(1)求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，并與拋物線E的方程聯(lián)立，由此求出C點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得D點(diǎn)坐標(biāo)，列式計(jì)算作答.小問1詳解】拋物線：的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義得：，解得，所以拋物線的方程為：.【小問2詳解】由(1)知，點(diǎn)，顯然直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線斜率為，則的斜率為，直線的方程為：，由消去y并整理得，設(shè)，則，于得線段PQ中點(diǎn)，同理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值是8.【點(diǎn)睛】結(jié)