福州大學(xué)《線性代數(shù)》第4章：特征值與特征向量培訓(xùn)課件

第四章特征值與特征向量4.1方陣的特征值與特征向量4.2矩陣的相似對(duì)角化4.3正交矩陣4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化§4.1方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性質(zhì)一、特征值與特征向量的概念1.定義12.說(shuō)明特征多項(xiàng)式備注例如:備注由(2)可得A的跡tr(A)4.滿足方程|A-

E|=0的

都是A的特征值含義：②一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值③屬于同一特征值的特征向量的線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量．非零對(duì)嗎？即一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值;①一個(gè)特征值一定有特征向量，且不唯一;5.例

解二、特征值與特征向量的求法行(1重根)21行(自由)(2重根)(x3為自由未知量)行(x3為自由未知量)行的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)≤

i

的重?cái)?shù)說(shuō)明:(組員數(shù))1.(幾何重?cái)?shù))(代數(shù)重?cái)?shù))(書P127)即1對(duì)應(yīng)的特征向量集合中的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組2.由1可知,對(duì)應(yīng)單重根,求得線性無(wú)關(guān)的特征向量有

個(gè).且只有13.

說(shuō)明:

求矩陣An

特征值與特征向量的步驟：4.（要求：每一個(gè)特征值都涉及）三、特征值和特征向量的性質(zhì)證明：例則思考:

設(shè)，證明：A的特征值只能為0或1。(書P126例4.7)22證則即類推之，有2222設(shè)有把上列各式(有m個(gè)方程)合寫成矩陣形式，得B把上列各式合寫成矩陣形式，得B推論說(shuō)明:

屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān).

練習(xí)11:

121頁(yè)第三章提高題6141-143頁(yè)一13;14;15

三32四41

一.求矩陣特征值與特征向量的步驟：四、小結(jié)二.特征值與特征向量的關(guān)系:②一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值③屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量．即一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值．①一個(gè)特征值一定有特征向量，且不唯一⑤屬于不同特征值的特征向量的和

就不再是A的特征向量．④屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān).(另：書P143四41)思考：§4.2矩陣的相似對(duì)角化一、相似矩陣的概念二、矩陣的相似對(duì)角化一、相似矩陣的概念記為A~B問(wèn)：

“相似”是等價(jià)關(guān)系嗎？(等價(jià)定義在書P26)重要結(jié)論在書P29顯然，矩陣的相似滿足如下三個(gè)基本性質(zhì)：(1)反身性A~A；(2)對(duì)稱性A~B

，則B~A

；(3)傳遞性A~B,B~C,則A~C

。二、矩陣的相似對(duì)角化證明定理1推論

若階方陣A與對(duì)角陣定理1定理1三、矩陣可對(duì)角化的條件(見書P129)

如果階方陣的個(gè)特征值互不相等，則與對(duì)角陣相似．推論2.屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān).注：1.對(duì)于單重特征根,其線性無(wú)關(guān)的特征向量有

個(gè).且只有1（A能對(duì)角化的充分非必要條件）說(shuō)明

如果階方陣的個(gè)特征值互不相等，則與對(duì)角陣相似．推論

如果A

的特征方程有重根，此時(shí)不一定有

n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，（A與對(duì)角陣相似的充分條件）從而矩陣A不一定能對(duì)角化，但如果能找到n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，還是能對(duì)角化．A能否對(duì)角化？若能對(duì)角例1解(注:

A3有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量P1,P2,P3,故A可對(duì)角化)(線性無(wú)關(guān))所以可對(duì)角化.注:矩陣P的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)!因此P1,P2,P3線性無(wú)關(guān)，注意故矩陣的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)．

如果階方陣的個(gè)特征值互不相等，則與對(duì)角陣相似．推論（A與對(duì)角陣相似的充分條件）參見書P130即方陣A可對(duì)角化

A的k重特征值所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量有

個(gè).(組員數(shù))(

i的重?cái)?shù))(秩=階數(shù)-代數(shù)重?cái)?shù))k恰例2設(shè)問(wèn)x為何值時(shí)，矩陣A能對(duì)角化？解：所以(另題型：書P143例4.9)

練習(xí)12:

141-143頁(yè)二24;

三34;35;37

四42

四、小結(jié)1.相似矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有：２．相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡(jiǎn)化對(duì)矩陣的各種運(yùn)算，其方法是先通過(guò)相似變換，將矩陣變成與之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣的運(yùn)算．

相似變換是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把A變成，而可逆矩陣稱為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣．§4.3正交矩陣一、內(nèi)積及其性質(zhì)二、正交向量組三、正交矩陣及其性質(zhì)一、內(nèi)積及其性質(zhì)定義1設(shè)有n維向量,,則稱為向量與的內(nèi)積，記為，即內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)定義2

設(shè)長(zhǎng)度范數(shù)向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：(),,22221nxxxxxx+++==L4.施瓦茨不等式解單位向量夾角１

正交的概念２

正交向量組的概念正交

若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧?，則稱該向量組為正交向量組．二、正交向量組證明３

正交向量組的性質(zhì)定理1244

標(biāo)準(zhǔn)正交化方法下面介紹施密特正交化方法(2)單位化

,取(1)正交化

,

取

，施密特正交化過(guò)程例２

用施密特正交化方法，將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化.解

先正交化，取施密特正交化過(guò)程再單位化，得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組如下例3解把基礎(chǔ)解系正交化，即所求．問(wèn)：把基礎(chǔ)解系正交化，即所求．取

為正交矩陣的充要條件是的列向量都是單位向量且兩兩正交．定義4定理2三、正交矩陣與正交變換(見書P135)例

判別下列矩陣是否為正交陣．所以它不是正交矩陣．考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它是正交矩陣．由于定義4定理3設(shè)A,B都是n階正交方陣，則（1)(2)定義5

若為正交陣，則線性變換稱為正交變換．定義4(見書P11)性質(zhì)

正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變．證明1．將一組線性無(wú)關(guān)向量組規(guī)范正交化的方法：先用施密特正交化方法將這向量組正交化，然后再將其單位化．四、小結(jié)2．為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：

課后思考：設(shè)A

是奇數(shù)階正交矩陣且detA=1.證明：1是A的特征值.

證§4.4實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化定理1

實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).說(shuō)明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說(shuō)明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣．一、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量進(jìn)一步有：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征向量是實(shí)向量.定理2：實(shí)對(duì)稱矩陣的相異特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量必定正交。證說(shuō)明：對(duì)一般方陣，只能保證相異特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量

。線性無(wú)關(guān)二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化：說(shuō)明：①實(shí)對(duì)稱矩陣A一定與對(duì)角矩陣相似;定理2：即實(shí)對(duì)稱矩陣A一定能對(duì)角化.②實(shí)對(duì)稱矩陣A的k重特征值所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量有

個(gè).(證明從略)k(即組員數(shù)=

i的重?cái)?shù))恰25解(下將P1,P2,P3正交化,單位化,可得正交陣Q)(1)再單位化，得：?jiǎn)螌?2)(下將P1,P2,P3正交化,單位化,可得正交陣Q)再單位化，得：?jiǎn)螌?2)利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣的步驟為：將特征向量正交化;3.2.將特征向量單位化得.4.5.寫出正交陣，1.解設(shè)A的屬于特征值1的特征向量為得(*)的基礎(chǔ)解系為∴是A的屬于特征值1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量例2.

練習(xí)13:

143-144頁(yè)三38;40

四46;47;48

1.

對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié)(1)特征值為實(shí)數(shù)；

(2)屬于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；

(4)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值．2.利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟：