統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)第八章

第八章參數(shù)估計(jì)第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問題第二節(jié)單總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第三節(jié)樣本容量的確定本章內(nèi)容第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問題參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)

一、抽樣推斷（一）抽樣推斷的概念：按照隨機(jī)性原則，從研究對象中抽取一部分進(jìn)行觀察，并根據(jù)所得到的觀察數(shù)據(jù)，對研究對象的數(shù)量特征做出具有一定可靠程度的估計(jì)和推斷，以達(dá)到認(rèn)識總體的一種統(tǒng)計(jì)方法。

（二）抽樣推斷的特點(diǎn)：

1.樣本資料對總體的數(shù)量特征作出具有一定可靠性。

2.按照隨機(jī)性原則從全部總體中抽取樣本單位。

3.抽樣推斷必然會產(chǎn)生抽樣誤差。

二、參數(shù)估計(jì)的一般問題（一）參數(shù)估計(jì)（parameterestimation）就是用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的參數(shù)。估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值、樣本比率、樣本方差等樣本均值就是總體均值的一個估計(jì)量參數(shù)用表示，估計(jì)量用表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值

x=5600，則5600就是總體均值的估計(jì)值

表8-2樣本統(tǒng)計(jì)量和總體參數(shù)符號對應(yīng)關(guān)系

（二）點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

1.點(diǎn)估計(jì)根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量直接估計(jì)出總體參數(shù)θ的值，稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。常用的方法有兩種：矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法。

2.區(qū)間估計(jì)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個范圍。圖8-1給出了區(qū)間估計(jì)的示意圖：

圖8-1區(qū)間估計(jì)的圖示

3.在區(qū)間估計(jì)中，由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，稱為置信區(qū)間，其中區(qū)間的最小值稱為置信下限，最大值稱為置信上限。

4.置信水平：如果將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率。

5.比較常用的置信水平及正態(tài)分布曲線下的右側(cè)面積為時的值（即臨界值Zα/2）。表8-3常用置信水平的值

圖8-3重復(fù)構(gòu)造出置信水平95%，的20個置信區(qū)間

點(diǎn)估計(jì)值三、評估估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)

無偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)。P(

)BA無偏有偏圖8-4有偏和無偏估計(jì)量的例子

一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)。AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)圖8-5兩個不同容量樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布

有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效。AB

的抽樣分布

的抽樣分布P(

)圖8-6兩個無偏點(diǎn)估計(jì)量的抽樣分布第二節(jié)單總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、總體均值的區(qū)間估計(jì)（一）大樣本的估計(jì)方法

1.樣本均值經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化以后的隨機(jī)變量則服從正態(tài)分布，

2.總體均值

所在（1-α）置信水平下的置信區(qū)間為：

稱為置信下限，

稱為置信上限。

例1：一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每袋重量如表8-3所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%。表8-325袋食品的重量

單位：g即該批食品平均重量95%的置信區(qū)間為101.44～109.28g。利用Excel來計(jì)算置信區(qū)間

1.將樣本數(shù)據(jù)輸入Excel工作表中A1︰E5

2.計(jì)算樣本均值。點(diǎn)擊粘貼函數(shù)“fx”，選擇“統(tǒng)計(jì)”下的“AVERAGE”函數(shù)。在出現(xiàn)的“函數(shù)參數(shù)”對話框中，“Number1”一欄填入樣本數(shù)據(jù)所在區(qū)域A1︰E5，然后“確定”，在輸出區(qū)域內(nèi)（本例放置在F1）得結(jié)果105.36，此即樣本均值。

3.計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差,選擇的函數(shù)為“統(tǒng)計(jì)”下的“STDEV”函數(shù)。本例放在G1,得結(jié)果9.6545。

4.計(jì)算允許誤差。選擇“統(tǒng)計(jì)”下的“CONFIDENCE”函數(shù)，在出現(xiàn)的“函數(shù)參數(shù)”對話框中，“Alpha”一欄填入顯著性水平“0.05”，“Standard_dev”一欄填入總體標(biāo)準(zhǔn)差“G1”（大樣本情況下，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替），“Size”一欄填入樣本容量“25”，然后“確定”，在輸出區(qū)域內(nèi)得允許誤差“3.784490”（取近似值3.78）。

5.置信下限為105.36－3.78＝101.58，置信上限為105.36＋3.78＝109.14，即置信區(qū)間為（101.58，109.14）g。

（二）小樣本的估計(jì)方法總體方差σ2未知，而且是在小樣本的情況下，則需要用樣本方差S2代替σ2，這時樣本均值經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化以后的隨機(jī)變量則服從自由度為（n-1）的t分布，即：t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布，如圖8-7和圖8-8所示：

圖8-7t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較圖8-8不同自由度的t分布

總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為：式中：tα/2是自由度為n-1時，t分布中上側(cè)面積為α/2時的臨界值，該值可通過t分布表查得。利用Excel中的TINV統(tǒng)計(jì)函數(shù)計(jì)算t分布臨界值t分布臨界值可通過Excel中的TINV統(tǒng)計(jì)函數(shù)來計(jì)算。點(diǎn)擊粘貼函數(shù)“fx”，選擇“統(tǒng)計(jì)”下的“TINV”函數(shù)。在對話框中，“Probability”一欄填入顯著性水平（本例為0.05），“Deg_freedom”填入自由度（本例為15），然后“確定”。得結(jié)果“2.13145”，此即t分布的臨界值。例2：已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測得其使用壽命如表8－5所示。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間。表8－516只燈泡使用壽命數(shù)據(jù)單位：h解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本均值=1490h，樣本方差S=24.77h根據(jù)α=0.05查t分布表得（n-1）=t0.025(15)=2.131于是，平均使用壽命的置信區(qū)間為：即全部燈泡的平均使用壽命，在置信水平1－α＝0.95下的置信區(qū)間為（1476.8，1503.2）h?？偨Y(jié)：表8-6總體均值的區(qū)間估計(jì)二、總體比例的區(qū)間估計(jì)1.樣本比例經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量則服從正態(tài)分布，即：2.總體比例

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為：

式中，1-α稱為置信水平；是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)面積為α/2時的臨界值；是估計(jì)總體比例時的允許誤差。例3：為了解某城市家庭電腦的普及情況，隨機(jī)抽取了100戶家庭，其中有60戶有電腦。試以95％的置信水平估計(jì)該城市家庭中擁有電腦比例的置信區(qū)間。解：已知n＝100，n1＝60,則樣本比例為：p＝60％由于1－

=95%，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可知，Zα/2=1.96。于是即該城市家庭中，擁有電腦的比例在置信水平95％下的置信區(qū)間為：（50.396％，69.604％）。

三、總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差在（1-α）置信水平下的置信區(qū)間為：例4：一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間。表8-725袋食品重量解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算樣本方差：S2=93.21；已知n＝25，1-

＝95%,查χ2分布表可得臨界值為：

總體方差

2置信水平為95%的置信區(qū)間為：

即：總體方差的置信區(qū)間為（56.83，180.39）。相應(yīng)地，企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7.54g～13.43g。第三節(jié)樣本容量的確定一、估計(jì)總體均值時樣本容量的確定

一旦確定了置信水平（1-α），Zα/2的值就確定了，對于給定的的值和總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，就可以確定任一希望的允許誤差所需要的樣本容量。令E代表所希望達(dá)到的允許誤差，即：由此可以推到出確定樣本容量的公式如下：例5：擁有MBA學(xué)位的研究生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為4000元，假定想要估計(jì)年薪95%的置信區(qū)間，希望允許誤差為10000元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？解：已知

=4000，E＝1000，1－

=95%，Zα/2＝1.96，所以，應(yīng)抽取的樣本容量為：即應(yīng)抽取62人作為樣本。二、估計(jì)總體比例時樣本容量的確定

一旦確定了置信水平（1-α），Zα/2的值就確定了。由于總體比例的值是固定的，所以允許誤差由樣本容量來確定，樣本容量越大允許誤差就越小。估計(jì)的精度就越好。因此，對于給定的的值，就可以確定任一希望的允許誤差所需要的樣本容量。令E代表所希望達(dá)到的允許誤差，即：

由此可以推導(dǎo)出重復(fù)抽樣和無限總體抽樣條件確定樣