寶坻區(qū)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

寶坻區(qū)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A. B.C. D.2．等差數(shù)列中，，，則（）A.1 B.2C.3 D.43．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A. B.C. D.24．“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為軸上一點(diǎn)，為正三角形，若，的中點(diǎn)恰好在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.6．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為.點(diǎn)為上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且四條直線的斜率之積大于，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.7．從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)m,從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.8．已知隨機(jī)變量，且，，則為（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27189．已知直線，若圓C的圓心在軸上，且圓C與直線都相切，求圓C的半徑（）A. B.C.或 D.10．復(fù)數(shù)，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的值可以為（）A.2 B.C. D.011．已知拋物線=的焦點(diǎn)為F，M、N是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）A.8 B.4C. D.912．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____________.14．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別是該橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則的最小值為__________.15．設(shè)公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為______16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過且與圓相切的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則雙曲線的離心率___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線：，直線：.（1）若，求與的距離；（2）若，求與的交點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)E在橢圓C上，且，，.（1）求橢圓C的方程：（2）直線l過點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)P恰為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.19．（12分）已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù))（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）有1000人參加了某次垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取100人，將這100人的此次競(jìng)賽的分?jǐn)?shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計(jì)總體1000人中競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)總體1000人的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù).21．（12分）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個(gè)點(diǎn)、，并修建兩段直線型道路、.規(guī)劃要求，線段、上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑.已知點(diǎn)到直線的距離分別為和（為垂足），測(cè)得，，（單位：百米）.（1）若道路與橋垂直，求道路的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，點(diǎn)能否選在處？并說明理由.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，也是PF的中點(diǎn)．，（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程E；（2）過點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求直線MN過定點(diǎn)R的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，又，則故選D.點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列等比數(shù)列；（2）等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.2、B【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】在等差數(shù)列中，因，，而，于是得，解得，所以.故選：B3、D【解析】由已知條件可得，，…，即是周期為3的數(shù)列，即可求.【詳解】由題設(shè)，知：，，，…，∴是周期為3的數(shù)列，而的余數(shù)為1，∴.故選：D.4、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：由，得，反之不成立，如，，滿足，但是不滿足，故“”是“”的充分不必要條件故選：B5、A【解析】根據(jù)題意得，取線段的中點(diǎn)，則根據(jù)題意得，，根據(jù)橢圓的定義可知，然后解出離心率的值.【詳解】因?yàn)闉檎切?，所以，取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以，得，所以橢圓的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】求解離心率及其范圍的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵在于畫出圖形，根據(jù)題目中的幾何條件列出關(guān)于，，的齊次式，然后得到關(guān)于離心率的方程或不等式求解6、A【解析】設(shè)，求得，得到，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由橢圓的方程，可得，設(shè)，則，由，因?yàn)樗臈l直線的斜率之積大于，即，所以，則離心率，又因?yàn)闄E圓離心率，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A.7、A【解析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理求得所有的)共有12個(gè)，滿足兩個(gè)向量垂直的共有2個(gè)，利用古典概型公式可得結(jié)果.【詳解】集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，有3種方法，所以，所有的共有個(gè)，由向量與向量垂直,可得，即,故滿足向量與向量垂直的共有2個(gè)：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查分步計(jì)數(shù)乘法原理的應(yīng)用、向量垂直的性質(zhì)以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時(shí)，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個(gè)基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.8、C【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求概率.【詳解】由題設(shè)可得，，故選：C.9、C【解析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離相等列方程，求得圓心坐標(biāo)并求得圓的半徑.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則或，所以圓的半徑為或.故選：C10、B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限時(shí)，則有，可得，結(jié)合選項(xiàng)可知，B正確故選：B11、B【解析】過分別作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則由拋物線的定義可得，再過MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，然后利用梯形的中位線定理可求得結(jié)果【詳解】拋物線=的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為直線如圖，過分別作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則由拋物線的定義可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以，所以線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4，故選：B12、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接根據(jù)已知寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【詳解】解：由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14、【解析】由題可設(shè)，則，然后利用數(shù)量積坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由題可得，，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AB上，所以，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.15、##0.4【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差d，進(jìn)而寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，再求目標(biāo)式的最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當(dāng)時(shí)目標(biāo)式有最小值為.故答案為：16、2【解析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)，可得，在中，利用余弦定理構(gòu)造齊次式，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)，由，∴，∵為中點(diǎn)，則為中位線，∴，，中，，，，∴.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】分析：（1）先根據(jù)求出k的值，再利用平行線間的距離公式求與的距離.(2)先根據(jù)求出k的值，再解方程組得與的交點(diǎn)的坐標(biāo).詳解：（1）若，則由，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線重合，不符合，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，所以.（2）若，則由，得.所以兩直線方程為：，：，聯(lián)立方程組，解得，所以與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查直線的位置關(guān)系和距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算能力.(2)直線與直線平行，則且兩直線不重合.直線與直線垂直，則.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義可求出，由結(jié)合勾股定理可求出，最后根據(jù)的關(guān)系求出，即可求出橢圓方程；（2）分直線的斜率存在或不存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立，利用中點(diǎn)的關(guān)系求出即可.【小問1詳解】∵點(diǎn)E在橢圓C上，∴，即.在中，，∴橢圓的半焦距.∵，∴橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，若直線的斜率不存在，顯然不符合題意.從而可設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，將直線的方程代入橢圓的方程，得，則.∵P為線段AB的中點(diǎn)，∴，解得.故直線的方程為，即（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）.19、（1）答案見解析（2）【解析】（1），進(jìn)而分，，三種情況討論求解即可；（2）由題意知在上恒成立，故令，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，注意到使，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)隱零點(diǎn)求解即可.【小問1詳解】解：①，在上單調(diào)增；②，令，單調(diào)減單調(diào)增；③，單調(diào)增單調(diào)減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】解：由題意知在上恒成立，令，，單調(diào)遞增∵，∴使得，即單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，令，則在上單調(diào)增，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是20、（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，能求出圖中的值；（2）先求出競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的頻率，由此能估計(jì)總體1000人中競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)；（3）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能估計(jì)總體1000人的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù)【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得圖中的值為0.040（2）競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的頻率為：，估計(jì)總體1000人中競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)為（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)總體1000人的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為：【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率、頻數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平21、（1）15（百米）（2）點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求，理由見解析【解析】（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得圓及直線的方程，進(jìn)而得解.（2）不妨點(diǎn)選在處，求方程并求其與圓的交點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)不符合條件，得結(jié)論.【小問1詳解】如圖，過作，垂足為.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉閳A的直徑，，所以圓的方程為.因?yàn)?，，所以，故直線的方程為，則點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為3，從而，，直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為，直線的方程為.令，得，，所以.因此道路的長(zhǎng)為15（百米）.【小問2詳解】若點(diǎn)選在處，連結(jié)，可求出點(diǎn)，又，所以線段.由解得或，故不妨取，得到在線段上的點(diǎn)，因?yàn)?，所以線段上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于圓的半徑5.因此點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求.22、（1）（2）【解析】（1）由圖中的幾何關(guān)系可知,故可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，但不能和原點(diǎn)重合，即可直接寫出拋物線的方程；（2）設(shè)出直線AB的方程，把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線方程，兩式作差后，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線MN