軸對稱約束-量場-約束-量場-動力響應(yīng)的漸近解

軸對稱約束-量場-約束-量場-動力響應(yīng)的漸近解

電流和磁場間的相互作用18世紀(jì)初，ferada及其對手動關(guān)系發(fā)現(xiàn)，磁體的運動軌跡與電動勢有關(guān)。當(dāng)固體或液體運動時，將形成導(dǎo)電器，并將電流流動到輸出?；蛴赏獠坎牧闲纬呻娐?，其中導(dǎo)線也有電路。因此，磁體和磁體之間存在互相影響的聲音，即磁體引導(dǎo)運動導(dǎo)線產(chǎn)生的電流并產(chǎn)生空虛感應(yīng)電流。相反，誘導(dǎo)電流也產(chǎn)生自動端，影響原始外部堿性磁體。當(dāng)運動的導(dǎo)體是耦合流場時,問題就更為復(fù)雜些.特別,如果研究流場在約束場中運動規(guī)律的學(xué)科稱之為耦合動力學(xué).因此,從本質(zhì)上說耦合動力學(xué)就是研究耦合速度場和約束場之間相互作用的一門科學(xué).衰減平衡向量場動力學(xué)考察耦合在約束場作用下的運動規(guī)律,也即考察約束場如何影響著耦合運動,反之耦合的運動又是如何地影響著約束場.因此,必須考察耦合運動的速度場和介質(zhì)內(nèi)部的約束場.而實驗室內(nèi)微觀與自然界中宏觀現(xiàn)象又向我們提出運用復(fù)合尺度方法進行分析求解的要求.本文將一個復(fù)雜的三維約束耦合動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化成復(fù)空間里一維的邊界層問題,并進行了漸近攝動分析,得出多場耦合中擾動問題的特征值邊界層解法.1密度攝動量標(biāo)準(zhǔn)我們首先考慮的是簡單的模型板組成的一個無限平面流動薄層指定的剪切平衡向量場B0ˉ=exˉB0x(y)+ezˉB0z(y),V0ˉ=exˉV0x(y)+ezˉV0z(y),受到的重力加速度eyˉg指向y軸正方向.假設(shè)平衡速度場V0ˉ平行于約束場B0ˉ,平衡密度ρ假定只在y軸上改變.我們認為阻抗性的約束場方程對于不可壓縮的平衡速度場,有統(tǒng)一的阻抗率和只包括垂直分量的碰撞的一部分粘性張量.由約束場和受重力影響的對流擾動耦合而成的衰減平衡向量場動力學(xué)方程由以下4個方程組成:?×ρ(?Vˉ?t+Vˉ??Vˉ)=?×1c(j-×Bˉ)+ρgˉ+μ⊥?2Vˉ],(1)?Bˉ?t=?×(Vˉ×Bˉ)+η4π?2Bˉ,(2)?ρ?t+??(ρVˉ)=0,(3)??Bˉ=??Vˉ=0,(4)其中式(1)為動量守恒方程,式(2)為擴散方程,式(3)為連續(xù)方程,式(4)則反映約束場為無源場和約束場的不可壓縮性(實際上模型允許輕微的壓縮變形).ρ和V為密度和速度,η為阻抗系數(shù),μ⊥為粘度的垂直系數(shù).流動的速度場、平衡約束向量場和密度考慮平衡量和攝動量,Vˉ=V0ˉ+V1ˉ,Bˉ=B0ˉ+B1ˉ,ρ=ρ0+ρ1,其中V1ˉ,B1ˉ,ρ1為攝動量.由廣義Maxwell方程,我們有j-=c4π?×Bˉ?則1c?×(j-×Bˉ)=1c?×(c4π?×Bˉ)×Bˉ=14π?×(Bˉ??)Bˉ-12?B2=14π?×(Bˉ??)Bˉ?動量方程可以寫為?×ρ(?Vˉ?t+Vˉ??Vˉ)=?×14π(Bˉ??)Bˉ+ρgˉ+μ⊥?2Vˉ].(5)線性化.對卷積動量方程(5)應(yīng)用算子eyˉ??×,然后得到兩個耦合方程描述了y分量的一階速度Vy1和平衡約束場By1.取所有一階攝動量轉(zhuǎn)化為像單純Fourier調(diào)和函數(shù)expi(kxx+kzz)+ωt,其中k=kx,0,kz是水平波動向量而ω是增長速度,則我們從方程(5)得到eyˉ??×?×ρ0(??tV1ˉ+V0ˉ??V1ˉ+V1ˉ??V0ˉ)=eyˉ?{14π?×?×[(B0ˉ??)B1ˉ+(B1ˉ??)B0ˉ]+?×?×(ρgˉ+μ⊥?2V1ˉ)}.(6)現(xiàn)在分別對方程(6)做如下調(diào)和分析.方程左邊各項簡化為eyˉ??×?×ρ0??tV1ˉ=wk2ρ0Vy1-(ρ0V′y1)′,eyˉ??×?×ρ0(V0ˉ??)V1ˉ=ik2ρ0(kˉ?V0ˉ)Vy1-(ρ0(kˉ?V0ˉ))′V′y1-ρ0(kˉ?V0ˉ)Vy1?eyˉ??×?×ρ0(V1ˉ??)V0ˉ=i(kˉ?V0ˉ)?ρ0Vy1+(kˉ?V0ˉ)′(ρ0Vy1)′].這是在y上的微分,而方程右邊各項簡化為eyˉ??×?×(B0ˉ??)B1ˉ=ik2(kˉ?B0ˉ)By1-(kˉ?B0ˉ)′By1′-(kˉ?B0ˉ)By1?],eyˉ??×?×(B1ˉ??)B0ˉ=i(kˉ?B0ˉ)?By1+(kˉ?B0ˉ)′By1′],eyˉ??×?×ρ1gˉ=k2ρ1g,eyˉ??×?×μ⊥?2(V1ˉ)=-μ⊥(?2)2Vy1ˉ=μ⊥(?2?y2-k2)Vy1ˉ.對于密度攝動量ρ1我們可以應(yīng)用式(3)線性化ρ1ω+i(k·V0)+ρ′0Vy1=0得到k2ρ1g=-k2gρ0′Vy1ω+i(k?V0).根據(jù)磁流動力學(xué)專家Furth,Killeen和Rosenbluth(1963)的方法,我們現(xiàn)在實行的標(biāo)準(zhǔn)量綱變量如下:ψ=By1B,W=-ikτRVy1,F=(kˉ?B0ˉ)kB,α=ka,Ρ=ωτR,S=τRτΗ,ρ=ρ0?ρ?,k2=kx2+kz2,y=aμ,R*=τRk?Vaˉ(y),G=-gρ0′ρ0τΗ2,Ν*=4πμ⊥η.這里τR=4πa2/η,τΗ=a4πρ/B是邊界層的阻抗和約束耦合動力學(xué)的時間尺度,S是擬Reynolds數(shù),〈ρ〉和B是密度量和約束場強度,a是流層的特征量綱.在阻抗的擴散時間尺度上,F表示約束場的單位尺度,R*表示流場的單位尺度.時間尺度τR和τH根據(jù)不同問題的考慮會有相應(yīng)的變化.例如,在星體的內(nèi)部τR～109a,在太陽黑子中為τR～50a;而在試驗室高熱原子核反應(yīng)的融合等離子體中為τR～10Ms.典型的中性氫云具有104個太陽的質(zhì)量,密度達到10mH和10-6Gs的磁場,時間尺度為τH～107a,然而在試驗室高熱原子核反應(yīng)的融合等離子體中τH～10-6μs.抗擴散與磁耦合動力學(xué)的時間尺度的比是非常大的.擬Reynolds數(shù)S的值對于試驗室高熱原子核反應(yīng)的融合等離子體基本在103～107之間.在天體物理學(xué)的應(yīng)用中特征量綱a是非常大的,S同樣地被發(fā)現(xiàn)是一個大的數(shù)字.高的擬Reynolds數(shù)的意義就是對阻抗擴散影響微小的,在邊界層外穩(wěn)態(tài)約束場被認為是一個很好的逼近.由這些變量項,我們從式(6)左邊有上面是對μ的微分.同樣從式(6)右邊有eyˉ?{14π?×?×[(B0ˉ??)B1ˉ+(B1ˉ??)B0ˉ]+?×?×(ρgˉ+μ⊥?2V1ˉ)}=i4πk2(kˉ?B0ˉ)By1-(kˉ?B0ˉ)By1?+(kˉ?B0ˉ)?By1+k2ρ1g-μ⊥(?2?y2-k2)Vy1ˉ=i(kˉ?B0ˉ)4πk2By1-By1?+(kˉ?B0ˉ)?(kˉ?B0ˉ)By1+k2ρ1g-μ⊥a4(?2?μ2-α2)W-ikτR=i1ka2τR2{[ψ?-ψ(α+F″F)]α2S2F+α2S2GWΡ+iR*+Ν*(?2?μ2-α2)2W}.由式(6)左右兩邊相等得所以動量方程最后變?yōu)镻+iR*(ρ0W′)′-α2ρ0W+i[ρ0(R*)′]′W=ψ?-ψ(α+F″F)α2S2F+α2S2GWΡ+iR*+Ν*(d2dμ2-α2)2W.(7)同樣,對擴散方程(2)線性化并采取y分量得到wBy1=i(kˉ?B0ˉ)Vy1-i(kˉ?V0ˉ)By1+η4π?2By1.(8)通過量綱化方程(2),可以化為(P+iR*)ψ+FW=ψ″-α2ψ.(9)2特征函數(shù)漸近擾動多場耦合中擾動問題的邊界層解可以分為邊界層內(nèi)解和外解問題2個部分.按照前面的分析,當(dāng)S很大時,對阻抗擴散影響微小,邊界層外穩(wěn)態(tài)約束場被認為是一個很好的逼近.對方程(7)兩邊除以S2,當(dāng)G充分小時,由1/S2→0可以得到外解問題微分方程ψ″-ψ(α+F″/F)=0.對此方程我們可以利用常規(guī)分析方法得到漸近解.明顯地,g=α是方程的一個解.將其代入有ψ={e-αμ(F+α),μ＞0eαμ(-F+α),μ＜0}=e-α|μ|(|F|+α),ψ′={-αe-αμ(F+α)+e-αμ(1-F2),μ＞0,αeαμ(-F+α)+e-αμ(-1+F2),μ＜0?所以有外解與內(nèi)解在0點左右匹配的跳躍條件,即內(nèi)解的邊界條件ψ′(0+)=-α2+1,ψ′(0-)=α2-1,Δext′=ψ′(0+)-ψ′(0-)ψ(0)=-2α2+22=2(1α-α).為計算邊界層的內(nèi)解,文獻已對MHD方程進行了線性變化,通過Fourier調(diào)和分析、尺度變化,并引進新的參數(shù),將一個復(fù)雜的三維耦合動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化成復(fù)空間里一維的邊界層問題的四階微分方程(Ρ+iRθ)d2Ηdθ2-θ2Η+G(F′)2Η-iRΡ+iRθ-Νd4Ηdθ4=Ρθ-F″ΔF′,(10)Δ′=Δ∫∞-∞(P+θH)dθ,(11)其中特征值P為復(fù)數(shù),特征函數(shù)H為復(fù)函數(shù),R為切變流特征參數(shù),G為重力參數(shù),N為粘度參數(shù).邊界層內(nèi)解的特征函數(shù)漸近擾動方法如下.對邊界層方程(10)進行H(θ)Fourier變換,定義h(k)=∫∞-∞H(θ)e-ikθdθ,將原物理場方程轉(zhuǎn)變?yōu)镕ourier空間內(nèi)微分算子特征函數(shù)漸近求解問題.令ε=1/R,可以得到粘性撕裂模式的微分算子Lh=h?+1ε(k2h)′-(k2Ρ+k4Ν)h和三階微分算子(也可以稱為粘性撕裂G模式算子)Μh=(1εddk-Ρ)Lh-G(F′)2h=2πiΡ1εδ″(k)-2π(iΡ2+RF?ΔF′)δ′(k)+2πΡF?ΔF′-iGε(F′)2δ(k).下面討論主要特征函數(shù)漸近擾動問題εh″+(k2h)′-εPk2h=0,ε→0,-k0<k≤0,h″-Pk2h=0?h1～k-1/2e±0.5P1/2k2,-k<k0<0,εh″+(k2h)′=0?h2～e-k3/3ε,k→-∞.對于-k0<k≤0,我們可以忽略流場項,但對于大的k,則是流場項起主導(dǎo)作用.所以當(dāng)k→-∞時我們可以忽略P慣性項.因為當(dāng)流場項近似地平衡P慣性項,解的轉(zhuǎn)化是從指數(shù)振蕩解到代數(shù)解的過渡,即|1εk2h′|≈|Ρk2h|.因為在攝動區(qū)域有h′≈kP1/2h,所以有|ε-1k03P1/2h|≈|Pk02h|,可以得出從指數(shù)振蕩解到代數(shù)解的過渡的轉(zhuǎn)點k0≈1ε|Ρ|1/2.因此,當(dāng)0≤χ≤π,對于Mh=0,-∞<k<0,0<k<+∞,我們可以根據(jù)Re(P)和N的值把特征函數(shù)歸為4種形態(tài):1)當(dāng)N=0,Re(P)>0時,h(k)~{e-k3/(3ε),k→+∞,k-2eεΡk,k→-∞;2)當(dāng)N=0,Re(P)<0,ε→0時,h(k)~{e-k3/(3ε),k→+∞,k-2,k→-∞;3)當(dāng)N=0,Re(P)<0時,h(k)~{e-k3/(3ε),k→+∞,k-1/2e±0.5Ρ1/2k2,-k0＜k≤0,k-2,-∞＜k＜-k0;4)當(dāng)N≠0時,h(k)~{exp{-[R+1/ε2+4Ν]k3/6},k→+∞,exp{-[R-1/ε2+4Ν]k3/6},k→-∞.在4)中,由于我們引入了粘度N的影響,h(k)的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生加速衰減的變化.考慮到流場ε變得很小時增長率P的特性,我們進行的漸近性的研究使我們能夠在很小的ε極限分析下估計P.粘性撕裂N-G-模式方程給出如下:(1εddk-Ρ)Lh-G(F′)2h=0,-∞＜k＜0,0＜k＜∞,(12)這里,Lh=d2hdk2+1εddk(k2h)-(k2Ρ+k4Ν)h(13)是粘性撕裂模式算子.在原點k=0相關(guān)的邊界和跳躍條件為h(±∞)=0,h(0+)=1,h′(0±)=-ie±iχ,(14)h″(0+)-h″(0-)=-2πiG(F′)2,(15)而特征值關(guān)系為2πΡ=h(0-)h′(0-)e-iχ-h(0+)h′(0+)eiχ,-π＜χ＜π.(16)在原點兩邊,h和h′的值都需要得到P的漸近估計.本文中我們先進行漸近分析以確定特征解h,然后預(yù)測小的參數(shù)ε下的特征值P以支持數(shù)值分析.由Lh=0漸近逼近以確定撕裂模的增長率.Bondeson和Persson(1986)發(fā)現(xiàn)粘性限制在N=0的情況下,當(dāng)ε變得很小時撕裂模的增長率,表現(xiàn)為如下形式:Ρ~(12πεeiχ)1/2+cosχΓ(1/3)2πε-1/332/3,ε→0.(17)從這里可以看出當(dāng)ε變小時Re(P)增大,其物理解釋是剪切流沿B0ˉ破壞撕裂模式,這和Tokamaka中性束注入產(chǎn)生明顯的后果一樣.有些學(xué)者指出了大量流動(ε→0)可能存在因為|χ|<π,所以撕裂模相應(yīng)的Δ′<0(例如π/2<|χ|<π)可引起不穩(wěn)定.3n次解hn和n-1次解hnk的關(guān)系一個估計特征值P問題的漸近方法,對于粘性撕裂方程,可以表示為一個奇異攝動展開:h=h0+h1+h2+h3+…,ε→0,(18)這里hn(n=1,2,3,…)是n次攝動解,hn→0,ε→0.n次解hn和(n-1)次解hn-1漸近遞推關(guān)系是{εh0?+(k2h0)′=0,εhn?+(k2hn)′=ε(k2Ρ+k4Ν)hn-1,n=1,2,3,?.(19)為了得到足夠小的參數(shù)ε,解hn和hn(m)(m=0,1,2)假定在定性討論的特征函數(shù)h(k)是衰減的.0階解h0(k)和n階解hn(k)滿足邊界條件h0(±∞)=h′0(±∞)=0,h0(±∞)=h′n(±∞)=0,(20)所以我們可以分別對于正負k求解式(19).3.1k0.kh1kh1k從式(12)的齊次方程可以得到一個簡單的零階解一般形式h0(k)=c0e-ξ+c1e-ξ∫0keξdk,ξ=13εk3,(21)這里c0和c1是任意常數(shù).從式(19)取n=1,對零階方程,分別在當(dāng)k>0時在[k,+∞)上積分和在k<0時在(-∞,k]上積分得h1′+1εk2h1=Ρ∫∞kk2h0dk+Ν∫∞kk4h0dk,k＞0,h1′+1εk2h1=Ρ∫-∞kk2h0dk+Ν∫-∞kk4h0dk,k＜0.再應(yīng)用L’Hospital法則得到h0(k)=c0e-ξ,k>0.(22)同樣,對于k<0,我們從式(12)有h0(k)=c1e-ξ∫k-∞eξdk=o(k-2),k→-∞.(23)由式(22)和(23),在0點k=±0處解h0(k)的值是h0(0+)=c0,h′0(0+)=0,(24)h0(0-)=c1ε1/332/3Γ(13),h0′(0-)=c1.(25)3.2階和三階漸近解0+經(jīng)使用0階解h0(k),我們現(xiàn)在可以估計在0點左右兩邊高階解hn(k)的情況.由式(19),我們得到h1′(0+)=Ρ∫∞0k2h0dk+Ν∫∞0k4h0dk=Ρc0∫∞0k2e-ξdk+Νc0∫∞0k4e-ξdk=-εΡc0-2Νc0ε5/331/3Γ(23),(26)h1′(0-)=Ρc1∫-∞0k2e-ξ∫-∞k′eξdk′dk+Νc1∫-∞0k4e-ξ∫-∞k′eξdk′dk=Ρc1ε2∫-∞0e-ξ∫-∞ξ′k-2eξ′dξ′dξ+Νc1ε2∫-∞0k2e-ξ∫-∞ξ′k-2eξdξ′dξ=3-2/3Ρc1ε4/3∫-∞0e-ξΓ(13,ξ)dξ+Νc1ε2∫-∞0ξ2/3e-ξΓ(13,ξ)dξ=O(Pε4/3,Nε2).(27)在這里Γ(a,x)=∫∞xua-1e-udu(a>0,x>0)是不完全Gamma函數(shù).為了估計在0點左右兩邊一階解h1(k),我們對等式(19)左右兩邊各乘以eξ,然后對于k>0時在0,k上積分和對于k<0是在(-∞,k]上積分,去尋求收斂解.因此我們有{h1eξ=Ρ∫0k′eξ∫∞kk2h0dkdk′+Ν∫0k′eξ∫∞kk4h0dkdk′,k＞0,h1eξ=Ρ∫-∞k′eξ∫-∞kk2h0dkdk′+Ν∫-∞k′eξ∫-∞kk4h0dkdk′,k＜0?(28)這里h1滿足假設(shè)條件h1(±∞)=0.這樣,在0點正邊上,按照標(biāo)準(zhǔn)化的解h(0+)=c0,h1給出如下:h1(0+)=0.(29)在0點負邊上,h1給出如下:h1′(0-)=Ρc1∫-∞0eξ∫-∞kk2e-ξ∫-∞k′eξdk1dkdk′+Νc1∫-∞0eξ∫-∞kk4e-ξ∫-∞k′eξdk1dkdk′=Ρc1ε2∫-∞0eξ∫-∞ke-ξ∫-∞ξ′k-2eξ′dξ′dξdk+Νc1ε2∫-∞0eξ∫-∞kk2e-ξ∫-∞k′k-2eξdξ′dξdk=3-2/3Ρc1ε4/3∫-∞0eξ∫-∞ke-ξΓ(13,ξ)dξdk+Νc1ε2∫-∞0eξ∫-∞kξ2/3e-ξ∫-∞k′ξ-2/3eξdξ′dξdk=3-4/3Ρc1ε5/3∫-∞0ξ-2/3eξ∫-∞k′e-ξΓ(13,ξ)dξdξ+3-2/3Νc1ε7/3∫-∞0ξ-2/3eξ∫-∞k′ξ2/3e-ξΓ(13,ξ)dξ=O(Pε5/3,Nε7/3),ε→0.(30)同樣方法,我們可以得到二階和三階漸近解h2′(0+)~-Ρ∫∞0k2(Ρc0ε2ke-ξ)dk+Ν∫∞0k4(-Ρ2c0ε2ke-ξ)dk=3-2/3Ρ2c0ε7/3Γ(13)+3ΝΡc0ε3(31)和|h′2(0-)|?|h′0(0-)|=c1,ε→0,k<0.(32)所以當(dāng)ε變小時h′2(0-)可能會被忽略.二階解h2估計如下:h2=e-ξP∫k′0eξ∫k0k2h1dkdk′+N∫k′0eξ∫k0k4h1dkdk′=e-ξ·O(P2ε11/3,NPε13/3),ε→0,K>0,(33)從而導(dǎo)致h′3(0+)=P∫0∞k2h2dk+N∫0∞k4h2dk=O(P3ε14/3,N2Pε18/3).(34)4e2e,3,3,3,3,3,3,333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333最后,對標(biāo)準(zhǔn)化的一階解取c0=1,我們有在k=±0處的解為h(0+)=h0(0+)=1,h(0-)=h0(0-)+h1(0-)=3-2/3ε1/3c0Γ(13)+Ο(Ρε5/3,Νε7/3)和{h′(0+)=h1′(0+)+h2′(0+)h3′(0+)=-εΡc0-2Νc031/3ε5/3Γ(23)+32/3ε7/3Ρ2c0Γ(13)+3ε3ΝΡc0+Ο(ε14/3Ρ3,ε18/3Ν2Ρ),h′(0-)=h0′(0-)=c1.(35)將h(0+)/h′(0+)和h(0-)/h′(0-)代入到特征值關(guān)系式(16)并匹配主項,我們得到2πΡ=h(0-)h′(0-)e-iχ-h(0+)h′(0+)eiχ~ReiχΡ+2?3-1/3ε2/3ΝΓ(2/3)-3-2/3ε4/3Ρ2(Ρ2/(32/3ε4/3))Γ(1/3)+3ε3ΝΡ+3-2/3ε1/3Γ(13)eiχ.(36)應(yīng)用二項式定理得2πΡ~1Ρεeiχ[1-2ε2/3ΝΓ(2/3)31/3Ρ+ε4/3ΡΓ(1/3)32/3+4ε4/3Ν2Γ2(2/3)32/3Ρ2-4ε2ΝΡΓ(2/3)Γ(1/3)3Ρ+3-4/3ε8/3Ρ2Γ2(13)]+3-2/3ε1/3Γ(13)e-iχ+Ο(ε5/3Ρ).(37)重寫式(37),我們得到2πΡ2~1εeiχ1+2ε1/3ΡΓ(1/3)cosχ32/3(Reiχ)-1-4ε2/3ΝΓ(2/3)31/3Ρ+?}.(38)5利用k0營造網(wǎng)絡(luò)實驗2/3,3/3,3/3,3.3,3.3,3.3,3.32/33333333333333333333333333333333333333.33.33.33.33333333333335/335.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33這一節(jié)介紹在非粘性極限N=0大流量限制下G-模式增長率P的漸近估計.由式(12)我們有(h′+1εk2h))?-Ρεh?-2Ρ(k2h)′=εh(G(F′)2-Ρ2k2).(39)做攝動展開h=h0+h1+h2+h3+…,ε→0,(40)這里零階解和n階解滿足條件{h0(±∞)=h0′(±∞)=h0?(±∞)=0,hn(±∞)=hn′(±∞)=hn?(±∞)=0,(41)和第3節(jié)一樣我們分別在k的正負微擾下解式(39).有零階差分項到非齊次項得到式(39)的漸近遞推關(guān)系是{(εh0′+k2h0)″=0,(εhn′+k2hn)″=Ρε2hn-1?-2εΡ(k2hn-1)′+(G(F′)2-Ρ2k2)ε2hn-1,n=1,2,3,?.(42)這個方法可以對于粘性撕裂模式增長率得到很好的估計,這在前面已經(jīng)過測試.我們只使用在k=±0只有兩邊h和h′的值來估計P.n階展開解hn,h′n和h″n必須滿足邊界條件當(dāng)k→∞時這些解衰變.與前相同,G-模漸近解可由攝動方法取得.收集h(0+),h(0-),h′(0+),h′(0-),h″(0+),h″(0-)這些結(jié)果在一起,對于ε→0在k=0±處我們最后得到{h(0+)=1,h(0-)=3-2/3ε1/3c0Γ(13)-3-1/3ε2/3c1Γ(23)+o(ε5/3Ρ);h′(0+)=-εΡ+ε7/33-2/3Ρ2Γ(13)+2ε8/33-1/3ΡΓ(23)+o(ε5/3G),h′(0-)=c0+c0ε4/33-2/3ΡΓ(13)+o(ε5/3Ρ);h?(0+)=ε4/3G32/3(F′)2Γ(13)-ε8/33-1/3Ρ2Γ(23)+o(ε3G),h?(0-)=c1.(43)在式(43)配平0次項,可以估計增長率P.特征值關(guān)系式為2πΡ=h(0-)h′(0-)e-iχ-h(0+)h′(0+)eiχ,-π＜χ＜π.比例h(0-)/h′(0-)和h(0+)/h′(0+)如下:h(0-)h′(0-)={3-2/3ε1/3c0Γ(13)-3-1/3ε2/3c1Γ(23)}/c0+c03-2/3ε4/3ΡΓ(13)～3-2/3ε1/3Γ(13)-3-1/3ε2/3c1Γ(2/3)c0·1-3-2/3ε4/3ΡΓ(13)},(44)h(0+)h′(0+)=1εΡ{1-ε4/33-2/3ΡΓ(1/3)-2ε5/33-1/3Γ(2/3)},(45)在這里當(dāng)ε足夠小時二項展開式的高階項被忽略了.把式(44)和(45)代入特征值關(guān)系式得2πΡ~1εΡeiχ+2?3-2/3ε1/3Γ(13)cosχ+2ε2/3Γ(2/3)Ρ31/3-ε5/3ΡΓ(1/3)34/3eiχ-c1ε2/3Γ(2/3)c031/3e-iχ.(46)現(xiàn)在估計式(46)中的c1e-iχ/c0,2πG(F′)2=h″(0+)h′(0+)-eiχh″(0-)h′(0-)e-iχ,(47)這里,由式(43)有h?(0+)h′(0