福建省寧德市普通高中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

福建省寧德市普通高中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個(gè)結(jié)論：①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③2．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.3．已知點(diǎn)，若直線與線段沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.5．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個(gè)問題中戊所得為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢6．設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.7．若直線與圓相切，則（）A. B.或2C. D.或8．運(yùn)行如圖所示程序后，輸出的結(jié)果為（）A.15 B.17C.19 D.219．設(shè)，，，…，，，則（）A. B.C. D.10．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.11．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，則該數(shù)列的第7項(xiàng)為（）A.95 B.131C.139 D.14112．從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個(gè)紅燈的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，若，則S＝________.14．如圖，已知與所在平面垂直，且，，，點(diǎn)P、Q分別在線段BD、CD上，沿直線PQ將向上翻折，使D與A重合．則直線AP與平面ACQ所成角的正弦值為______15．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的公比為___________.16．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，若面積的最大值為，且離心率（1）求C的方程；（2）A，B為C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于M，N兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上18．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分別為AB和PC的中點(diǎn)（1）求證：MN//平面PAD；（2）求平面MND與平面PAD的夾角的余弦值19．（12分）已知三個(gè)條件①圓心在直線上；②圓的半徑為2；③圓過點(diǎn)在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）（1）已知圓過點(diǎn)且圓心在軸上，且滿足條件________，求圓的方程；（2）在（1）的條件下，直線與圓交于、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最小值及相應(yīng)的值20．（12分）已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值與最小值21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）求的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).22．（10分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A，B為橢圓C上位于x軸同側(cè)的兩點(diǎn)，且，共線，求四邊形的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設(shè)每個(gè)面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.故選：D.2、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B3、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經(jīng)過定點(diǎn).因?yàn)?，所?所以要使直線與線段沒有公共點(diǎn)，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A4、B【解析】由空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B5、D【解析】根據(jù)題意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題即可解決【詳解】解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，則，，，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為，整理上面兩個(gè)算式，得：，解得，故選：6、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故選：A7、D【解析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理可得：，所以或，故選：D.8、D【解析】根據(jù)給出的循環(huán)程序進(jìn)行求解，直到滿足，輸出.【詳解】，，，，，，，，，，，，所以.故選：D9、B【解析】根據(jù)已知條件求得的規(guī)律，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】，，，，，……，以此類推，，所以.故選：B10、A【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則——三角形法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.11、A【解析】利用已知條件，推出數(shù)列的差數(shù)的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】由題意可知，1，5，11，21，37，61，……，的差的數(shù)列為4，6，10，16，24，……，則這個(gè)數(shù)列的差組成的數(shù)列為：2，4，6，8，……，是一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)原數(shù)列的第7項(xiàng)為，則，解得，所以原數(shù)列的第7項(xiàng)為95，故選：A12、B【解析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【詳解】由各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，可得某人從甲地到乙地恰好遇到2次紅燈的概率：故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1007【解析】可證f（x）+f（1﹣x）＝1，由倒序相加法可得所求為1007對(duì)的組合，即1007個(gè)1，可得答案【詳解】解：∵函數(shù)f（x），∴f（x）+f（1﹣x）1故可得S＝f（）+f（）…+f（）＝1007×1＝1007,故答案為：1007點(diǎn)睛】本題考查倒序相加法求和，推斷出f（x）+f（1﹣x）＝1是解題的關(guān)鍵.14、##【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求出，再由空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，如圖以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，由，即，解得，所以，故，設(shè)為平面ACQ的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，由，即，所以，設(shè)直線AP與平面ACQ所成角為，則.故答案為：15、3【解析】由題設(shè)知等比數(shù)列公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比即可.【詳解】由題設(shè)，等比數(shù)列公比，且，所以，可得或（舍），故公比為3.故答案為：316、9【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：9.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+1，設(shè),用“設(shè)而不求法”表示出.由直線AM的方程為，直線BN的方程為，聯(lián)立，解得：，即可證明直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.【小問1詳解】由題意可得：，解得：,所以C的方程為.【小問2詳解】由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),設(shè)直線MN的方程為x=my+1.設(shè),由，消去y得：，所以.所以.因?yàn)橹本€AM的方程為，直線BN的方程為，二者聯(lián)立，有，所以，解得：，直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在平面中構(gòu)造與平行的直線，利用線線平行推證線面平行即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得兩個(gè)平面的法向量，利用向量法即可求得兩個(gè)平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取中點(diǎn)為，連接，如下所示：因?yàn)闉檎叫?，為中點(diǎn)，故可得//；在△中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故可得//；故可得//，則四邊形為平行四邊形，即//，又面面，故//面.【小問2詳解】因?yàn)槊婷妫士傻?，又底面為正方形，故可得，則兩兩垂直；故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：故可得，設(shè)平面的法向量為，又則，即，不妨取，則，則，取面的法向量為，故.設(shè)平面的夾角為，故可得，即平面MND與平面PAD的夾角的余弦值為.19、（1）條件選擇見解析，圓的方程為（2）的最小值為，相應(yīng)【解析】（1）選擇條件①或②或③，求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.（2）首先求得直線過定點(diǎn)，根據(jù)求得最短弦長(zhǎng)以及此時(shí)的值.【小問1詳解】若選條件①，由題意知，圓心是方程的解，解得，所以，設(shè)半徑為，則．則圓的方程為：若選條件②，設(shè)圓心，由題意知，所以圓心，半徑為，所以圓的方程為：若選條件③，設(shè)圓心，由題意知，即有，解得，圓心為，且半徑為，所以圓的方程為：【小問2詳解】由（1）圓的方程為：，圓心為，半徑.直線過定點(diǎn)，要使弦長(zhǎng)最短，，，，，直線的斜率，也即直線的斜率為，所以.，，所以弦長(zhǎng)最小值為20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減是；（2）函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最小值是.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，列表求函數(shù)的最值.【小問1詳解】，當(dāng)，解得：或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，當(dāng)，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減是；【小問2詳解】由（1）可得下表4單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最小值是21、（1）；（2）極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn).【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)即可【小問1詳解】函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，在處的切線方程：，即【小問2詳解】令，，解得，當(dāng)時(shí)，可得，即的單調(diào)遞減區(qū)間，或，可得，∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，，的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)22、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）延長(zhǎng)，交橢圓C于點(diǎn)．設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)對(duì)稱性求得四邊形的面積的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合