項目六 線性動態(tài)電路

項目六線性動態(tài)電路

一階電路的全響應(yīng)6.4過渡過程的基本概念6.1一階電路的零輸入響應(yīng)6.2一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)6.3▲典型問題1．曾有學(xué)生問，在舊教室晚自修下課后關(guān)日光燈時，突然發(fā)現(xiàn)開關(guān)處墻壁破洞里有亮光閃了下，是怎么回事？2．再如圖6-1所示的實驗電路，三個“10V，10W”的燈泡R1、R2、R3分別與電阻1Ω電阻、1F電容C和50H電感L串聯(lián)后接到10V電源上。S閉合前，三個燈泡都不亮。

當S閉合后，A燈立刻變亮；B燈先閃亮一下，然后逐漸變暗，直至熄滅；而C燈則是逐漸變亮。

這是什么原因？三只相同的燈點亮的過程怎么會不一樣呢？圖6-1R、L、C并聯(lián)電路在開關(guān)閉合時的現(xiàn)象1．了解過渡電路的相關(guān)概念及其產(chǎn)生的場合、應(yīng)用，掌握換路定則?！R能力目標2．掌握RC電路、RL電路的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)規(guī)律。3．掌握分析一階線性過渡電路的三要素法。6.1過渡電路概念及其換路定則6.1.1過渡電路概念及其作用6.1.2換路定律與電路的初始值1.過渡電路概念

在線性電路中，當電源電壓（激勵）為恒定值或作周期性變化時，電路中各部分電壓或電流（響應(yīng)）也是恒定的或按周期性規(guī)律變化，即電路中響應(yīng)與激勵的變化規(guī)律完全相同，稱電路的這種工作狀態(tài)為穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。6.1.1過渡電路概念及其作用

含有貯能元件（主要是電感L、電容C）的電路，電路在接通或斷開后，電量從一個穩(wěn)定值變化到另一個穩(wěn)定值需要一段時間，此時的電路稱為過渡電路。由于過渡電路時間非常短（最多幾秒），所以也叫暫態(tài)電路；這段時間的電量處于不穩(wěn)定狀態(tài)，也稱為動態(tài)電路。2.過渡電路產(chǎn)生的原因開關(guān)沒閉合時：各支路電流為零，3只燈不亮。

開關(guān)S合上后：A燈:開關(guān)閉合瞬間立即變亮，亮度穩(wěn)定不變。

B燈:開關(guān)閉合瞬間立即變亮，逐漸變暗，最終熄滅；

C燈:開關(guān)閉合瞬間不亮，然后由暗變亮，最終穩(wěn)定發(fā)光。SUS–+RALCC

IRICILB觀察電路中的過渡過程實驗表明，電阻支路的A燈，從一種穩(wěn)態(tài)到達另一種穩(wěn)態(tài)不需要過渡過程，而電容和電感支路的B燈和C燈則需要過渡過程。通過以上分析可知，電路發(fā)生過渡過程的原因有：

一是電路中含有儲能元件電容或電感，由于其中的能量不能躍變，由一個穩(wěn)態(tài)過渡到另一個穩(wěn)態(tài)需要時間。二是換路，即電路的通斷、改接、電路參數(shù)的突然變化。3.過渡電路的作用作用：利用其過渡特性設(shè)計相關(guān)電路以實現(xiàn)延時、波形產(chǎn)生等功能。

危害：在電力系統(tǒng)中，過渡過程的出現(xiàn)可能產(chǎn)生比穩(wěn)態(tài)大得多的過電壓或過電流，若不采取一定保護措施，會損壞電氣設(shè)備，引起不良后果

因此研究電路的過渡過程，掌握有關(guān)規(guī)律，是非常重要的。小結(jié)2.過渡電路產(chǎn)生的原因：一是電路中含有儲能元件電容或電感；二是換路，即電路的通斷、改接、電路參數(shù)的突然變化。3.過渡電路的作用：利用其過渡特性設(shè)計相關(guān)電路以實現(xiàn)延時、波形產(chǎn)生等功能。1.過渡電路的概念：含有貯能元件（主要是電感L、電容C）的電路，電路在接通或斷開后，電量從一個穩(wěn)定值變化到另一個穩(wěn)定值需要一段時間，此時的電路稱為過渡電路。1.換路定律6.1.2換路定律與電路的初始值在換路瞬間儲能元件的能量不能突變產(chǎn)生過渡過程的原因：電路中含有儲能元件(內(nèi)因)，且發(fā)生了換路。uC不能突變C儲能L儲能iL不能突變

設(shè)換路瞬間作為計時起點，令t=0。換路前瞬間，以t=0-表示;換路后瞬間，以t=0＋表示。

（1）

換路后瞬間，電容上的電壓不能突變

即換路后的瞬間電壓uC（0+），等于換路前的瞬間電壓

uC（0-）。uC（0+）=uC（0-）iL（0+）=iL（0-）

（2）換路瞬間，電感中的電流不能突變

即換路后的瞬間電流iL（0+），等于換路前的瞬間電壓iL（0-）。換路定律2.換路后電流電壓求法步驟：初始值：電路中各u、i

在t=0+

時的數(shù)值。（1）求出換路前（t=0-）電容電壓uC（0-）和電感電流iL（0-）。（2）由換路定律確定，求換路后瞬間（t=0+）電容電壓uC（0+）和電感電流iL（0+）。（4）按等效電路，根據(jù)電路的基本定律，求出換路后瞬間（t=0+）的各支路電流和各元件上的電壓。（3）根據(jù)uC（0+）和iL（0+）的值，確定電容和電感的狀態(tài)，并畫出時的等效電路圖。例6-1圖所示電路，原處于穩(wěn)態(tài)。t=0時開關(guān)S閉合。若R1=2Ω，R2=3Ω，R3=6Ω，US=18V

，求開關(guān)S閉合后瞬時

i1、i2

、i3、i

、uc及uL的值。解：換路前，uc(0-)=0，i(0-)=0，由換路定律得：將電容短路，電感開路，得t＝0＋時的等效電路如圖6-11（b），則有圖6-4例6-2圖例6-2如圖6-4（a）所示電路，R1=3Ω，

R2=9Ω，US=24V。換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S打開，求換路后uc,uR1、uR2、iC、iR1的初始值。解：由于換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容相當于開路，則換路后，由換路定律可得：將電容用18V的電壓源代替，可得換路后的電路如圖?？汕蟮茫簣D6-5例6-3圖例6-3如圖6-5（a）所示的電路，已知若R1=1.6kΩ，

R2=6kΩ，R3=4kΩ，US=10V,換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時開關(guān)S打開，求換路后

iL、uL、uR2初始值。解：換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電感相當于短路，則由換路定律可得：將電感用iL(0+)＝1.5mA的電流源代替，可得t=0+時的等效電路如圖6-5（b），由圖可求得6.2一階電路的零輸入響應(yīng)6.2.1

RC電路的零輸入響應(yīng)6.2.2RL電路的零輸入響應(yīng)

RC電路的零輸入響應(yīng)，是指在輸入信號（如電源）為零時，RC電路中的電壓、電流從一個穩(wěn)態(tài)變化到另一個穩(wěn)態(tài)的過渡過程。這個過程是電容元件的放電過程。6.2.1RC電路的零輸入響應(yīng)圖6-6RC放電電路

圖6-6所示為RC串聯(lián)電路。換路前，開關(guān)S置于“1”位，電源對電容充電。當電路達到穩(wěn)態(tài)時，在t=0時，將開關(guān)S換到“2”，使電路脫離電源，電容則通過電阻放電，直到過渡過程結(jié)束。1.電壓和電流的變化規(guī)律解此方程，代入初始條件可得：在放電回路中，由KVL得將代入上式，得微分方程同理可得：上兩式中的負號表示放電電流的實際方向與圖中的參考方向相反。0.632Us-U0uCiuRo0.368U0τUsuCiuR電壓電流波形如圖所示：單位:S(秒)2.時間常數(shù)

時間常數(shù)

的值實際上是電容電壓衰減到初始值的0.368倍時所需要的時間,決定電路暫態(tài)過程變化的快慢當時t=

c時，電容電壓為表6-1電容器放電后端電壓隨時間下降t0

C2

C3

C4

C5

C

6

CucU0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U

時間常數(shù)

C=RC，這是因為在一定的初始電壓下，C愈大，儲存的電荷愈多，放電所需的時間就愈長。而R愈大，放電電流愈小，放電所需要的時間也愈長。因此，改變R或C，即改變電路的時間常數(shù)，也就改變了電容放電的速度。

圖6-9例6-4圖例6-4圖6-9(a)所示電路中，開關(guān)S原接通1，電路處于穩(wěn)態(tài)。

時將開關(guān)S從1換到2。已知US=24V，R=1Ω，

R1=R2=2Ω，C=5μF。試求換路后uc,iC。解：此動態(tài)電路為RC電路的零輸入響應(yīng)。

圖6-9(a)換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容相當于開路，則t=0時，由換路定律可得換路后電容經(jīng)電阻R1、R2放電，如圖6-9（b），則電路的時間常數(shù)由RC電路零輸入響應(yīng)公式式（6-3）和（6-4）得波形圖如圖6-9（c）所示。6.2.2RL電路的零輸入響應(yīng)

圖6-10為RL串聯(lián)電路。換路前，開關(guān)S置于“1”位，電感相當于短路，其電流:圖6-10RL電路的短接在t=0時將開關(guān)合到“2”，使電路脫離電源，R、L被短路。此時，電感L的能量便通過R逐步釋放，直到過渡過程結(jié)束。在放電回路中，由KVL得：其中，時間常數(shù)將和代入上式得：進一步分析得：電壓、電流波形圖：iuLuRoτiuRuL圖6-12例6-5圖例6-5圖6-12(a)所示測量電路中，換路前，電流表的讀數(shù)為4A，電壓表的讀數(shù)為10V。已知電流表的內(nèi)阻為0.05Ω

，電壓表的內(nèi)阻為10kΩ，電感L=10H。若開關(guān)S在t=0打開，求：（1）iL(0+）、uL；（2）

iL(t)的表達式，并畫出其波形；（3）

電壓表上的電壓Uv(0+)；（4）uV(t)的表達式，并畫出其波形。解：圖6-12(a)動態(tài)過程為RL電路零輸入響應(yīng)。（1）根據(jù)換路定律(2)由得：畫t=0+時的等效電路如圖6-12（b）所示，此時電路的時間常數(shù)為波形如圖6-12（c）中的iL所示據(jù)RL電路零輸入響應(yīng)公式（6-9）得（3）由圖6-12（b）得（4）波形如圖6-12（c）uV所示

由以上計算可見，在換路瞬間電壓表的電壓從10V突變到40kV，這會造成電壓表燒壞，因此，在這種情況下，應(yīng)先拆除電壓表，然后再斷開電路。

除此之外，電感兩端產(chǎn)生的高壓還會擊穿開關(guān)的兩個觸點之間的空氣，產(chǎn)生火花放電，燒壞開關(guān)觸頭；或者擊穿線圈本身的絕緣層，使線圈匝間短路而損壞。所以在實際應(yīng)用中需采取保護措施，例如采用防護罩，或增加保護環(huán)節(jié)等。

小結(jié)一、RC電路的零輸入響應(yīng)

RC電路的零輸入響應(yīng)，是指在輸入信號（如電源）為零時，RC電路中的電壓、電流從一個穩(wěn)態(tài)變化到另一個穩(wěn)態(tài)的過渡過程。這個過程是電容元件的放電過程。二、RL電路的零輸入響應(yīng)使電路脫離電源，R、L被短路。此時，電感L的能量便通過R逐步釋放，直到過渡過程結(jié)束。這個過程是電感元件的放電過程。6.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)6.3.1

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)6.3.2RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)6.3.1RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)，是指RC電路中的電容初始電壓為零時，接通電源后電路中的電壓、電流隨時間的變化過程。這一過程是電容元件的充電過程。圖6-13RC充電電路

圖6-13所示的RC串聯(lián)電路中，若初始條件為零，則換路后，電源對電容充電。在充電回路中，由KVL得解此方程可得進一步分析得：將

，

代入上式得：電壓、電流波形圖：iucuRoiuRuC圖6-16例6-6圖例6-6圖6-16（a）所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，已知US=6V，R1=R2==R3=10kΩ，C=20μF，

在

t=0時開關(guān)S閉合。試求閉合后過渡過程中的電容電壓uc

。解：此動態(tài)電路為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。換路后電容C兩端的等效充電電阻為由等效電路圖6-16（b）可得，電路的時間常數(shù)為據(jù)RC電路零狀態(tài)響應(yīng)公式（4-14）得6.3.2RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖6-17所示的RL串聯(lián)電路換路后電路與直流電源接通，電感便獲取電源能量，建立磁場并產(chǎn)生感應(yīng)電壓。由KVL得電流圖6-17RL與直流電源接通將

和

代入上式得解此方程，代入初始條件可得進一步分析可得電壓、電流波形圖：iuLuRoiuRuL

例6-7如圖6-19所示電路為一直流發(fā)電機電路簡圖，已知勵磁電阻R=20?，勵磁電感L=20H，外加電壓為US=200V，試求：（1）當S閉合后，勵磁電流的變化規(guī)律和達到穩(wěn)態(tài)值所需的時間；（2）如果將電源電壓提高到250V，求勵磁電流達到額定值的時間。圖6-19例6-7圖解：此電路為RL電路零狀態(tài)響應(yīng)，時間常數(shù)：與RC電路相似，工程上認為經(jīng)過（4～5)τ的時間，過渡過程已基本結(jié)束。所以，勵磁電流達到穩(wěn)態(tài)所需時間為：當電源電壓提高到250V，勵磁電流達到額定值的時間與上面同。6.4一階電路的全響應(yīng)及三要素法6.4.1

一階電路的全響應(yīng)6.4.2一階電路的三要素6.4.1一階電路的全響應(yīng)

前面分析了RC、RL電路的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，由于電路中分別只含有一個儲能元件（C或L），在直流電源作用下，其電路方程均為一階線性微分方程，故稱一階電路。由電路的初始儲能和外加激勵共同作用下，電路產(chǎn)生的響應(yīng)稱為一階電路的全響應(yīng)。在圖所示電路中，設(shè)開關(guān)S閉合前電容器已充電至Uo，則有解此電路微分方程得：

uc由兩部分組成，其中第一項為電路的穩(wěn)態(tài)分量，第二項為電路的暫態(tài)分量。即

全響應(yīng)＝穩(wěn)態(tài)分量＋暫態(tài)分量1.RC電路的全響應(yīng)若將式（6-21）改寫為全響應(yīng)零狀態(tài)零輸入即：全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)在圖6-24所示中，若開關(guān)S閉合前電感L中原有電流為I0，即初始值不為零，則2.RL電路的全響應(yīng)則:全響應(yīng)又可視為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。解上面微分方程，得：iL中的前一項為穩(wěn)態(tài)分量，后一項為暫態(tài)分量，也可以寫成：6.4.2一階電路的三要素法一階電路-只包含一個儲能元件，或用串并聯(lián)法簡化后只包

含一個儲能元件的電路。動態(tài)電路

一階二階經(jīng)典法:

通過一階微分方程求，前面分析均如此（比較麻煩）。2.三要素法（簡便方法）求解方法：1.初始值3.時間常數(shù)2.穩(wěn)態(tài)值

對于直流電源作用下的一階電路，只要求得以下三個要素：

利用此三個要素分析過渡過程的方法稱為“三要素法”。f（0+）—初始值，根據(jù)換路定理求得

τ—時間常數(shù)f（∞）—換路后達到的穩(wěn)態(tài)值（C開路，L短路）uC（0+）=uC（0-）iL（0+）=iL（0-）其一般形式為：穩(wěn)態(tài)值初始值時間常數(shù)uc或iL使用條件：時間常數(shù)τ：①一階電路，②直流激勵Req——從C或L兩端看進去的等效電阻RC電路：τ=Req

C；RL電路：τ=L/Req

等效電阻例6-8圖6-20所示的電路中，當t=0時開關(guān)S閉合。若換路前電容沒有儲能。試用三要素法求uc(t)，i(t)。圖6-20例6-