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文檔簡介
北京西城八中少年班2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一道數(shù)學(xué)試題,甲、乙兩位同學(xué)獨立完成,設(shè)命題是“甲同學(xué)解出試題”,命題是“乙同學(xué)解出試題”,則命題“至少一位同學(xué)解出試題”可表示為()A. B.C. D.2.《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除(此處是指三面為等腰梯形,其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體)體積的求法.在如圖所示的羨除中,平面是鉛垂面,下寬,上寬,深,平面BDEC是水平面,末端寬,無深,長(直線到的距離),則該羨除的體積為()A. B.C. D.3.已知等差數(shù)列的前n項和為,公差,若(,),則()A.2023 B.2022C.2021 D.20204.已知集合,集合或,是實數(shù)集,則()A. B.C. D.5.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù),且,,則()A.4 B.2C.1 D.6.下列直線中,傾斜角為45°的是()A. B.C. D.7.已知集合A=()A. B.C.或 D.8.如圖,、分別為橢圓的左、右焦點,為橢圓上的點,是線段上靠近的三等分點,為正三角形,則橢圓的離心率為()A. B.C. D.9.某校高二年級統(tǒng)計了參加課外興趣小組的學(xué)生人數(shù),每人只參加一類,數(shù)據(jù)如下表:學(xué)科類別文學(xué)新聞經(jīng)濟(jì)政治人數(shù)400300100200若從參加課外興趣小組的學(xué)生中采用分層抽樣的方法抽取50名參加學(xué)習(xí)需求的問卷調(diào)查,則從文學(xué)、新聞、經(jīng)濟(jì)、政治四類興趣小組中抽取的學(xué)生人數(shù)分別為()A.15,20,10,5 B.15,20,5,10C.20,15,10,5 D.20,15,5,1010.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家,與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠,他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書,阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是:已知動點與兩定點的距離之比,那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓,其方程為,其中,定點為軸上一點,定點的坐標(biāo)為,若點,則的最小值為()A. B.C. D.11.閱讀如圖所示程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出的S的值等于()A.2 B.6C.14 D.3012.為了調(diào)查修水縣2019年高考數(shù)學(xué)成績,在高考后對我縣6000名考生進(jìn)行了抽樣調(diào)查,其中2000名文科考生,3800名理科考生,200名藝術(shù)和體育類考生,從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績作為一個樣本,這項調(diào)查宜采用的抽樣方法是()A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡單的隨機(jī)抽樣法二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù),則a的取值范圍是______14.=______.15.設(shè)實數(shù)x,y滿足,則的最小值為______16.已知數(shù)列滿足,則的最小值為__________.的前20項和為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線與直線相切.(1)求該拋物線的方程;(2)在軸的正半軸上,是否存在某個確定的點M,過該點的動直線與拋物線C交于A,B兩點,使得為定值.如果存在,求出點M的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.18.(12分)已知關(guān)于的不等式(1)若不等式的解集為,求的值(2)若不等式的解集為,求的取值范圍19.(12分)已知等差數(shù)列的前項和為,數(shù)列是等比數(shù)列,,,,.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)若,設(shè)數(shù)列的前項和為,求.20.(12分)如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形(及其內(nèi)部)以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的封閉圖形.(1)設(shè),,求這個幾何體的表面積;(2)設(shè)G是弧DF的中點,設(shè)P是弧CE上的一點,且.求異面直線AG與BP所成角的大小.21.(12分)已知圓,直線(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系;(2)若直線與圓交于不同兩點,且,求直線的方程22.(10分)已知直線,直線經(jīng)過點且與直線平行,設(shè)直線分別與x軸,y軸交于A,B兩點.(1)求點A和B的坐標(biāo);(2)若圓C經(jīng)過點A和B,且圓心C在直線上,求圓C的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.【詳解】“至少一位同學(xué)解出試題”的意思是“甲同學(xué)解出試題,或乙同學(xué)解出試題”.故選:D.2、C【解析】在,上分別取點,,使得,連接,,,把幾何體分割成一個三棱柱和一個四棱錐,然后由棱柱、棱錐體積公式計算【詳解】如圖,在,上分別取點,,使得,連接,,,則三棱柱是斜三棱柱,該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選:C【點睛】思路點睛:本題考查求空間幾何體的體積,解題思路是觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征,合理分割,將不規(guī)則幾何體體積的計算轉(zhuǎn)化為錐體、柱體體積的計算.考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力3、C【解析】根據(jù)題意令可得,結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式寫出,進(jìn)而得到關(guān)于的方程,解方程即可.【詳解】因為,令,得,又,,所以,有,解得.故選:C4、A【解析】先化簡集合,再由集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可【詳解】,或,故故選:A5、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為(),則由已知條件列方程組可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為(),由題意得,且,即,,因為,所以,,故選:D6、C【解析】由直線傾斜角得出直線斜率,再由直線方程求出直線斜率,即可求解.【詳解】由直線傾斜角為45°,可知直線的斜率為,對于A,直線斜率為,對于B,直線無斜率,對于C,直線斜率,對于D,直線斜率,故選:C7、A【解析】先求出集合,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算,即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合,所以.故選:A.8、D【解析】根據(jù)橢圓定義及正三角形的性質(zhì)可得到\,再在中運(yùn)用余弦定理得到、的關(guān)系,進(jìn)而求得橢圓的離心率【詳解】由橢圓的定義知,,則,因為正三角形,所以,在中,由余弦定理得,則,,故選:D【點睛】本題考查橢圓的離心率的求解,考查考生的邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力,屬于中等題.9、D【解析】利用分層抽樣的等比例性質(zhì)求抽取的樣本中所含各小組的人數(shù).【詳解】根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)知:文學(xué)小組抽取人數(shù)為人;新聞小組抽取人數(shù)為人;經(jīng)濟(jì)小組抽取人數(shù)為人;政治小組抽取人數(shù)為人;故選:D.10、D【解析】設(shè),,根據(jù)和求出a的值,由,兩點之間直線最短,可得的最小值為,根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè),,所以,由,所以,因為且,所以,整理可得,又動點M的軌跡是,所以,解得,所以,又,所以,因為,所以的最小值,當(dāng)M在位置或時等號成立.故選:D11、C【解析】模擬運(yùn)行程序,直到得出輸出的S的值.【詳解】運(yùn)行程序框圖,,,;,,;,,;,輸出.故選:C12、B【解析】考生分為幾個不同的類型或?qū)哟?,由此可以確定抽樣方法;【詳解】6000名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查,其中2000名文科考生,3800名理科考生,200名藝術(shù)和體育類考生,從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績作為一個樣本又文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會存在差異,采用分層抽樣法較好故選:B.【點睛】本題主要考查的是分層抽樣,掌握分層抽樣的有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】對求導(dǎo),由題設(shè)有恒成立,再利用導(dǎo)數(shù)求的最小值,即可求a的范圍.【詳解】由題設(shè),,又在R上的單調(diào)遞增函數(shù),∴恒成立,令,則,∴當(dāng)時,則遞減;當(dāng)時,則遞增.∴,故.故答案為:.14、【解析】根據(jù)被積函數(shù)()表示一個半圓,利用定積分的幾何意義即可得解.【詳解】被積函數(shù)()表示圓心為,半徑為2的圓的上半部分,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了利用定積分的幾何意義來求定積分,在用該方法求解時需注意被積函數(shù)的在給定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值符號,本題屬于中檔題.15、5【解析】畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)如圖所示:根據(jù)平移知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時,有最小值為5.故答案為:5.16、①②.【解析】由題設(shè)可得,應(yīng)用累加法求的通項公式,由基本不等式及確定的最小值,再應(yīng)用裂項求和法求的前20和.【詳解】由題設(shè),,∴,…,,又,∴將上式累加可得:,則,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,又,故最小,則或5,當(dāng)時,;當(dāng)時,;∴的最小值為.由上知:,∴前20項和為.故答案為:8,.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)直線與拋物線相切,所以有,可解得,得拋物線方程.(2)聯(lián)立直線與拋物線有,把目標(biāo)式坐標(biāo)化可得與無關(guān),可得.試題解析:(1)聯(lián)立方程有,,有,由于直線與拋物線相切,得,所以.(2)假設(shè)存在滿足條件的點,直線,有,,設(shè),有,,,,當(dāng)時,為定值,所以.18、(1);(2)【解析】(1)根據(jù)關(guān)于的不等式的解集為,得到和1是方程的兩個實數(shù)根,再利用韋達(dá)定理求解.(2)根據(jù)關(guān)于的不等式的解集為.又因為,利用判別式法求解.【詳解】(1)因為關(guān)于的不等式的解集為,所以和1是方程的兩個實數(shù)根,由韋達(dá)定理可得,得(2)因為關(guān)于的不等式的解集為因為所以,解得,故的取值范圍為【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解集和恒成立問題,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19、(1),;(2).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意列出表達(dá)式,解出公比和公差,再根據(jù)等差數(shù)等比列的通項公式的求法求出通項即可;(2)根據(jù)第一問得到前n項和,數(shù)列,分組求和即可.解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,∵,,,,∴,∴,,∴,.(2)由(1)知,,∴,∴.20、(1)(2)【解析】(1)將幾何體的表面積分成上下兩個扇形、兩個矩形和一個圓柱形側(cè)面的一部分組成,分別求出后相加即可;(2)先根據(jù)條件得到面,通過平移將異面直線轉(zhuǎn)化為同一個平面內(nèi)的直線夾角即可【小問1詳解】上下兩個扇形的面積之和為:兩個矩形面積之和為:4側(cè)面圓弧段的面積為:故這個幾何體的表面積為:【小問2詳解】如下圖,將直線平移到下底面上為由,且,,可得:面則而G是弧DF的中點,則由于上下兩個平面平行且全等,則直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角,即為所求,則則直線與直線的夾角為21、(1)直線與圓相交;(2)或【解析】(1)通過比較圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系,不難發(fā)現(xiàn)直線和圓相交.(2)根據(jù)垂徑定理,得到圓心與直線的距離,進(jìn)而列方程求解即可試題解析:(1)將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,所以圓的圓心,半徑,圓心到直線的距
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