福建省莆田市仙游第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

福建省莆田市仙游第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，則選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.2．如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（）A. B.C. D.3．已知二次函數(shù)交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).若圓過，，三點(diǎn)，則圓的方程是（）A. B.C. D.4．如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種5．已知橢圓(a>b>0)的離心率為，則＝（）A. B.C. D.6．已知是虛數(shù)單位，若，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.3 B.－3iC.-3 D.3i7．將正整數(shù)1，2，3，4，…按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第19行從左往右數(shù)第5個(gè)數(shù)是（）A.381 B.361C.329 D.4008．已知長方體中，，，則直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.9．若函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若直線與圓相切，則（）A. B.或2C. D.或11．若，則下列不等式不能成立是（）A. B.C. D.12．已知，，，其中，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A、B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后又回到原點(diǎn)P.若光線QR經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，則___________.14．命題為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________.15．如圖，在直三棱柱中，，為中點(diǎn)，則平面與平面夾角的正切值為___________.16．已知，，，，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，求的最小值，并求此時(shí)的值.18．（12分）寫出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題：（1）若，則；（2）已知為實(shí)數(shù)，若，則19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（1）當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求線段的長度；（2）是否存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.20．（12分）已知拋物線C：，直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，其中.（1）若，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）是否存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，若存在，請求出正數(shù)m，若不存在，請說明理由.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體有，進(jìn)而可知與向量相等的表達(dá)式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B2、A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，分析可知、、三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，分析可知，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)闉?、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，可得且，因?yàn)椋?、、三點(diǎn)共線，設(shè)、，易知點(diǎn)，，，由題意可知，，可得，若直線與軸重合，設(shè)，，則，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.3、C【解析】由已知求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設(shè)圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因?yàn)閳A過，，三點(diǎn)，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設(shè)圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C4、B【解析】按涂色順序進(jìn)行分四步，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得解.【詳解】按涂色順序進(jìn)行分四步：涂A部分時(shí)，有4種涂法；涂B部分時(shí)，有3種涂法；涂C部分時(shí)，有2種涂法；涂D部分時(shí)，有2種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.5、D【解析】由離心率得，再由轉(zhuǎn)化為【詳解】因?yàn)?，所?a2＝9b2，所以故選：D.6、C【解析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】由題得，所以復(fù)數(shù)z的虛部為－3.故選：C.7、C【解析】觀察規(guī)律可知，從第一行起，每一行最后一個(gè)數(shù)是連續(xù)的完全平方數(shù)，據(jù)此容易得出答案.【詳解】由圖中數(shù)字排列規(guī)律可知：第1行從左往右最后1個(gè)數(shù)是，第2行從左往右最后1個(gè)數(shù)是，第3行從左往右最后1個(gè)數(shù)是，……第18行從左往右最后1個(gè)數(shù)為，第19行從左往右第5個(gè)數(shù)是故選：C.8、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與所成角為，由求解.【詳解】∵長方體中，，，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，則，，，，所以，，設(shè)直線與所成角為，則，∴直線和夾角余弦值是.故選：C.9、B【解析】函數(shù)既有極大值又有極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在定義域上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).【詳解】因?yàn)榧扔袠O大值又有極小值，且，所以有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)解，所以，且，解得，且.故選:B.10、D【解析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理可得：，所以或，故選：D.11、C【解析】利用不等式的性質(zhì)可判斷ABD，利用賦值法即可判斷C，如.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，，故ABD正確；對于C，若，則，故C錯(cuò)誤.故選：C.12、C【解析】先令函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并作出函數(shù)的圖像，由函數(shù)的單調(diào)性判斷，再由對稱性可得.【詳解】由，則，同理，，令，則，當(dāng)；當(dāng)，∴在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即可得，又，，由圖的對稱性可知，.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得△的內(nèi)心坐標(biāo)，根據(jù)△內(nèi)心以及關(guān)于的對稱點(diǎn)三點(diǎn)共線，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，如下所示：則，不妨設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，且，整理得，解得，即點(diǎn)，又；設(shè)△的內(nèi)切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內(nèi)心坐標(biāo)為，由及△的內(nèi)心三點(diǎn)共線，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.14、【解析】依據(jù)題意列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】命題為假命題，則為真命題則判別式，解之得故答案為：15、【解析】由條件可得均為等腰直角三角形，從而，先證明平面，從而，即得到為平面與平面夾角的平面角，從而可求解.【詳解】由，則，則在直三棱柱中,平面，又平面,則又，所以平面平面,所以由由條件可得均為等腰直角三角形，則所以，即,由所以平面,又平面所以，即為平面與平面夾角的平面角.在直角中,所以故答案為：16、【解析】由題可得，求導(dǎo)可得的單調(diào)性，將的最小值代入，即得.【詳解】∵，，使得成立，∴由，得，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）;（2），.【解析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化簡函數(shù)的解析式，利用基本不等式可以求出函數(shù)的最小值.【小問1詳解】由題意知：，解得【小問2詳解】由（1）知，∴，由對勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，∴，即當(dāng)，函數(shù)的最小值為18、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）（2）根據(jù)逆命題、否命題以及逆否命題的定義作答即可；【小問1詳解】解：逆命題：若，則；否命題：若，則；逆否命題：若，則【小問2詳解】解：逆命題：已知為實(shí)數(shù)，若，則；否命題：已知為實(shí)數(shù)，若或，則；逆否命題：已知實(shí)數(shù)，若，則或19、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因?yàn)閷厼槎ㄖ担脏忂呑钚r(shí)線面角最大；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角列方程可得.【小問1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因?yàn)镻H為定值，所以當(dāng)NH最小時(shí)線面角最大，因?yàn)楫?dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，,此時(shí)NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時(shí).【小問2詳解】以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設(shè)=，，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點(diǎn)為A1B1的四等分點(diǎn)，且A1P=.20、（1）或（2）存在，【解析】（1）確定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合拋物線方程，求得答案;（2）假設(shè)存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，可推得，由此可設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入到中，可得結(jié)論.【小問1詳解】依題意得為的焦點(diǎn),故，解得,故，則∴點(diǎn)的坐標(biāo)或;【小問2詳解】假設(shè)存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),∴，設(shè)直線：，，，由,得,則，,∵，,∴,解得或（舍去）所以存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).21、（1）（2）是，證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點(diǎn)可求解；（2）根據(jù)題意分別設(shè)出直線MA、MB，與橢圓聯(lián)立后得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過斜率公式計(jì)算即可證明.【小問1詳解】由，得，所以a2=9b2①，又橢圓過點(diǎn)，則②，由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)直線MA的斜率為k，點(diǎn)，因?yàn)椤螦MB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，則直線MB的斜率為-k.聯(lián)立直線MA與橢圓方程，得整