福建省廈門市英才學校2023-2024學年高二數學第一學期期末綜合測試試題含解析

福建省廈門市英才學校2023-2024學年高二數學第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點，和直線，若在坐標平面內存在一點P，使，且點P到直線l的距離為2，則點P的坐標為（）A.或 B.或C.或 D.或2．已知，，若不等式恒成立，則正數的最小值是（）A.2 B.4C.6 D.83．設等比數列，有下列四個命題：①{a②是等比數列；③是等比數列；④lgan其中正確命題的個數是（）A.1 B.2C.3 D.44．已知直線過點且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.5．已知數列是以1為首項，2為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，設，，則當時，n的最大值是（）A.8 B.9C.10 D.116．對任意實數，在以下命題中，正確的個數有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A. B.C. D.7．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（）A. B.C. D.8．命題“”為真命題一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.9．已知F為橢圓C：=1(a>b>0)右焦點，O為坐標原點，P為橢圓C上一點，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（）A. B.C.-1 D.-110．已知雙曲線的兩個焦點為，，是此雙曲線上的一點，且滿足，，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.11．《周髀算經》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問立夏日影長為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸12．已知等比數列的各項均為正數，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數、滿足，則的最大值為__________14．已知函數，則_________15．已知直線：和：，且，則實數__________，兩直線與之間的距離為__________16．已知圓的圓心與點關于直線對稱，直線與圓相交于、兩點，且，則圓的方程為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過，，三點，求橢圓E的標準方程18．（12分）已知數列的前n項積，數列為等差數列，且，（1）求與的通項公式；（2）若，求數列的前n項和19．（12分）曲線與曲線在第一象限的交點為.曲線是()和()組成的封閉圖形.曲線與軸的左交點為、右交點為.（1）設曲線與曲線具有相同的一個焦點，求線段的方程；（2）在（1）的條件下，曲線上存在多少個點，使得，請說明理由.（3）設過原點的直線與以為圓心的圓相切，其中圓的半徑小于1，切點為.直線與曲線在第一象限的兩個交點為..當對任意直線恒成立，求的值.20．（12分）已知數列的前項的和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.21．（12分）（1）解不等式；（2）若關于x的不等式解集為R，求實數k的取值范圍.22．（10分）（1）已知雙曲線的離心率為2，求E的漸近線方程；（2）已知F是拋物線的焦點，是C上一點，且，求C的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設點的坐標為，根據，點到直線的距離為，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】解：設點的坐標為，線段的中點的坐標為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點在直線上，∴，又點到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點的坐標為或，故選：C2、B【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到關于的不等式，求解，即可得出結論.【詳解】，因為不等式恒成立，所以，即，解得，所以.故選:B.【點睛】本題考查基本不等式的應用，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題.3、C【解析】根據等比數列的性質對四個命題逐一分析，由此確定正確命題的個數.【詳解】是等比數列可得（為定值）①為常數，故①正確②，故②正確③為常數，故③正確④不一定為常數，故④錯誤故選C.【點睛】本小題主要考查等比數列的性質，屬于基礎題.4、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點斜式即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即，故選：C.5、B【解析】先求出數列和的通項公式，然后利用分組求和求出，再對進行賦值即可求解.【詳解】解：因為數列是以1為首項，2為公差的等差數列所以因為是以1為首項，2為公比的等比數列所以由得：當時，即當時，當時，所以n的最大值是.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用分組求和求出，再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.6、B【解析】直接利用不等式的基本性質判斷.【詳解】①因為，則，根據不等式性質得，故正確；②當時，，而，故錯誤；③因為，所以，即，故正確；④當時，，故錯誤；故選：B7、B【解析】根據題意得到得到答案.【詳解】橢圓焦點在軸上，且，故.故選：B.8、B【解析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關系判斷【詳解】命題“”為真命題，則≤1,只有是的真子集,故選項B符合題意故選：B9、D【解析】記橢圓的左焦點為，在中，通過余弦定理得出，，根據橢圓的定義可得，進而可得結果.【詳解】記橢圓的左焦點為，在中，可得，在中，可得，故，故，故選：D.10、A【解析】由，可得進一步求出，由此得到，則該雙曲線的方程可求【詳解】，即，則．即，則該雙曲線的方程是：故選：A【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的方程，常用待定系數法，先定式（根據已知確定焦點所在的坐標軸，設出曲線的方程），再定式（根據已知建立方程組解方程組得解）.11、D【解析】結合等差數列知識求得正確答案.【詳解】設冬至日影長，公差為，則，所以立夏日影長丈，即四尺五寸.故選：D12、B【解析】利用對數的運算性質，結合等比數列的性質可求得結果.【詳解】是各項均為正數的等比數列，，，，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當即時等號成立.故答案為【點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學生的計算能力.14、【解析】利用函數的解析式由內到外逐層計算可得的值.【詳解】，，因此，.故答案為：.15、①.-4；②.2【解析】根據兩直線平行斜率相等求解參數即可；運用兩平行線間的距離公式計算兩直線之間的距離可得出答案.【詳解】解：直線和，，，解得；∴兩直線與間的距離是：.故答案為：；2.16、【解析】利用對稱條件求出圓心C的坐標，借助直線被圓所截弦長求出圓半徑即可寫出圓的方程.【詳解】設圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點C到直線的距離，因圓截直線所得弦AB長為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】分橢圓的焦點在軸上與焦點在軸上，兩種情況討論，利用待定系數法求出橢圓方程；【詳解】解：（1）當橢圓的焦點在軸上時，設其方程為()，則又點C在橢圓上，得，解得，所以橢圓E的方程為（2）當橢圓的焦點在軸上時，設其方程為()，則又點C在橢圓上，得，解得，這與矛盾綜上可知，橢圓的方程為18、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數列的公差為，由等差數列的通項公式可求得；（2）運用錯位相減法可求得.【小問1詳解】解：因為數列的前n項積，所以，所以，兩式相除得，因為數列為等差數列，且，，所以，即，所以數列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.19、（1）或；（2）一共2個，理由見解析；（3）答案見解析.【解析】（1）先求曲線的焦點，再求點的坐標，分焦點為左焦點或右焦點，求線段的方程；（2）分點在雙曲線或是橢圓的曲線上，結合條件，說明點的個數；（3）首先設出直線和圓的方程，利用直線與圓相切，以及直線與曲線相交，分別表示，并計算得到的值.【詳解】（1）兩個曲線相同的焦點，，解得：，即雙曲線方程是，橢圓方程是，焦點坐標是,聯(lián)立兩個曲線，得，，即，當焦點是右焦點時，線段的方程當焦點時左焦點時，，，線段的方程（2），假設點在曲線上單調遞增∴所以點不可能在曲線上所以點只可能在曲線上，根據得可以得到當左焦點，，同樣這樣的使得不存在所以這樣的點一共2個（3）設直線方程，圓方程為直線與圓相切，所以，，根據得到補充說明：由于直線的曲線有兩個交點，受參數的影響，蘊含著如下關系，∵，當，存在，否則不存在這里可以不需討論，因為題目前假定直線與曲線有兩個交點的大前提，當共焦點時存在不存在.【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓和雙曲線相交的綜合應用，本題的關鍵是曲線由橢圓和雙曲線構成，所以研究曲線上的點時，需分兩種情況研究問題.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據，并結合等比數列的定義即可求得答案；（2）結合（1），并通過錯位相減法即可求得答案.【小問1詳解】當時，，當時，，是以2為首項，2為公比的等比數列，.【小問2詳解】，…①…②①-②得，.21、（1）；（2）.【解析】（1）直接求解不含參數的一元二