福建省福州市閩侯八中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題含解析

福建省福州市閩侯八中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3C.4 D.53．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A. B.3C. D.24．定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對(duì)恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則A.B.C.D.5．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.6．函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上均為增函數(shù)，則的取值范圍是A. B.C. D.8．設(shè)命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，9．若，則下列不等式不能成立是（）A. B.C. D.10．已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥l于N.若△MNF是邊長為2的正三角形，則p=（）A. B.C.1 D.211．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．下列事件：①連續(xù)兩次拋擲同一個(gè)骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)；②某人買彩票中獎(jiǎng)；③從集合中任取兩個(gè)不同元素，它們的和大于2；④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90℃時(shí)會(huì)沸騰.其中是隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.14．如圖，在直棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.15．下列說法中，正確的有_________（填序號(hào)）.①“”是“方程表示橢圓”的必要而不充分條件；②若：，則：；③“，”的否定是“，”；④若命題“”為假命題，則命題一定是假命題；⑤是直線：和直線：垂直的充要條件.16．若復(fù)數(shù)滿足，則_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公司舉辦捐步公益活動(dòng)，參與者通過捐贈(zèng)每天運(yùn)動(dòng)步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈(zèng)給留守兒童．此活動(dòng)不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn)，還為公司獲得了相應(yīng)的廣告效益，據(jù)測算，首日參與活動(dòng)人數(shù)為5000人，以后每天人數(shù)比前一天都增加15%，30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平，假設(shè)此項(xiàng)活動(dòng)的啟動(dòng)資金為20萬元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人數(shù)精確到1人，收益精確到1元）（1）求活動(dòng)開始后第5天的捐步人數(shù)，及前5天公司的捐步總收益；（2）活動(dòng)開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余？18．（12分）已知橢圓，離心率為，短半軸長為1（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線，問：在橢圓C上是否存在點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線l的距離最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大距離；若不存在，請(qǐng)說明理由19．（12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓：（）上，，為橢圓左、右焦點(diǎn)．過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足，且點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)的圓（1）求橢圓方程；（2）過點(diǎn)，分別作平行直線和，設(shè)交橢圓于點(diǎn)，，交橢圓于點(diǎn)，，求四邊形的面積的最大值20．（12分）在如圖所示的多面體中，且，，，且，，且，平面，（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值21．（12分）已知函數(shù).（1）記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線C的焦點(diǎn)為、，實(shí)軸長為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且Q恰好為線段的中點(diǎn)，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計(jì)算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則，，，所以.故選：D2、C【解析】由已知得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，求出，再利用等比數(shù)列求和可得答案.【詳解】∵，∴，所以，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.3、D【解析】根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設(shè)與軸交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】分別構(gòu)造函數(shù)，，，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出【詳解】令，，，，恒成立，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，，，，恒成立，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，．綜上可得：，故選：D【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,本題考查的是利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題,通過題目中給定的不等式,分別構(gòu)造兩個(gè)不同的函數(shù)求導(dǎo)判出單調(diào)性從而比較函數(shù)值得大小關(guān)系．在討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，必須堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則．對(duì)于函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題，注意挖掘隱含在實(shí)際中的條件，避免忽略實(shí)際意義對(duì)定義域的影響5、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閏>d，所以，所以，所以B正確；時(shí)，不滿足選項(xiàng)A；時(shí)，，且，所以不滿足選項(xiàng)CD；故選：B6、B【解析】由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)的增長趨勢(shì)即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，排除A、D；又由指數(shù)函數(shù)增長趨勢(shì)，排除C.故選：B7、A【解析】由，函數(shù)在上均為增函數(shù)，恒成立，,設(shè)，則，又設(shè)，則滿足線性約束條件，畫出可行域如圖所示，由圖象可知在點(diǎn)取最大值為，在點(diǎn)取最小值.則的取值范圍是，故答案選A考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，簡單的線性規(guī)劃8、B【解析】全稱命題的否定時(shí)特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】命題，，則為“，”.故選：B9、C【解析】利用不等式的性質(zhì)可判斷ABD，利用賦值法即可判斷C，如.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，，故ABD正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤.故選：C.10、C【解析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：準(zhǔn)線l與橫軸的交點(diǎn)為，由拋物線的性質(zhì)可知：，因?yàn)槿簟鱉NF是邊長為2的正三角形，所以，，顯然，在直角三角形中，，故選：C11、D【解析】由題意轉(zhuǎn)化為，恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為，求函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域是，，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即在恒成立，所以，恒成立，即設(shè)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1，所以.故選：D12、B【解析】因?yàn)殡S機(jī)事件指的是在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，只需逐一判斷4個(gè)事件哪一個(gè)符合這種情況即可【詳解】解：連續(xù)兩次拋擲同一個(gè)骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，①是隨機(jī)事件某人買彩票中獎(jiǎng)這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，②是隨機(jī)事件從集合，2，中任取兩個(gè)元素，它們的和必大于2，③是必然事件在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到時(shí)才會(huì)沸騰，④是不可能事件故隨機(jī)事件有2個(gè)，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，，利用橢圓的定義、結(jié)合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結(jié)果【詳解】橢圓，可得，設(shè)，，可得，化簡可得：，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.14、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系后求相關(guān)的向量后再用夾角公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，故異面直線與所成角的余弦值為，故答案為:.15、①【解析】根據(jù)橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征可判斷①；注意到分式不等式分母不等于0可判斷②；由全稱命題的否定可判斷③；根據(jù)復(fù)合命題的真假可判斷④；由直線垂直的充要條件可判斷⑤.【詳解】①中，當(dāng)時(shí)，方程為，表示圓，若方程表示橢圓，則，解得或，故①正確；②中，，故為：，而，故②不正確；③中，“，”的否定應(yīng)為“，”，故③不正確；④中，若命題“”為假命題，有可能為真或?yàn)榧?，故④不正確；⑤中，，解得或，故是直線：和直線：垂直的充分不必要條件，故⑤不正確.故答案為：①16、【解析】設(shè)，則，利用復(fù)數(shù)相等，求出，的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】設(shè)，則，則由得，即，則，得，則，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，利用待定系數(shù)法，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）8745，1686元（2）37天【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果；（2）對(duì)活動(dòng)天數(shù)進(jìn)行討論，列出不等式求出的范圍即可.【小問1詳解】設(shè)第天的捐步人數(shù)為，則且，∴第5天的捐步人數(shù)為由題意可知前5天的捐步人數(shù)成等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為5000，公比為1.15，∴前5天的捐步總收益為元.【小問2詳解】設(shè)活動(dòng)第天后公司捐步總收益可以回收并有盈余，若，則，解得（舍）若，則，解得∴活動(dòng)開始后第37天公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余.18、（1）；（2）存在，最大距離為.，理由見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)為平行于直線且與橢圓相切的切線與直線最大距離，設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程根據(jù)求參數(shù)，進(jìn)而判斷點(diǎn)T的存在性，即可求最大距離.【小問1詳解】由題設(shè)知：且，又，∴，故橢圓C的方程為.小問2詳解】聯(lián)立直線與橢圓，可得：，∴，即直線與橢圓相離，∴只需求平行于直線且與橢圓相切的切線與直線最大距離即為所求，令平行于直線且與橢圓相切的直線為，聯(lián)立橢圓，整理可得：，∴，可得，當(dāng)，切線為，其與直線距離為；當(dāng)，切線為，其與直線距離為；綜上，時(shí)，與橢圓切點(diǎn)與直線距離最大為.19、（1）；（2）【解析】(1)設(shè)點(diǎn)和，由題意可得點(diǎn)的軌跡方程，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入T的方程計(jì)算出即可；(2)設(shè)的方程，和，聯(lián)立橢圓方程并消元得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，進(jìn)而求出和，根據(jù)平行線間的距離公式可得與的距離，得出所求四邊形面積的表達(dá)式，結(jié)合換元法和基本不等式化簡求值即可.【詳解】解：（1）設(shè)點(diǎn)，，則點(diǎn)，，，∵，∴，∴，∵點(diǎn)在橢圓上，∴，即為點(diǎn)的軌跡方程又∵點(diǎn)的軌跡是過的圓，∴，解得，所以橢圓的方程為（2）由題意，可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，得設(shè)，，則，且，所以，同理，又與的距離為，所以，四邊形的面積為，令，則，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立所以，四邊形的面積最大值為20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可得證；（2）求出平面與平面的法向量，再利用向量法即可得解.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，且，因?yàn)?，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，，所以；【小問2詳解】，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面和平面的夾角為，，所以平面和平面的夾角的余弦值為21、（1）在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減（2）證明見解析【解析】（1）先求導(dǎo)，然后對(duì)導(dǎo)數(shù)化簡整理后再解不等式即可得單調(diào)性；（2）要證明，通過求函數(shù)的極值可證明，要證，根據(jù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，再通過換元從求函數(shù)的最值上證明.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，令，得?所以時(shí)，或；時(shí)，.所以在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞減，此時(shí)不可能存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，.令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，.所以要使存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，即，解得.因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，則，即.不妨設(shè)，則，則，要證，即證，即證，即，.即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以成立.綜上有.【關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛】解決本題的第（1）問的關(guān)鍵是對(duì)導(dǎo)函數(shù)的分子因式分解；解決第（2）問的關(guān)鍵一是分步證明，二是研究函數(shù)的單調(diào)性，三是轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，四是換元思想的運(yùn)用.22、（1）（2）.【解析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合雙曲線定義即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)斜