《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(韓旭里-謝永欽版)教案

PAGE概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主編：韓旭里，謝永欽復(fù)旦大學(xué)出版社第一章概率論的基本概念引言：自然現(xiàn)象分兩類：1確定性現(xiàn)象.2隨機(jī)現(xiàn)象.

1在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象,稱為確定性現(xiàn)象.——特點(diǎn)：在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或觀察，它的結(jié)果總是確定不變的。

2在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而試驗(yàn)或觀察前，不能預(yù)知確切的結(jié)果。稱為隨機(jī)現(xiàn)象.——特點(diǎn)：即在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行觀測或試驗(yàn)，它的結(jié)果未必是相同的。雖然在個別試驗(yàn)中，其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但是人們經(jīng)過長期實(shí)踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下，這類現(xiàn)象的結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性——這種在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中，所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.概率論的有關(guān)應(yīng)用：概率論是數(shù)學(xué)的一個分支，它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，概率論的應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干擾性、分辨率等等.總之:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在自然科學(xué)和社會科學(xué)的很多領(lǐng)域都具有非常廣泛的應(yīng)用.我對此不再展開介紹了.§1樣本空間、隨機(jī)事件1.1隨機(jī)試驗(yàn)（E）試驗(yàn)的特點(diǎn):

1,可在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行;

2,每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確所有可能的結(jié)果.

3,進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).試驗(yàn)的例:

E1:拋一枚硬幣,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的現(xiàn)象.

E2:將一枚硬幣擲三次,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況.

E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).

E4:拋一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

E5:記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù).

E6:在一批燈泡中任取一只,測試它的壽命.

E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.1.2樣本空間、隨機(jī)事件(一)樣本空間對于隨機(jī)試驗(yàn),盡管在每次試驗(yàn)之前不能預(yù)知試驗(yàn)的結(jié)果,但試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果組成的集合是已知的,將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,記為Ω={ω1，ω2，ω3，…}.樣本空間的元素ω1，ω2，ω3，…,即E的每個基本結(jié)果,稱為樣本點(diǎn).例:

E1:拋一枚硬幣,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的現(xiàn)象.

Ω1:{H,T}

E2:將一枚硬幣擲三次,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況.

Ω2:{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};

E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).

Ω3:{0,1,2,3};

E4:拋一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

Ω4:{1,2,3,4,5,6};

E5:記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù).

Ω5:{0,1,2,3,...};

E6:在一批燈泡中任取一只,測試它的壽命.

Ω6:{t|t0}

E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.

Ω7:{(x,y)|T0xyT1},這里x表示最低溫度,y表示最高溫度.并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會小于T0,也不會大于T1.(二)隨機(jī)事件稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件,簡稱事件.在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱這一事件發(fā)生.

特別,由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集,稱為基本事件.例如,擲一次硬幣的實(shí)驗(yàn)E1有兩個基本事件{H}和{T};擲一次骰子的實(shí)驗(yàn)E4有6個基本事件{1},{2},{3},{4},{5},{6}.樣本空間S包含所有的樣本點(diǎn),它是S自身的子集,在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的,稱為必然事件,空集不包含任何樣本點(diǎn),它也作為樣本空間的子集,它在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生,稱為不可能事件.幾個事件的例子:

例1:在E2:擲三次硬幣觀察正反面出現(xiàn)情況中事件A1:"第一次出現(xiàn)的是H",即

A1={HHH,HHT,HTH,HTT}.

事件A2:"三次出現(xiàn)同一面",即

A2={HHH,TTT}

在E6:測試任取的一只燈泡壽命中,事件A3:"壽命小于1000小時(shí)",即

A3={t|0t<1000}(三)事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算事件是一個集合,因而事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算按照集合論中集合間的關(guān)系和集合運(yùn)算來處理.下面給出這些關(guān)系和運(yùn)算在概率論中的提法.并根據(jù)"事件發(fā)生"的含義,給出它們在概率論中的含義.

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,而A,B,Ak(k=1,2,...)是S的子集.

通常喜歡用一個矩形來代表S,其中的子區(qū)域代表一個事件.1,若AB,則稱事件B包含事件A,這是指的事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生.

若AB且BA,即A=B,則稱事件A與事件B相等.2,事件AB={x|xA或xB}稱為事件A與事件B的和事件.當(dāng)且僅當(dāng)A,B中至少有一個發(fā)生時(shí),事件AB發(fā)生.3,事件AB={x|xA且xB}稱為事件A與事件B的積事件.當(dāng)且僅當(dāng)A,B同時(shí)發(fā)生時(shí),事件AB發(fā)生.AB也記作AB4,事件AB={x|xA且xB}稱為事件A與事件B的差事件,當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生,B不發(fā)生時(shí)事件A--B發(fā)生.5.若AB=,則稱事件A與事件B是互不相容的,或互斥的,這指的是事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生,基本事件是兩兩互不相容的.6,若AB=S且AB=,則稱事件A與事件B互為逆事件,又稱事件A與事件B互為對立事件,這指的是對每次試驗(yàn)而言,事件A,B中必有一個發(fā)生,且僅有一個發(fā)生.A的對立事件記為在進(jìn)行事件運(yùn)算時(shí),經(jīng)常要用到下述定律.設(shè)A,B,C為事件,則有

交換律:AB=BA;AB=BA.

結(jié)合律:A(BC)=(AB)C;

A(BC)=(AB)C.

分配律:A(BC)=(AB)(AC);

A(BC)=(AB)(AC);（可推廣到有窮或可數(shù)無窮情形）

德?摩根律:例2試驗(yàn)為擲三次硬幣,事件A1:"第一次出現(xiàn)的是H",事件A2:"三次出現(xiàn)同一面",

A1={HHH,HHT,HTH,HTT},

A2={HHH,TTT},

A1A2={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT},

A1A2={HHH},

A2-A1={TTT},§2概率、古典概型2.1頻率，概率頻率1）定義在相同條件下,進(jìn)行了n次試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)k稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值k/n稱為事件A發(fā)生的頻率,并記成fn(A).2）頻率基本性質(zhì):

1,0fn(A)1;

2,fn(S)=1;

3,若A1,A2,...,Ak是兩兩互不相容的事件,則

fn(A1A2...Ak)=fn(A1)+fn(A2)+...+fn(An事件A發(fā)生的頻率表示A發(fā)生的頻繁程度，fn(A).大，事件發(fā)生越頻繁，在試驗(yàn)中，發(fā)生可能性就大2）頻率基本性質(zhì):

3）歷史上的擲硬幣試驗(yàn)試驗(yàn)者拋擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率m/n德.摩爾根204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998大量實(shí)驗(yàn)證實(shí),當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)增大時(shí),頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性,逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù),我們稱之為事件A的概率P(A),這叫大數(shù)定律.但是從純數(shù)學(xué)的角度看,概率無非是賦予事件A的一個實(shí)數(shù).（故我們用概率來表示事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大?。?/p>

因此,從純數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看問題,只要對每個事件賦予一個滿足一定性質(zhì)的實(shí)數(shù)就行,是不關(guān)心概率在實(shí)際中的情況的.數(shù)學(xué)對實(shí)際的應(yīng)用,都屬于某種方式的數(shù)學(xué)建模.概率1）定義設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn),S是它的樣本空間,對于E的每一事件A賦予一個實(shí)數(shù),記為P(A),稱為事件A的概率,如果集合函數(shù)P(?)滿足下列條件:

1,非負(fù)性:對于每一個事件A,有P(A)0;

2,規(guī)范性:對于必然事件S,有P(S)=1;

3,可列可加性:設(shè)A1,A2,...是兩兩互不相容事件,即對于ij,AiAj=,i,j=1,2,...,則有

P(A1A2...)=P(A1)+P(A2)+... (3.1)

概率P(A)2）概率性質(zhì)性質(zhì)1P()=0.證則令A(yù)n=f(n=1,2,...),則由概率的可列可加性(3.1)得注：不可能事件的概率為0，逆命題不成立（見第二章）性質(zhì)2(有限可加性)若A1,A2,...,An是兩兩互不相容的事件,則有

P(A1A2...An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

證令A(yù)n+1=An+2=...=,即有AiAj=f,i1j,i,j=1,2,由(3.1)式得性質(zhì)3設(shè)A,B是兩個事件,若AB,則有

P(B-A)=P(B)-P(A) P(B)P(A) 證由AB知B=A(B-A)(參見),且A(B-A)=,再由概率的有限可加性(3.2),得

P(B)=P(A)+P(B-A),

又由概率的非負(fù)性1,P(B-A)0知

P(B)P(A).性質(zhì)4對于任一事件A,P(A)1

證因AS,由性質(zhì)3得

P(A)P(S)=1

性質(zhì)5(逆事件的概率)對任一事件A,有性質(zhì)6(加法公式)對任意兩事件A,B有P(AèB)=P(A)+P(B)-P(AB).證因AB=A(B-AB)(參見),且A(B-AB)=,ABB,故由(3.2)及(3.3)得

P(AB)=P(A)+P(B-AB)

=P(A)+P(B)-P(AB).

(3.5)式還可推廣到多個事件,例如,設(shè)A,B,C為任意三個事件,則有P(AèBèC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) 例1.4：P92.2等可能概型(古典概型)1）定義：§1中所說的試驗(yàn)E1:拋一枚硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況,E4:擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),它們具有兩個共同的特點(diǎn):

1,試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個元素;

2,試驗(yàn)中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.

具有上面兩個特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為等可能概型,也稱為古典概型.設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為S={e1,e2,...,en}.由于在試驗(yàn)中每個基本事件發(fā)生的可能性相同,即有

P({e1})=P({e2})=...=P({en}).

又由于基本事件是兩兩互不相容的,于是

1=P(S)=P({e1}{e2}...{en})=

P({e1})+P({e2})+...+P({en})=nP({ei}),2）計(jì)算公式若事件A包含k個基本事件,即這里i1,i2,...,ik是1,2,...,n中某k個不同的數(shù).則有(4.1)式就是等可能概型中事件A的概率的計(jì)算公式例1將一枚硬幣拋擲三次.(1)設(shè)事件A1為"恰有一次出現(xiàn)正面",求P(A1);(2)設(shè)事件A2為"至少有一次出現(xiàn)正面",求P(A2).

解(1)考慮§1中E2的樣本空間:

S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.

而 A1={HTT,THT,TTH}.

故由(4.1)式,得注意：1）若本題考慮§1中E3的樣本空間:

S3={0,1,2,3}

則由于各個基本事件發(fā)生的可能性不相同,就不能利用(4.1)來計(jì)算P(A1)和P(A2).因而對本題來說,考慮樣本空間S2才能順利計(jì)算有關(guān)事件的頻率.2）當(dāng)樣本空間元素較多時(shí)，一般不一一列出，只分別求S和A中元素的個數(shù)例2一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球.從袋中取球兩次,每次隨機(jī)地取一只.考慮兩種取球方式:(a)第一次取一只球,觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再取一球.這種取球方式叫做放回抽樣.(b)第一次取一球不放回袋中,第二次從剩余的球中再取一球.這種取球方式叫做不放回抽樣,試分別就上面兩種情況求(1)取到的兩只球都是白球的概率;(2)取到的兩只球顏色相同的概率;(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.解(a)放回抽樣的情況.以A,B,C分別表示事件"取到的兩只球都是白球","取到的兩只球都是紅球","取到的兩只球中至少有一只是白球",易知"取到兩只顏色相同的球"這一事件即為AB,而由于AB=,得（b）不放回抽樣的情況例3將n只球隨機(jī)地放入N(Nn)個盒子中去,試求每個盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限).

解將n只球放入N個盒子,每種放法是一基本事件,共有NN...N=Nn種不同放法,而每個盒子中至多放一只球共有N(N-1)...[N-(n-1)]種不同放法,因而所求概率為許多問題和本例有相同的數(shù)學(xué)模型.例如,假設(shè)每人的生日在一年365天的任一天是等可能的,即都等于1/365,則隨機(jī)選取n(365)個人,他們的生日各不相同的概率為因而,n個人中至少有兩人生日相同的概率為經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果:n20233040p0.4110.5070.7060.891n5064100p0.9700.9970.9999997關(guān)于組合例4設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有D件次品,今從中任取n件,問其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?

解所求的概率為(4.2)式即所謂超幾何分布的概率公式.例5袋中有a只白球,b只紅球,k個人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽樣;(2)作不放回抽樣,求第i(i=1,2,...,k)個人取到白球(記為事件B)的概率(ka+b).

解(1)放回抽樣的情況,顯然有(2)不放回抽樣的情況.各人取一只球,每種值得注意的是P(B)與i無關(guān),即k個人取球,盡管取球的先后次序不同,各人取到白球的概率是一樣的,大家機(jī)會相同.另外還值得注意的是放回抽樣的情況與不放回抽樣的情況下P(B)是一樣的.例6在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù),問取到的數(shù)即不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

解設(shè)A為事件"取到的數(shù)能被6整除",B為事件"取到的數(shù)能被8整除",則所求概率為又由于一個數(shù)同時(shí)能被6與8整除,就相當(dāng)于能被24整除,因此,由例7將15名新生隨機(jī)地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一班級的概率是多少?

解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù)為每一種分配法為一基本事件,且由對稱性易知每個基本事件發(fā)生的可能性相同.(1)將3名優(yōu)秀生分配到三個班級使每個班級都有一名優(yōu)秀生的分法共3!種,對于這每一種分法,其余12名新生平均分配到三個班級中的分法共有12!/(4!4!4!)種.因此,每一班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有

(3!12!)/(4!4!4!)種.于是所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一班級的分法共有3種.對于這每一種分法,其余12名新生的分法(一個班級2名,另兩個班級各5名)有

12!/(2!5!5!)種,因此3名優(yōu)秀生分配在同一班級的分法共有(312!)/(2!5!5!)種,于是,所求概率為例8某接待站在某一同曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.

解假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定,而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的,那么,12次接待來訪者都是在周二,周四的概率為212/712=0.0000003.而"概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的"(稱之為實(shí)際推斷原理),因此可以推斷接待站不是每天都接待來訪者.即認(rèn)為接待時(shí)間是有規(guī)定的.作業(yè)2.3幾何概型§3條件概率、全概率公式3.1條件概率條件概率是概率論中的一個重要概念,所考慮的是事件A已發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率.。一般情況下，

例1，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A)=1/6，P(A|B)=？已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，B中共有3個元素，它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個在集A中于是P(A|B)=1/3.容易看到例1將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反面的情況.設(shè)事件A為"至少有一次為H",事件B為"兩次擲出同一面".現(xiàn)在求已知事件A已經(jīng)發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率.

樣本空間為S=(HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}.已知事件A已發(fā)生,知道"TT"不可能發(fā)生.即知試驗(yàn)所有可能結(jié)果所成的集合就是A,A中共有3個元素,其中只有HHB.于是,在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,記為P(B|A),為另外,易知既有對于一般古典概型問題,若仍以P(B|A)記事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,則關(guān)系式(5.1)仍然成立.事實(shí)上,設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為n,A所包含的基本事件數(shù)為m(m>0),AB所包含的基本事件數(shù)為k,即有定義設(shè)A,B是兩個事件,且P(A)>0,稱為在事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率.（二）條件概率性質(zhì)不難驗(yàn)證,條件概率P(|A)符合概率定義中的三個條件,即1,非負(fù)性:對任一事件B,有P(B|A)02,規(guī)范性:對于必然事件S,有P(S|A)=1;3,可列可加性:設(shè)B1,B2,...,是兩兩互斥事件,既然條件概率符合上述三個條件,上節(jié)中對概率重要結(jié)果都適用于條件概率.例如,對于任意事件B1,B2有

P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A).

條件概率P(A|B)實(shí)質(zhì)就是縮減了樣本空間上的事件的概率。由于已知事件B已經(jīng)發(fā)生，原樣本空間S縮減為B，在該空間上再進(jìn)一步計(jì)算事件A發(fā)生的概率(三)條件概率的計(jì)算（1）用定義計(jì)算:（2）在縮減的樣本空間上計(jì)算條件概率P(A|B)實(shí)質(zhì)就是縮減了樣本空間上的事件的概率。由于已知事件B已經(jīng)發(fā)生，原樣本空間S縮減為B，在該空間上再進(jìn)一步計(jì)算事件A發(fā)生的概率P(A|B)=1/3.B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}={2,4,6}；A={擲出2點(diǎn)}={2}在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個數(shù)

例2一盒子裝有4只產(chǎn)品,其中有3只一等品,1只二等品,從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設(shè)事件A為"第一次取到的是一等品",事件B為"第二次取到的是一等品".試求條件概率P(B|A).解易知此屬古典概型問題.將產(chǎn)品編號,1,2,3號為一等品;4號為二等品.以(i,j)表示第一次,第二次分別取到第i號,第j號產(chǎn)品.試驗(yàn)E(取產(chǎn)品兩次,記錄其號碼)的樣本空間為

S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1),(4,2),(4,3)},共12個基本事件組成,

A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)},共9個基本事件組成,

AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.

共6個基本事件組成.按(5.2)式,得條件概率也可以直接按條件概率的含義來求P(B|A).我們知道,當(dāng)A發(fā)生以后,試驗(yàn)E所有可能結(jié)果的集合就是A,A中有9個元素,其中只有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)屬于B,故可得（二）乘法定理由條件概率的定義(5.2)可得乘法定理設(shè)P(A)>0,則有P(AB)=P(A)P(B|A) (5.3)上式容易推廣到多個事件的積事件的情況.例如,設(shè)A,B,C為事件,且P(AB)>0,則有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4)一般地,設(shè)A1,A2,...,An為n個事件,n2,且P(A1A2...An1)>0,則有P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1P(An1|A1A2...An2)P(An|A1A2...An設(shè)袋中裝有r只紅球,t只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色后放回,并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次,試求第一,二次取到紅球且第三,四次取到白球的概率.

解以Ai(i=1,2,3,4)表示事件"第i次取到紅球",例4某種透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下來未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.

解以Ai(i=1,2,3)表示事件"透鏡第i次落下打破",以B表示事件"透鏡落下三次而未打破,則3.2全概率公式和貝葉斯公式

（一）定義設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間,B1,B2,...,Bn為E的一組事件,若

(1)BiBj=,ij,i,j=1,2,...,n;

(2)B1B2...Bn=S,

則稱B1,B2,...,Bn為樣本空間的一個劃分.

若B1,B2,...,Bn是樣本空間的一個劃分,那么,對于每次試驗(yàn),事件B1,B2,...,Bn中必有一個且僅有一個發(fā)生.劃分的圖示（二）全概率公式定理設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A為E的事件,B1,B2,...,Bn為S的一個劃分,且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),則(5.6)式稱為全概率公式.證因?yàn)?/p>

A=AS=A(B1B2...Bn)=AB1AB2...ABn,

由假設(shè)P(Bi)>0(i=1,2,...,n),且(ABi)(ABj)=,ij,

i,j=1,2,...,n得到

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...

+P(A|Bn)P(Bn).（三）貝葉斯公式定理設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S.A為E的事件,B1,B2,...,Bn為S的一個劃分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,...,n),則下面的貝葉斯公式成立:證由條件概率的定義及全概率公式得特別在(5.6),(5.7)中取n=2,并將B1記為B,此時(shí)這兩個公式是常用的.例5某電子設(shè)備廠所用元件由三家元件廠供給,根據(jù)以往紀(jì)錄有以下數(shù)據(jù):元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05解設(shè)A表示"取到次品",Bi表示"產(chǎn)品來自第i家廠",則B1,B2,B3構(gòu)成劃分,P(B1)=0.15,P(B2)=0.8,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.

(1)由全概率公式

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)

=0.0125.

(2)由貝葉斯公式例6對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí),產(chǎn)品的合格率為98%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí),其合格率為55%.每天早上調(diào)整良好的概率為95％.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí),機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少?

解設(shè)A為事件"產(chǎn)品合格",B為"機(jī)器調(diào)整良好"這就是說,當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時(shí),此時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為0.97.這里,概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗(yàn)概率.而在得到信息(即生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做后驗(yàn)概率.有了后驗(yàn)概率我們就能對機(jī)器的情況有進(jìn)一步的了解.例7某種癥斷癌癥的試驗(yàn)有如下效果:若以A表示事件"試驗(yàn)反應(yīng)為陽性",以C表示事件"被論斷者有癌癥",則有P(A|C)=0.95,,設(shè)被試人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)=0.005,試求P(C|A).解已知P(A|C)=0.95,,由貝葉斯公式本題結(jié)果表明,雖然這兩個概率都比較高,但若將此試驗(yàn)用于普查,則有P(C|A)=0.087,亦即其正確性只有8.7%(平均1000個具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人確患有癌癥),如果不注意到這一點(diǎn),將會得出錯誤的診斷,這也說明,若將P(A|C)和P(C|A)混淆了會造成不良的后果.§4獨(dú)立性設(shè)A,B是試驗(yàn)E的兩事件,若P(A)>0,可以定義P(B|A).一般,A的發(fā)生對B發(fā)生的概率是有影響的,這時(shí)P(B|A)P(B)，只有在這種影響不存在時(shí)才會有P(B|A)=P(B),？P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)例1設(shè)試驗(yàn)E為"拋甲,乙兩枚硬幣,觀察正反面出現(xiàn)的情況".設(shè)事件A為"甲幣出現(xiàn)H",事件B為"乙?guī)懦霈F(xiàn)H".E的樣本空間為

S={HH,HT,TH,TT}.

則有可知P(B|A)=P(B),而P(AB)=P(A)P(B).事實(shí)上,由題意,甲幣是否出現(xiàn)正面與乙?guī)攀欠癯霈F(xiàn)正面是互不影響的.這就是說，已知事件A發(fā)生，并不影響事件B發(fā)生的概率，這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立1.兩個事件的獨(dú)立性（一）定義設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B), (6.1)

則稱事件A,B相互獨(dú)立,簡稱A,B獨(dú)立.注意必然事件與任何事件獨(dú)立不可能事件與任何事件獨(dú)立

容易知道,若P(A)>0,P(B)>0則A,B相互獨(dú)立與A,B互不相容不能同時(shí)成立.

定理一設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0,若A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B)反之亦然.定理二若事件A與B相互獨(dú)立,則,和都相互獨(dú)立.證因?yàn)?得, .因此相互獨(dú)立,由此可立即推出相互獨(dú)立,又推出相互獨(dú)立.例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}問事件A、B是否獨(dú)立？解：1）由于P(A)=4/52=1/13,P(B)=26/52=1/2P(AB)=2/52=1/26可見,P(AB)=P(A)P(B)說明事件A、B獨(dú)立2）由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13P(A)=P(A|B),說明事件A、B獨(dú)立.2.多個事件的獨(dú)立性定義設(shè)A,B,C是三個事件,如果滿足等式則稱事件A,B,C相互獨(dú)立.一般,設(shè)A1,A2,...,An(n2)個事件,如果對于其中任意2個,任意3個,...,任意n個事件的積事件的概率,都等于各事件概率之積,則稱事件A1,A2,...,An相互獨(dú)立.由定義可以得到以下兩點(diǎn)推論.

1若事件A1,A2,...,An(n2)相互獨(dú)立,則其中任意k(2kn)個事件也是相互獨(dú)立的.

2若n個事件A1,A2,...,An(n2)相互獨(dú)立,則將A1,A2,...,An中任意多個換成它們的對立事件,所得的n個事件仍相互獨(dú)立.3若A1,…,An相互獨(dú)立，則即：n個獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.4注意：多個事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系兩事件相互獨(dú)立的含義是它們中一個已發(fā)生,不影響另一個發(fā)生的概率.在實(shí)際應(yīng)用中,對于事件的獨(dú)立性常常是根據(jù)事件的實(shí)際意義去判斷.一般,若由實(shí)際情況分析,A,B兩事件之間沒有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很微弱,那就認(rèn)為它們是相互獨(dú)立的.例如,A,B分別表示甲乙兩人患感冒.如果甲乙兩人的活動范圍相距甚遠(yuǎn),就認(rèn)為A,B相互獨(dú)立,若甲乙兩人是同住在一個房間里的,那就不能認(rèn)為A,B相互獨(dú)立了.例1甲，乙，丙三人同時(shí)獨(dú)立向同一目標(biāo)射擊，他們射中目標(biāo)的概率分別為0.4,0.5,0.7。求(1)至少有一人射中目標(biāo)的概率(2)恰有一人射中目標(biāo)的概率例2P23例1.23例3一個元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件(或系統(tǒng))的可靠性.如圖,設(shè)有4個獨(dú)立工作的元件1,2,3,4按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式聯(lián)接.設(shè)第i個元件的可靠性為pi(i=1,2,3,4),求系統(tǒng)的可靠性.121234解以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i個元件正常工作,以A表示系統(tǒng)正常工作.

A=A1A2A3A4

由系統(tǒng)的獨(dú)立性,得系統(tǒng)的可靠性:

P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)

=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=p1p2+p3p4例4要驗(yàn)收一批(100件)樂器,驗(yàn)收方案如下:自該批樂器中隨機(jī)地取3件測試(設(shè)3件樂器的測試是相互獨(dú)立的),如果3件中至少有一件在測試中被認(rèn)為音色不純,則這批樂器就被拒絕接收.設(shè)一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為0.95,而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認(rèn)為不純的概率為0.01.如果已知這100件樂器中恰有4件音色不純的.試問這批樂器被接收的概率是多少?解設(shè)以Hi(i=0,1,2,3)表示事件"隨機(jī)地取出3件樂器,其中恰有i件音色不純",H0,H1,H2,H3是S的一個劃分,以A表示事件"這批樂器被接收".已知一件音色純的樂器,經(jīng)測試被認(rèn)為音色純的概率為0.99,而一件音色不純的樂器,經(jīng)測試被誤認(rèn)為音色純的概率為0.05,并且3件樂器的測試是相互獨(dú)立的,于是有

P(A|H0)=(0.99)3,P(A|H1)=(0.99)20.05,

P(A|H2)=0.99(0.05)2,P(A|H3)=(0.05)3,例5甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,每局甲勝的概率為p,p1/2.問對甲而言,采用三局二勝制有利,還是采用五局三勝制有利.設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.

解采用三局二勝制,甲最終獲勝,其勝局的情況是:"甲甲"或"乙甲甲"或"甲乙甲".而這三種結(jié)局互不相容,于是由獨(dú)立性得甲最終獲勝的概率為

p1=p2+2p2(1-p).采用五局三勝制,甲最終獲勝,至少需比賽3局(可能賽3,4,5局),最后一局必需是甲勝,前面甲需勝二局.例如,共賽4局,可能的情況是:"甲乙甲甲","乙甲甲甲","甲甲乙甲",且這三種結(jié)局互不相容,由獨(dú)立性得甲獲勝的概率為而p2--p1=3p2(p-1)2(2p-1)當(dāng)p>(1/2)時(shí)p2>p1;故對甲來說采用五局三勝制為有利.作業(yè)：伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)概型n重伯努利試驗(yàn)概型：(試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立的進(jìn)行n次概率模型)1試驗(yàn)可重復(fù)n次，每次試驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果：且2每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無關(guān)——稱為這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率記為設(shè)E為伯努利試驗(yàn)，且P(A)=p(0<p<1)，對于n重伯努利概型En，事件A恰好發(fā)生k(0￡k￡n)次的概率為k=0,1,2,…,n例1某射手的命中率為0.9，他獨(dú)立重復(fù)向目標(biāo)射擊5次，求他恰好命中4次的概率.(2)他恰好不命中3次的概率.例2P25例1.25，1.26，1.27第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量§1.1隨機(jī)試驗(yàn)引入隨機(jī)變量X,X的概率為了全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,將隨機(jī)試驗(yàn)的每一個可能結(jié)果與一個實(shí)數(shù)對應(yīng)起來,將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,引入隨機(jī)變量的概念.

在隨機(jī)試驗(yàn)完成時(shí),人們常常不是關(guān)心試驗(yàn)結(jié)果本身,而是對于試驗(yàn)結(jié)果聯(lián)系著的某個數(shù)感興趣.例1在一袋中裝有編號分別為1,2,3的3只球.在袋中任取一只球,放回.再取一只球,記錄它們的編號.計(jì)算兩只球的號碼之和.試驗(yàn)的樣本空間S={e}={i,j},i,j=1,2,3.這里i,j分別表示第一,二球的號碼.以X記兩球號碼之和,對于每一個樣本點(diǎn)e,X都有一個值與之對應(yīng),如圖所示.試驗(yàn)的樣本空間S={e}={i,j},i,j=1,2,3.這里i,j分別表示第一,二球的號碼.以X記兩球號碼之和,對于每一個樣本點(diǎn)e,X都有一個值與之對應(yīng),如圖所示.例2將一枚硬幣拋擲3次.關(guān)心3次拋擲中,出現(xiàn)H的總次數(shù),而對H,T出現(xiàn)的順序不關(guān)心.比如說,我們僅關(guān)心出現(xiàn)H的總次數(shù)為2,而不在乎出現(xiàn)的是"HHT","HTH"還是"THH".以X記三次拋擲中出現(xiàn)H的總數(shù),則對樣本空間S={e}中的每一個樣本點(diǎn)e,X都有一個值與之對應(yīng),即有樣本點(diǎn)HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110§1.2隨機(jī)變量（一）定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}.X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù).稱X=X(e)為隨機(jī)變量.有許多隨機(jī)試驗(yàn),它的結(jié)果本身是一個數(shù),即樣本點(diǎn)e本身是一個數(shù).我們令X=X(e)=e,則X就是一個隨機(jī)變量.例如,用Y記某車間一天的缺勤人數(shù),以W記錄某地區(qū)第一季度的降雨量,以Z記某工廠一天的耗電量,以N記某醫(yī)院某一天的掛號人數(shù).那么Y,W,Z,N都是隨機(jī)變量.

本書中,一般以大寫字母如X,Y,Z,W,...表示隨機(jī)變量,而以小寫字母x,y,z,w,...表示實(shí)數(shù).（二）隨機(jī)變量的概率規(guī)律隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定,而試驗(yàn)的各個結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率,因而隨機(jī)變量的取值有一定的概率.例如,在例2中X取值為2,記成{X=2},對應(yīng)于樣本點(diǎn)的集合A={HHT,HTH,THH},這是一個事件,當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)有{X=2}.則稱P(A)=P{HHT,HTH,THH}為{X=2}的概率,即P(X=2)=P(A)=3/8.類似地有一般,若L是一個實(shí)數(shù)集合,將X在L上取值寫成{X?L}.它表示事件B={e|X(e)?L},即B是由S中使得X(e)?L的所有樣本點(diǎn)e所組成的事件.此時(shí)有

P{X?L}=P(B)=P{e|X(e)?L},

隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定,在試驗(yàn)之前不能預(yù)知它取什么值,且它的取值有一定的概率.這些性質(zhì)顯示了隨機(jī)變量與普通函數(shù)有著本質(zhì)的差異.有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來。隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件。引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.§2.1離散型隨機(jī)變量及其分布律有些隨機(jī)變量,它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.例如§1例2中的隨機(jī)變量X,它只可能取0,1,2,3四個值,它是一個離散型隨機(jī)變量.又如某城市的120急救電話臺一晝夜收到的呼喚次數(shù)也是離散型隨機(jī)變量.若以T記某元件的壽命,它所可能取的值充滿一個區(qū)間,是無法按一定次序一一列舉出來的,因而它是一個非離散型的隨機(jī)變量.本節(jié)討論離散型隨機(jī)變量要掌握一個離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,必須且只需知道X的所有可能取的值及取每一個可能值的概率.

設(shè)X所有可能取的值為xk(k=1,2,...),而

P{X=xk}=pk,k=1,2, (2.1)

由概率的定義,pk滿足如下兩個條件稱(2.1)式為離散型隨機(jī)變量X的分布律.分布律也可用表格的形式來表示:Xx1x2...xn...pkp1p2...pn...例1設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號燈,每組信號燈以1/2概率允許或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時(shí),它已通過的信號燈組數(shù)(設(shè)各組信號燈的工作是相互獨(dú)立的),求X的分布律.

解以p表示每組信號燈禁止汽車通過的概率,易知X的分布律為X01234pkp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4P={X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4.以p=1/2代入得X01234pk0.50.250.1250.06250.0625下面介紹三種重要的離散型隨機(jī)變量.(一)兩點(diǎn)分布，(0-1)分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取x1，x2(0與1)兩個值,它的分布律是

P(X=x1)=1-p,P(X=x2)=p(0<p<1),

則稱X服從兩點(diǎn)分布或(0-1)分布.

(0-1)分布的分布律也可寫成X01pk1-pp對一個隨機(jī)試驗(yàn)中的任何一個給定的事件A,0<P(A)<1,都可以根據(jù)事件A定義一個服從0-1分布的隨機(jī)變量來描述.例如,對新生嬰兒的性別進(jìn)行登記,檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格,某車間的電力消耗是否超過負(fù)荷以及前面多次討論過的"拋硬幣"試驗(yàn)等都可以用(0-1)分布的隨機(jī)變量來描述.(0-1)分布是經(jīng)常遇到的一種分布.定義隨機(jī)變量X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),我們來求它的分布律.X所有可能取的值為0,1,2,...,n.由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,因此事件A在指定的k(0kn)次試驗(yàn)中發(fā)生,在其它nk次試驗(yàn)中A不發(fā)生的概率為若隨機(jī)變量X的分布律為：n,p的二項(xiàng)分布,記為X~b(n,p).q=1-p,二項(xiàng)分布模型：描敘n重貝努力試驗(yàn)中時(shí)間A出現(xiàn)次數(shù)，射手射擊n次中中的次數(shù)的，拋n次硬幣出現(xiàn)正面次數(shù)概率分布等等例2按規(guī)定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)的為一級品.已知一大批產(chǎn)品的一級品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查20只.問20只元件中恰有k只(k=0,1,...,20)為一級品的概率是多少?

解這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查的元件數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而可以當(dāng)作放回抽樣來處理,這樣做會有一些誤差,但誤差不大.檢查一只元件看它是否為一級品,檢查20只元件相當(dāng)于20重貝努利試驗(yàn),以X記其中一級品總數(shù),則X~b(20,0.2).由(2.6)式即得所求概率為將計(jì)算結(jié)果列表如下:P(X=0)=0.012P(X=4)=0.218P(X=8)=0.022P(X=1)=0.058P(X=5)=0.175P(X=9)=0.007P(X=2)=0.137P(X=6)=0.109P(X=10)=0.002P(X=0)=0.205P(X=7)=0.055

P{X=k}<0.001,當(dāng)k311時(shí)計(jì)算結(jié)果的圖形:注意：當(dāng)n很大時(shí)，計(jì)算麻煩，給出當(dāng)n很大而p或者1-p很小時(shí)的近似計(jì)算公式：定理2.1泊松定理設(shè)npn=（>0是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)），則對任意一固定的非負(fù)整數(shù)k,有此定理表明，當(dāng)n很大p很小時(shí)，二項(xiàng)分布的泊松近似，常被應(yīng)用于研究稀有事件（即每次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率p很小）例3某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.

解將一次射擊看成是一次試驗(yàn).設(shè)擊中的次數(shù)為X,則X~b(400,0.02).X的分布律為P{X2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.例4設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理,考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺;其二是由3人共同維護(hù)80臺.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.

解按第一種方法,以X記"第1人維護(hù)的20臺中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺數(shù)",以Ai(i=1,2,3,4)表示事件"第i人維護(hù)的30臺中發(fā)生故障不能及時(shí)維修".則知80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為

P(A1A2A3A4)P(A1)=P(X2).

而X~b(20,0.01),故有即有P(A1A2A3A4)0.0169.按第二種方法,以Y記80臺中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺數(shù).此時(shí),Y~b(80,0.01),故80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為可以看出,在后一種情況下盡管任務(wù)重了(每人平均維護(hù)約27臺),但工作效率不僅沒有降低,反而提高了.泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,...,而取各個值的概率為其中>0是常數(shù).則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X~p().易知,P(X=k)0,k=0,1,2,...,且有泊松定理知，泊松分布常被應(yīng)用于研究稀有事件（即每次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率p很?。?.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)對于非離散型隨機(jī)變量X,由于其可能取的值不能一個一個地列舉出來,因而就不能像離散型隨機(jī)變量那樣可以用分布律來描述它.另外,通常所遇到的非離散型隨機(jī)變量取任一指定的實(shí)數(shù)值的概率都等于0.再者,在實(shí)際中,對于這樣的隨機(jī)變量,例如誤差,元件的壽命T等,我們并不會對誤差=0.05(mm),壽命T=1251.3(h)的概率感興趣,而是考慮誤差落在某個區(qū)間的概率,壽命T大于某個數(shù)的概率.因而我們轉(zhuǎn)而去研究隨機(jī)變量所取的值落在一個區(qū)間的概率,P{x1<Xx2}.由于

P{x1<Xx2}=P{xx2}-P{xx1}.

所以我們只需知道P{xx2}和P{xx1}就可以了.由此引出分布函數(shù)的概念.

（一）定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量,x是任意實(shí)數(shù).函數(shù)F(x)=P{Xx}

稱為X的分布函數(shù).

對于任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2),有

P{x1<Xx2}=P{xx2}-P{xx1}=F(x2)-F(x1), (3.1)

稱為X的分布函數(shù).分布函數(shù)是一個普通的函數(shù),正是通過它,我們能用數(shù)學(xué)分析的方法來研究隨機(jī)變量.

如果將X看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),則分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值就表示X落在區(qū)間(-,x]上的概率.

分布函數(shù)F(x)具有以下的基本性質(zhì):

1,F(x)是一個不減函數(shù).

事實(shí)上,由(3.1)式對于任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2)有

F(x2)F(x1)=P{x1<Xx2}0.2,0F(x)1,如圖,將區(qū)間端點(diǎn)x沿?cái)?shù)軸無限向左移動(即x-,則"隨機(jī)點(diǎn)X落在x左邊"這一事件趨于不可能事件,從而其概率趨于0,即有F(-)=0;又若將點(diǎn)x無限右移,(即x),則"隨機(jī)點(diǎn)X落在x左邊"這一事件趨于必然事件,從而其概率趨于1,即有F()=1.3F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續(xù)的(例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-123pk1/41/21/4解X僅在x=-1,2,3三點(diǎn)處其概率0,而F(x)的值是Xx的累積概率值,由概率的有限可加性,知它即為小于或等于x的那些xk處的概率pk之和.X-123pk1/41/21/4由此得F(x)的圖形為一般,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xk}=pk,k=1,2,

由概率的可列可加性得X的分布函數(shù)為這里和式是對于所有滿足xkx的k求和的.分布函數(shù)F(x)在x=xk(k=1,2,...)處有跳躍,其跳躍值為pk=P{X=xk}.重點(diǎn)：已知分布函數(shù)F(x)求分布律{pk}，已知分布律求分布函數(shù)作業(yè)第二章習(xí)題請?zhí)釂枴?連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度§3。1引入例2一個靶子是半徑為2米的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).

解若x<0,則{Xx}是不可能事件,于是

F(x)=P{Xx}=0.

若0x2,由題意,P{0Xx}=kx2,k是某一常數(shù),為了確定k的值,取x=2,有P{0X2}=22k.但已知P{0X2}=1,故得k=1/4,即于是若x2,由題意{Xx}是必然事件,于是 F(x)=P{Xx}=1.綜上所述,即得X的分布函數(shù)為它的圖形是一條連續(xù)曲線如圖所示另外,容易看到本例中的分布函數(shù)F(x)對于任意x可以寫成形式其中這就是說,F(x)是非負(fù)函數(shù)f(t)在區(qū)間(,x)上的積分,在這種情況下我們稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量.對照f(x)和F(x)圖形（一）定義：如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x),使對于任意實(shí)數(shù)x有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中遇到的基本上是離散型或連續(xù)型隨機(jī)變量.本課程只討論這兩種隨機(jī)變量.（二）概率密度f(x)性質(zhì):由性質(zhì)2知道介于曲線y=f(x)與Ox軸之間的面積等于1.由性質(zhì)3知道X落在區(qū)間(x1,x2]的概率P{x1<Xx2}等于區(qū)間(x1,x2]上的曲線y=f(x)之下的曲邊梯形面積.由性質(zhì)4在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處有看出概率密度的定義與物理學(xué)中的線密度的定義相類似,這就是為什么稱f(x)為概率密度的原因.由(4.2)式知道,若不計(jì)高階無窮小,有 P(x<Xx+dx)f(x)dx. (4.3)例1設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度解f(x)的曲線形狀如圖所示(2)X的分布函數(shù)為F(x)與f(x)的對照圖X的分布函數(shù)為對于連續(xù)型隨機(jī)變量X來說,它取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0,即P{X=a}=0.事實(shí)上,設(shè)X的分布函數(shù)為F(x),x>0,則由

{X=a}{a-dx<Xa}得

0P{X=a}P{a-dx<Xa}=F(a)F(a-dx).

在上述不等式中令x0,并注意到X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的,即得P{X=a}=0. (4.4)因此,在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí),可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間.例如有

P{a<Xb}=P{aXb}=P{a<X<b}.

在這里,事件{X=a}并非不可能事件,但有P{X=a}=0.這就是說,若A是不可能事件,則有P(A)=0;反之,若P(A)=0,并不一定意味著A是不可能事件.

注意：以后當(dāng)提到一個隨機(jī)變量X的"概率分布"時(shí),指的是它的分布函數(shù);或者,當(dāng)X是連續(xù)型時(shí)指的是它的概率密度,當(dāng)X是離散型是指的是它的分布律.介紹三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為X~U(a,b).如X~U(a,b),則它落在(a,b)中任意子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān).任給長度為l的子區(qū)間(c,c+l),ac<c+lb,有由(4.1)式得X的分布函數(shù)為例2設(shè)電阻值R是一個隨機(jī)變量,均勻分布在900~1100.求R的概率密度及R落在950~1050的概率.

解按題意,R的概率密度為指數(shù)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中>0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.容易得到X的分布函數(shù)為f(x)的圖形:如X服從指數(shù)分布,則任給s,t>0,有

P{X>s+t|X>s}=P{X>t} (4.9)

事實(shí)上性質(zhì)(4.9)稱為無記憶性.指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的運(yùn)用.正態(tài)分布）定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中,(>0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記為X~N(2).顯然f(x)0,下面來證明令(x-m)/s=t,得到2）f(x)的圖形:f(x)具有的性質(zhì):

1,曲線關(guān)于x=對稱.這表明對于任意h>0有

P{-h<X}=P{<X+h}.

2,當(dāng)x=時(shí)取到最大值x離越遠(yuǎn),f(x)的值越小.這表明對于同樣長度的區(qū)間,當(dāng)區(qū)間離越遠(yuǎn),X落在這個區(qū)間上的概率越小.3，在x=處曲線有拐點(diǎn).曲線以O(shè)x軸為漸近線.4，固定（位置參數(shù)），（精度參數(shù)）越小，圖形越陡，因而X落在附近的概率越大，若固定，改變圖形平移，形狀不變由(4.10)式得X的分布函數(shù)為3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)=0,=1時(shí)稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其概率密度和分布函數(shù)分別用表示,即有易知 (4.15)人們已經(jīng)編制了的函數(shù)表,可供查用(見附表2).引理若X~N(,2),則證：由此知Z~N(0,1).若X~N(,2)則它的分布函數(shù)F(x)可寫成:則對于任意區(qū)間(x1,x2],有例如,設(shè)X~N(1,4),查表得設(shè)X~N(,2),由的函數(shù)表還能得到:

P{<X<+}=(1)(1)

=2(1)1=68.26%

P{2<X<+2}=(2)(2)=95.44%

P{3<X<+3}=(3)(3)=99.74%

我們看到,盡管正態(tài)變量的取值范圍是(,),但它的值落在(-3,+3)內(nèi)幾乎是肯定的事.這就是人們所談的"3"法則.例3將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi).調(diào)節(jié)器整定在d°C,液體的溫度X(以°C計(jì))是一個隨機(jī)變量,且X~N(d,0.52).(1)若d=90,求X小于89的概率.(2)若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99,問d至少為多少?

解(1)所求概率為(2)按題意需求d滿足設(shè)X~N(0,1),若z滿足條件

P{X>za}=a, 0<a<1, (4.18)

則稱點(diǎn)za為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位點(diǎn).

由的對稱性知z1-a=--za§4隨機(jī)變量的函數(shù)的分布在實(shí)際中經(jīng)常對某些隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣.例如,在一些試驗(yàn)中,所關(guān)心的隨機(jī)變量往往不能直接由測量得到,而它卻是某個能直接測量的隨機(jī)變量的函數(shù).比如我們能測量圓軸的直徑d,而關(guān)心的卻是截面積A=pid2/4.這里,隨機(jī)變量A是隨機(jī)變量d的函數(shù).一般地，設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量，y=g(x)是一個已知函數(shù)，如果當(dāng)X取值x時(shí)，Y取值為g(x)，則稱Y是隨機(jī)變量X的函數(shù),記作Y=g(X).下面討論如何由已知的隨機(jī)變量X的概率分布去求得它的函數(shù)Y=g(X)(g()是已知的連續(xù)函數(shù))的概率分布.一離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1設(shè)隨機(jī)變量X具有以下的分布律,試求Y=X+2,的分布律.X-1012pk0.20.30.10.4解Y所有可能值為1,2,3,4,由P{Y=1}=P{X+2=1}=P{X=-1}=0.2,P{Y=2}=P{X=0}=0.3P{Y=3}=P{X=1}=0.`P{Y=4}=P{X=1}=0.4寫出Y的分布律Y=X+21234pk0.10.30.10.4步驟：1、確定Y的取值y1,y2,…yi…這里yi=g(xi)2、求概率P{Y=yi}=piP{X=xi}=pi3、列出概率分布表一般地，若X的分布列為Xx1x2……xk……Pp1p2……pk……則Y=g(X)的分布列為Yg(x1)g(x2)……g(xk)……Pp1p2……pk……如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可.例1設(shè)隨機(jī)變量X具有以下的分布律,試求Y=(X-1)2的分布律.X-1012pk0.20.30.10.4解Y所有可能值為0,1,4,由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,Y014pk0.10.70.2二連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度求變量Y=2X+8的概率密度.解分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).下面先來求FY(y).將FY(y)關(guān)于y求導(dǎo)數(shù),得Y=2X+8的概率密度為例3設(shè)隨機(jī)變量X~N(,2).試求X的線性函數(shù)Y=aX+b(a10)的概率密度.

1.當(dāng)y=g(x)是單調(diào)函數(shù)定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x),<x<,又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)'(x)>0(或恒有g(shù)'(x)<0),則Y=g(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為其中=min(g(-),g()),=max(g(-),g()),h(y)是g(x)的反函數(shù).證先設(shè)g'(x)>0.此時(shí)g(x)在(￥,￥)嚴(yán)格單調(diào)增加,它的反函數(shù)h(y)存在,且在()嚴(yán)格單調(diào)增加,可導(dǎo).分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).

因Y在()取值,故當(dāng)y￡時(shí),FY(y)=P{Y￡y}=0;當(dāng)y3時(shí),FY(y)=P{Y￡y}=1.

當(dāng)<y<時(shí),

FY(y)=P{Y￡y}=P{g(X)￡y}

=P{X￡h(y)}=FX[h(y)].FY(y)=FX[h(y)].

將FY(y)關(guān)于y求導(dǎo)數(shù),即得Y的概率密度對于g'(x)<0的情況同樣可以證明,有合并(5.3),(5.4)式得證.如fX(x)在有限區(qū)間[a,b]以外等于零,只需成立在[a,b]上恒有g(shù)'(x)>0(或恒有g(shù)'(x)<0),上述定理依然成立,但此時(shí)有

=min[g(a),g(b)],=max[g(a),g(b)].例3設(shè)隨機(jī)變量X~N(,2).試證明X的線性函數(shù)Y=aX+b(a10)也服從正態(tài)分布證明：見教材p54用公式法證明2.當(dāng)y=g(x)是非單調(diào)函數(shù)對于分區(qū)間分段單調(diào)函數(shù)，可以分段利用公式求出密度函數(shù)，再求和例3設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x),-<x<,求Y=X2的概率密度.

(思路：先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)得概率密度)解分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).由于Y=X20,故當(dāng)y0時(shí)FY(y)=0.當(dāng)y>0時(shí)有將FY(y)關(guān)于y求導(dǎo)數(shù),即得Y的概率密度為例題已知隨機(jī)變量X~U[0,p],求Y=sinX的概率密度fY(y)從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y)的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從{g(X)≤y}中解出X,得一個與{g(X)≤y}等價(jià)的X的不等式這樣做是為了利用已知的X的分布，從而求出相應(yīng)的概率..總結(jié)：求隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的概率密度的方法：法一：求分布函數(shù)法（先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)得概率密度）法二：公式法（若嚴(yán)格單調(diào)或分段嚴(yán)格單調(diào)，）:第三章多維隨機(jī)變量及其分布3.1二維隨機(jī)變量在很多實(shí)際問題中，需要考慮兩個或兩個以上的隨機(jī)變量。先看兩個隨機(jī)變量：二維隨機(jī)變量（X,Y)的性質(zhì)不僅與X及Y有關(guān)，而且還依賴于這兩個隨機(jī)變量的相互關(guān)系。定義：設(shè)E是一個隨機(jī)試驗(yàn)，他的樣本空間是S,設(shè)XY是定義在同一樣本空間S上的兩個隨機(jī)變量，則稱X，Y為S上的二維隨機(jī)向量(變量),簡記（X,Y）注意：還可以類似推廣到n維隨機(jī)向量或隨機(jī)變量（X1,X2,…XN）一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)；二維隨機(jī)變量(X,Y)——R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)；……n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)。多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。一聯(lián)合分布函數(shù)1．定義設(shè)（X,Y)是二維隨機(jī)變量，對任意的實(shí)數(shù)x,y,令F(x,y)=P({X￡x}∩{Y￡y})=P{X￡x,Y￡y}.則稱F(x,y)為（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。即F(x,y)為事件{X￡x}與{Y￡y}同時(shí)發(fā)生的概率。分布函數(shù)的幾何意義如果用平面上的點(diǎn)(x,y)表示二維隨機(jī)變量(X,Y)的一組可能的取值，則F(x,y)表示(X,Y)的取值落入下圖所示的角形區(qū)域的概率即：隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域-∞＜X≤x，-∞＜Y≤y中的概率xyxy(x,y)2．F(x,y)的性質(zhì)性質(zhì)1對于x和y,F(x,y)都是單調(diào)不減函數(shù)，即若x1<x2,對任意的實(shí)數(shù)y，則有F(x1,y)￡F(x2,y)；若y1<y2,對任意的實(shí)數(shù)x，則有F(x,y1)￡F(x,y2)性質(zhì)2對于任意的實(shí)數(shù)x,y,均有0￡F(x,y)￡1,性質(zhì)3對于x和y，F(xiàn)(x,y)都是右連續(xù)的，即對任意的實(shí)數(shù)x0和y0，均有F(x,y)=F(x0F(x,y)=F(x0,y),F(x,y)=FF(x,y)=F(x,y0)性質(zhì)4若x1<x2,y1<y2,則P{x1<X￡x2,y1<Y￡y2}=F(x2,,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)>=0幾何意義如下:(x(x2,y2)(x1,y1)xxy二．二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律1定義如果二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到的不同的值是有限對或可列無限多對，則稱(X,Y)是離散型的隨機(jī)變量．設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)所有可能的取值為(xi,yj),i，j=1,2,...,取這些值的概率為pij=P{X=xi,Y=yj}i,j=1,2,……稱上式為(X,Y)的聯(lián)合分布律.2性質(zhì)(1)pij30，i,j=1,2,…（2）問：如何用表格表示(X,Y)分布情況？YXy1y2...yj...x1p11p12...p1j...x2p21p22...p2jxipi1pi2...pij答:見書例題3.1例3.2袋里有5個編號的球，其中1個球編號為1，有2個球編號均為2，有2個球編號均為3。每次從中任取兩個球，以X和Y分別表示這兩個球中編號最小的號碼和最大的號碼。求X和Y的聯(lián)合分布律。解(X,Y)的全部可能取值為(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5個球從中任取2個，共有C52=10種取法。試驗(yàn)樣本點(diǎn)總數(shù)為10，YX2310.20.220.10.4300.1三．二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率分布1定義設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)。若存在非負(fù)函數(shù)f(x,y),對任意實(shí)數(shù)x,y有則稱(X,Y)為連續(xù)型二維隨機(jī)變量，且稱函數(shù)f(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)，簡稱為聯(lián)合密度或概率密度?？捎洖?X,Y)~f(x,y)，(x,y)?R22性質(zhì):1）非負(fù)性2）歸一性3）若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，則4）設(shè)G是xOy平面上的一個區(qū)域，則有在幾何上z=f(x,y)表示空間的一張曲面。由性質(zhì)(2)知，介于該曲面和xy平面之間的空間區(qū)域的體積是1。由性質(zhì)(4)知,的值等于以G為底，以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。例3.3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(1)求常數(shù)k；(2)求概率P(X+Y≤1)?！ぁぁそ獾胟=15確定積分區(qū)域例題3.4見教材p67四．常用的二維均勻分布和二維正態(tài)分布（一維推廣）1.二維均勻分布設(shè)D為平面上的有界區(qū)域,D的面積大于零.若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為則稱(X,Y)在D上服從均勻分布向平面上有界區(qū)域D上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在D內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關(guān).則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)（X,Y）在D上服從均勻分布.例5設(shè)(X,Y)在圓域D={(x,y):x2+y2￡r2}上服從均勻分布,其聯(lián)合密度為求(1)P(r2/8￡X2+Y2￡r2/4);(2)(X,Y)的邊緣密度函數(shù)2.若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度其中均為常數(shù),其中均為常數(shù),且則稱（X,Y）為服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.二維正態(tài)分布的重要性質(zhì)： 則由此性質(zhì)看到，(X,Y)的邊緣分布都與r無關(guān)，說明r不同，得到的二維正態(tài)分布也不同，但其邊緣分布相同。因此邊緣分布是不能唯一確定聯(lián)合分布的，即使X,Y都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，(X,Y)不一定是服從二維正態(tài)分布。二維正態(tài)分布的邊緣分布必為一維正態(tài)分布，反之不真。3.2邊緣分布函數(shù)一、二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)1定義：二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個整體，具有聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有它們的分布函數(shù)，記X的分布函數(shù)為FX(x)，稱為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)；Y的分布函數(shù)為FY(y)，稱為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。由分布函數(shù)的定義可得到聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)的關(guān)系2邊緣分布的幾何意義FX(x)的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入如下左圖所示區(qū)域內(nèi)的概率；FY(y)的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入如下右圖所示區(qū)域內(nèi)的概率。3聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的關(guān)系FX(x)=P{X￡x}=P{X￡x,-￥<Y<+￥}=F(x,+￥)，F(xiàn)Y(y)=P{Y￡y}=P{-￥<X<+￥,Y￡y}=F(+￥,y)例1：設(shè)求(X,Y)的邊緣分布函數(shù)。例3.6設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中A，B，C為常數(shù)，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)(1)試確定A，B，C；(2)求X和Y的邊緣分布函數(shù)；(3)求P(X>2)解(1)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)2可知解得(3)由X的分布函數(shù)可得二．二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律1若(X,Y)為離散型隨機(jī)變量,則X,Y均為離散型隨機(jī)變量。由(X,Y)的聯(lián)合分布律P(X＝xi,Y＝y(tǒng)j}＝pij，i,j＝1,2,… i＝1,2,…j＝1,2,…它們分別是事件(X=xi)和(Y=yj)的概率，且有pi.≥0，p.j≥0稱pi.=P{X=xi},i=1,2,…p.j=P{Y=yj},j=1,2,…兩式分別為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律，簡稱為(X,Y)的邊緣分布律。以表格形式表示為YXy1y2…yj…P(X=xi)x1p11p12…p1j…

x2p21p22…p1j…

…xipi1pi1…pij…

…P(Y=yj)

…

…1例題3.6p69注意：聯(lián)合分布律不同，而邊緣分布律相同，僅有邊緣分布律一般不能得到聯(lián)合分布律。即聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律，而邊緣分布律不一定能確定聯(lián)合分布律。2聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為pij=P{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…則三．二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)1.定義若(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量,則X,Y均為連續(xù)型隨機(jī)變量2.若(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)是f(x,y)，此時(shí)X和Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，分別稱X和Y的概率密度函數(shù)fX(x)和fY(y)為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù),簡稱為邊緣密度。且有(3)f(x,y)與fX(x),fY(y)之間的關(guān)系例3.7設(shè)隨機(jī)變量X和Y具有聯(lián)合分布求X和Y邊緣密度（可見書）(我們分析被積函數(shù)在xy平面上不為0的區(qū)域如下:)1)2)3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、兩個隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義設(shè)F(x,y)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，F(xiàn)X(x)，F(xiàn)Y(y)分別是X與Y的邊緣分布函數(shù)，若對一切x,y∈R，均有P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)?P(Y≤y)即F(x,y)=FX(x)?FY(y)則稱隨機(jī)變量X與Y是相互獨(dú)立的。隨機(jī)變量X與Y是相互獨(dú)立的充要條件是事件(X≤x)與事件(Y≤y)相互獨(dú)立。1若(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…,則X與Y相互獨(dú)立的充分