2024屆新教材一輪復(fù)習(xí)北師大版 　等比數(shù)列 課件（34張）

第3節(jié)等比數(shù)列[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.必備知識·課前回顧回顧教材,夯實四基2同一個常數(shù)公比(2)等比中項:如果a,G,b成等比數(shù)列,那么

叫做a與b的等比中項.即G是a與b的等比中項?a,G,b成等比數(shù)列?

.GG2=ab2.等比數(shù)列的有關(guān)公式等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q.(1)通項公式:an=

.a1qn-13.等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣:an=am·

(n,m∈N*).qn-map·aq(4)在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk.(5)在等比數(shù)列{an}中,若Sn為其前n項和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列(n為偶數(shù)且q≠-1).(1)任意兩個實數(shù)不一定都有等比中項,只有同號的兩個非零實數(shù)才有等比中項.DAD2.(多選題)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是(

)3.在等比數(shù)列{an}中,若a3=1,a11=25,則a7等于(

)A.5B.-5C.±5D.±25AA.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1B關(guān)鍵能力·課堂突破類分考點,落實四翼等比數(shù)列的基本量運算1.(多選題)已知等比數(shù)列{an}的公比為q,a3=4且a2,a3+1,a4成等差數(shù)列,則q的值可能為(

)AC2.等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,則{an}的前12項和為(

)A.90 B.60 C.45 D.32C3.(多選題)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,已知a2=6,a5=48,則下列結(jié)論正確的是(

)A.a3=9B.an=3×2n-1C.Sn=3n-1D.Sn=3×(2n-1)BD4.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S4=1,S12=13,則a13+a14+a15+a16等于(

)A.27 B.64C.-64 D.27或-64解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,顯然q≠1,所以S4=a1+a2+a3+a4=1,S12=a1+a2+a3+a4+…+a12=(a1+a2+a3+a4)+q4·(a1+a2+a3+a4)+q8·(a1+a2+a3+a4)=1+q4+q8=13,解得q4=3或q4=-4(舍去),則a13+a14+a15+a16=a1q12+a2·q12+a3·q12+a4·q12=(a1+a2+a3+a4)·q12=q12=27.A(1)等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.等比數(shù)列的證明與判斷(1)求a1,a2,a3的值;[例1]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).解:(1)當(dāng)n=1時,S1=a1=2a1-3,解得a1=3,當(dāng)n=2時,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9,當(dāng)n=3時,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.(2)是否存在常數(shù)λ,使得{an+λ}為等比數(shù)列?若存在,求出λ的值和通項公式an;若不存在,請說明理由.[例1]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).解:(2)假設(shè){an+λ}是等比數(shù)列,則(a2+λ)2=(a1+λ)·(a3+λ),即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3.下面證明{an+3}為等比數(shù)列.因為Sn=2an-3n,所以Sn+1=2an+1-3n-3,所以an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即an+1=2an+3,所以an+1+3=2(an+3),又a1+3=6≠0,所以存在λ=3,使得數(shù)列{an+3}是首項為a1+3=6,公比為2的等比數(shù)列,所以an+3=6×2n-1,即an=3(2n-1).等比數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法:an+1=qan(a1≠0,q≠0)?{an}是等比數(shù)列.(3)通項公式法:an=Aqn-1(Aq≠0)?{an}是等比數(shù)列.(4)前n項和公式法:Sn=Aqn-A(Aq≠0,q≠1)?{an}是等比數(shù)列.注意:證明一個數(shù)列是等比數(shù)列,一般只能用方法(1)(2).[針對訓(xùn)練]已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}和{bn}的通項公式.[針對訓(xùn)練]已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用[例2](1)(2022·遼寧沈陽高三二模)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=18,a2a3=32,若{an}的前n項和Sn滿足Sk+10-Sk=216-26,則正整數(shù)k等于(

)A.5 B.6 C.7 D.8(3)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S8=12,S24=36,則S16等于(

)A.24 B.12C.24或-12 D.-24或12解析:(3)因為等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,所以S8,S16-S8,S24-S16成等比數(shù)列,又因為S8=12,S24=36,所以(S16-12)2=12×(36-S16),解得S16=24或S16=-12,因為S16-S8=q8S8>0,所以S16>0,則S16=24.故選A.在解決與等比數(shù)列有關(guān)的問題時,要注意挖掘隱含條件.利用性質(zhì)時要注意成立的前提條件,有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外,解題時注意設(shè)而不求思想的運用.A.16B.-16C.14 D.-14(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S2=1,S4=4,則S8等于(

)A.40 B.30 C.13 D.50解析:(2)由于{an}是等比數(shù)列,所以S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6也成等比數(shù)列,其中S2=1,S4-S2=3,所以S6-S4=3×3=9,S8-S6=9×3=27,所以S8=1+3+9+27=40.故選A.[知識鏈接]2.an+1=pan+kn+b(p,k,b為常數(shù)),設(shè)an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y),p≠1時,構(gòu)造等比數(shù)列;p=1時,則構(gòu)造的是常數(shù)列;3.an+1=pan+qn(p≠q),設(shè)an+1+λqn+1=p(an+λqn),構(gòu)造等比數(shù)列;8.an+2=pan+1+qan,p,q為常數(shù)且p,q≠0,設(shè)an+2-kan+1=h(an+1-kan),比較系數(shù)得h+k=p,-hk=q,可得h,k,于是{a