福建省長(zhǎng)泰縣一中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題含解析

福建省長(zhǎng)泰縣一中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（）A.1 B.2C.3 D.52．“﹣3＜m＜4”是“方程表示橢圓”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要3．2021年6月17日9時(shí)22分，搭載神舟十二號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十二運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射．此后，神舟十二號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對(duì)接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個(gè)月，開(kāi)展艙外維修維護(hù)，設(shè)備更換，科學(xué)應(yīng)用載荷等一系列操作．已知神舟十二號(hào)飛船的運(yùn)行軌道是以地心為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R，其近地點(diǎn)與地面的距離大約是，遠(yuǎn)地點(diǎn)與地面的距離大約是，則該運(yùn)行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B.C. D.4．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C.與相等 D.5．已知雙曲線：，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若直線與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．和的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)分別為（）A.， B.2，C.， D.1，7．在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.8．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由假設(shè)證明時(shí)，不等式左邊需增加的項(xiàng)數(shù)為（）A. B.C. D.9．拋物線型太陽(yáng)灶是利用太陽(yáng)能輻射的一種裝置．當(dāng)旋轉(zhuǎn)拋物面的主光軸指向太陽(yáng)的時(shí)候，平行的太陽(yáng)光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過(guò)反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過(guò)，形成太陽(yáng)光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)在它的主光軸上．如圖所示的太陽(yáng)灶中，灶深CD即焦點(diǎn)到灶底（拋物線的頂點(diǎn)）的距離為1m，則灶口直徑AB為（）A.2m B.3mC.4m D.5m10．已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2 B.－2C. D.11．中國(guó)明代商人程大位對(duì)文學(xué)和數(shù)學(xué)頗感興趣，他于60歲時(shí)完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》．這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書A.76石 B.77石C.78石 D.79石12．某地為響應(yīng)總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開(kāi)展“青山綠水”工程，造福于民，擬對(duì)該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測(cè)量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測(cè)得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線距離約為（參考數(shù)據(jù)）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用1，2，3，4排成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其中1和2不能相鄰的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________（用數(shù)字作答）.14．已知點(diǎn)在拋物線上，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____15．若無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.16．某學(xué)校為了獲得該校全體高中學(xué)生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調(diào)查了55名男生和45名女生的每周鍛煉時(shí)間，通過(guò)計(jì)算得到男生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為8小時(shí)，方差為6；女生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為6小時(shí)，方差為8．根據(jù)所有樣本的方差來(lái)估計(jì)該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求直線與所成角的正切值.18．（12分）雙曲線的離心率為2，經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)垂直于x軸的直線被C所截得的弦長(zhǎng)為12.（1）求C的方程；（2）設(shè)A，B是C上兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，求直線AB的方程.19．（12分）在水平桌面上放一只內(nèi)壁光滑的玻璃水杯，已知水杯內(nèi)壁為拋物面型（拋物面指拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的面），拋物面的軸截面是如圖所示的拋物線.現(xiàn)有一些長(zhǎng)短不一、質(zhì)地均勻的細(xì)直金屬棒，其長(zhǎng)度均不小于拋物線通徑的長(zhǎng)度（通徑是過(guò)拋物線焦點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的弦），若將這些細(xì)直金屬棒，隨意丟入該水杯中，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)細(xì)棒重心最低時(shí)，達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)細(xì)棒交匯于一點(diǎn).（1）請(qǐng)結(jié)合你學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，猜想細(xì)棒交匯點(diǎn)的位置；（2）以玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系.設(shè)玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線方程為，將細(xì)直金屬棒視為拋物線的弦，且弦長(zhǎng)度為，以細(xì)直金屬棒的中點(diǎn)為其重心，請(qǐng)從數(shù)學(xué)角度解釋上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.20．（12分）已知橢圓：（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍（1）求橢圓的方程；（2）已知直線不過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)，從下面①②中選取一個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立.①直線的斜率分別為，則；②直線過(guò)定點(diǎn).21．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值.22．（10分）如圖，在三棱錐A-BCD中，O為線段BD中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為1正三角形，且OA⊥BC，AB=AD（1）證明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若|OA|=1，，求平面BCE與平面BCD的夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，以及運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】，，所以，所以故選：C2、B【解析】求出方程表示橢圓的充要條件是且,由此可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓的充要條件是,解得且,所以“﹣3＜m＜4”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了由方程表示橢圓求參數(shù)的范圍,考查了充要條件和必要不充分條件,本題易錯(cuò)點(diǎn)警示:漏掉,本題屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】以運(yùn)行軌道長(zhǎng)軸所在直線為x軸，地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運(yùn)行軌道長(zhǎng)軸所在直線為x軸，地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，，所以，，所以橢圓的離心率故選：A4、D【解析】利用互斥事件和對(duì)立事件的定義分析判斷即可【詳解】因?yàn)閽仈S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對(duì)立，也不相等，，所以ABC錯(cuò)誤，D正確，故選：D5、D【解析】以雙曲線的兩條漸近線作為邊界條件，即可保證直線與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn).【詳解】雙曲線：的兩條漸近線為和兩漸近線的傾斜角分別為和由經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，可知直線的傾斜角取值范圍為，故直線的斜率的取值范圍是故選：D6、C【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念分別求值即可.【詳解】和的等差中項(xiàng)為，和的等比中項(xiàng)為.故選：C.7、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長(zhǎng)弦，最短弦為過(guò)點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長(zhǎng)，可得面積.【詳解】圓化簡(jiǎn)為可得圓心為易知過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑，即而最短弦為過(guò)與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D8、C【解析】當(dāng)成立，寫出左側(cè)的表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，寫出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，觀察計(jì)算即可【詳解】從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為，因此增加的項(xiàng)數(shù)是，故選：C9、C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)是拋物線的焦點(diǎn)，求得拋物線的方程，進(jìn)而求得的長(zhǎng).【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，O與C重合，設(shè)拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點(diǎn)，即，可得，所以拋物線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.10、B【解析】直接利用直線垂直公式計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線垂直計(jì)算參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.11、C【解析】設(shè)出未知數(shù)，列出方程組，求出答案.【詳解】設(shè)甲、乙、丙分得的米數(shù)為x+d，x，x-d，則，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）故選：C12、C【解析】應(yīng)用正弦定理有，結(jié)合已知條件即可求A，B間的直線距離.【詳解】由題設(shè)，，在△中，，即，所以米.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用插空法計(jì)算出正確答案.【詳解】先排，形成個(gè)空位，然后將排入，所以符合題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故答案為：14、【解析】由拋物線定義可得，由此可知當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意得：拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為作，垂直于準(zhǔn)線，如下圖所示：由拋物線定義知：（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）即的最小值為，此時(shí)為與拋物線的交點(diǎn)故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)距離之和最小的相關(guān)問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用拋物線定義確定最值取得的位置.15、【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，根據(jù)，解不等式得到答案.【詳解】依題意有圓心到直線的距離，即，又無(wú)論取何值，，故，故.故答案：16、【解析】先求出100名學(xué)生每周鍛煉的平均時(shí)間，然后再求這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差，從而可估計(jì)該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為小時(shí)，因?yàn)?5名男生每周鍛煉時(shí)間的方差為6；45名女生每周鍛煉時(shí)間的方差為8，所以這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差為，所以該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差約為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）分別證明∥平面，∥平面，最后利用面面平行的判定定理證明平面∥平面即可；（2）由∥得即為直線與所成角，在直角△即可求解.【小問(wèn)1詳解】∵∥且EN平面MNE,BC平面MNE,∴BC∥平面MNE,又∵∥且EM平面MNE,平面MNE,∴∥平面MNE又∵,∴平面∥平面,【小問(wèn)2詳解】由（1）得∥,∴為直線MN與所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,在△中，，，∴.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得的方程.（2）結(jié)合點(diǎn)差法求得直線的斜率，從而求得直線的方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镃的離心率為2，所以，可得.將代入可得，由題設(shè).解得，，，所以C的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，則，.因此，即.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，，從而，于是直線AB的方程是.19、（1）拋物線的焦點(diǎn)或拋物面的焦點(diǎn)（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）結(jié)合通徑的特點(diǎn)可猜想得到結(jié)果；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，只要過(guò)點(diǎn)，則中點(diǎn)到的距離最小，根據(jù)，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)通徑的特征，知通徑會(huì)經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)，則可猜想細(xì)棒交匯點(diǎn)位置為：拋物線焦點(diǎn)或拋物面的焦點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】解釋上述現(xiàn)象，即證：當(dāng)（為拋物線通徑）時(shí)，只要過(guò)點(diǎn)，則中點(diǎn)到的距離最小；如圖所示，記點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是，，由拋物線定義知：，當(dāng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到準(zhǔn)線距離取得最小值，最小值為的一半，此時(shí)點(diǎn)到軸距離最小.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)到軸距離最小問(wèn)題的證明，通過(guò)拋物線的定義可證得結(jié)論.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）選①證②，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理可得，，然后由可算出，即可證明，選②證①，設(shè)：，，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理可得，，然后可算出.【小問(wèn)1詳解】由條件可得，解得所以橢圓方程為【小問(wèn)2詳解】選①證②：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，由得，則，由得即，即所以代入所以所以解得：（舍去），所以直線過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)：所以，由得所以，即，解得所以直線（不符合題意，舍去）綜上：直線過(guò)定點(diǎn)選②證①：由題意直線的斜率存在，設(shè)：由得則，所以.21、（1）（2）【解析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)有焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，從而即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符