數(shù)學(xué)課堂中問題解決能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)課堂中問題解決能力的培養(yǎng)——以利用勾股定理求解翻折問題為例上海市西南位育中學(xué)相興麗現(xiàn)代教育目標(biāo)的三個(gè)基本要求是在教學(xué)中完成對(duì)學(xué)生相關(guān)知識(shí)、目標(biāo)、能力的培養(yǎng)，教育不僅要教知識(shí)，更要培養(yǎng)學(xué)生的能力?！皢栴}解決”以創(chuàng)造性的解決問題為途徑，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和樹立數(shù)學(xué)觀念為宗旨，是屬于較高要求的綜合性數(shù)學(xué)能力。幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思維”，不管是現(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還是將來的工作與生活，都有著重大意義。根據(jù)有關(guān)專家的研究認(rèn)為，問題解決不完全等同于解決問題。從專業(yè)的角度來講，問題解決是一個(gè)心理學(xué)習(xí)概念，但在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題解決也有著自身的一些獨(dú)特含義。問題解決是初中數(shù)學(xué)的基本技能，即學(xué)生在問題解決的過程中，要通過數(shù)學(xué)基本生活經(jīng)驗(yàn)的調(diào)用，通過數(shù)學(xué)思維的推理，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的參與，最終使得數(shù)學(xué)問題得以解決。一、問題研究背景目前，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)階段，由于理論視野不夠，更多的教師認(rèn)為問題解決即數(shù)學(xué)問題尤其是數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，從學(xué)生層面的反應(yīng)是學(xué)生上課能聽懂教師的講解，但學(xué)生遇到相同的問題時(shí)并不能迅速想出解題方法，對(duì)于一些問題一直視為難點(diǎn)，不敢去嘗試解決。但是問題解決能力的培養(yǎng)不是一朝一夕能實(shí)現(xiàn)的，該能力的培養(yǎng)，滲透于數(shù)學(xué)課堂中，形成于日積月累的學(xué)習(xí)中。教師要意識(shí)到問題所在，在日常教學(xué)中，不斷地鼓勵(lì)學(xué)生多提問、多探索，引導(dǎo)學(xué)生綜合性地、創(chuàng)造性地運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法去解決新的問題，使學(xué)生受到潛移默化的教育，培養(yǎng)學(xué)生的能力。圖1本文以勾股定理解決翻折問題為例，探究在日常教學(xué)中教師對(duì)學(xué)生問題解決能力的關(guān)注。本課時(shí)的教學(xué)是滬教版初二上勾股定理的復(fù)習(xí)課，在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了勾股定理的應(yīng)用，經(jīng)過幾何證明舉例的學(xué)習(xí)對(duì)解決幾何問題形成了簡(jiǎn)單的系統(tǒng)的方法。本節(jié)課的教學(xué)，致力于引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)運(yùn)用綜合法尋找解題思路的一般規(guī)律；通過一題多變，進(jìn)一步提高分析問題、概括題目信息的能力；通過典型例題的反思，優(yōu)化解題策略，感悟數(shù)形結(jié)合思想、方程思想在幾何計(jì)算題目中的應(yīng)用，體會(huì)已有知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)問題圖1二、問題研究過程及理論依據(jù)例：已知中，問題1：如圖1，將翻折使點(diǎn)翻至點(diǎn)處，折痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)。問：根據(jù)已知條件，我們能求得哪些線段的長(zhǎng)？答：由已知可知是直角三角形，兩邊已知，根據(jù)勾股定理可以直接求出線段的長(zhǎng)為10.我們學(xué)習(xí)了勾股定理及逆定理之后，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合最直接的聯(lián)系。用形去計(jì)算邊長(zhǎng)，只要將該邊放在直角三角形即可，用數(shù)去描述形，只需要通過計(jì)算，既能證明圖形的形狀。問：要求線段的長(zhǎng)，應(yīng)該將該線段放在哪個(gè)三角形中？答：.問：通常情況下，我們將要求解得線段長(zhǎng)設(shè)為，若設(shè)，則可以將圖形中哪些線段的長(zhǎng)用表示出來？答：線段,翻折后圖形的形狀大小不變，即，可得,在中，根據(jù)勾股定理可得,既可得方，解得.問：?jiǎn)栴}1的背景下，還可以求得哪些線段的長(zhǎng)？答：翻折后對(duì)稱點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分，即垂直平分，所以線段,在Rt△BMN中，利用勾股定理.設(shè)計(jì)意圖：此題中給出折痕及翻折后的圖形，根據(jù)教師的提問，喚醒學(xué)生對(duì)于勾股定理及翻折基本性質(zhì)的相關(guān)記憶，回憶翻折的基本知識(shí)，給學(xué)生提供翻折的規(guī)范作圖方法。通過求與的長(zhǎng)，總結(jié)利用勾股定理求線段長(zhǎng)的方法，即已知兩邊時(shí)直接利用勾股定理求解，三邊可用同一個(gè)未知數(shù)表示時(shí)可利用勾股定理列方程求解，形成了系統(tǒng)的解題方法，對(duì)學(xué)生解決新問題提供依據(jù)。從理論的角度來看，要培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力，可以將問題解決能力分成發(fā)現(xiàn)問題的能力、研究問題的能力、解決問題的能力、評(píng)價(jià)問題的能力四個(gè)方面，而這些能力的培養(yǎng)首要重點(diǎn)研究的環(huán)節(jié)是學(xué)生的認(rèn)知能力，學(xué)生在接觸到問題解決的信息之后，將相關(guān)信息輸入到自身思維，并且將信息與自身的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)相互作用，提取能解決問題的相關(guān)知識(shí)。本題中學(xué)生對(duì)翻折的性質(zhì)與勾股定理的知識(shí)的認(rèn)知是解題的關(guān)鍵，為下面問題的解決奠定了認(rèn)知基礎(chǔ)。問題2：如圖2，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)A翻至點(diǎn)處，求線段的長(zhǎng).圖2圖3圖4圖5問：要求解線段的長(zhǎng)要先將圖形補(bǔ)充完整，應(yīng)該如何作圖？答：先作出線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，因?yàn)闉檎酆?，在的下方差不多的位置作點(diǎn).（如圖3）問：請(qǐng)問作圖的依據(jù)是什么？答：因?yàn)辄c(diǎn)在的上方，沿翻折后，點(diǎn)肯定落在的下方，因此確定點(diǎn)的大概位置。問：怎樣才能作出點(diǎn)的準(zhǔn)確位置呢？先作出線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，既為折痕，根據(jù)翻折后對(duì)稱點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分，過點(diǎn)作，并倍長(zhǎng)至點(diǎn)，可得點(diǎn)翻折后的對(duì)稱點(diǎn)。（如圖4）問：作出圖形后，根據(jù)已知條件，可求得哪些線段的長(zhǎng)？答：在中，點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)，所以,因?yàn)榉?所以.問：要求線段，要將放在三角形中，線段在哪些三角形中？答：.問：應(yīng)該去選擇哪個(gè)三角形去求的長(zhǎng)？答：三角形已知三個(gè)條件則可解，中已知，可知不是等邊，所以在中求解較為困難；中已知也不可解；中已知,根據(jù)三角形一邊中線等于這條邊的一半，該三角形為直角三角形的結(jié)論可知為直角三角形。要求，只需要先求，要求，則可先求。問：那么怎樣求解？答：線段是的高，將分離出原來圖形進(jìn)行分析（如圖5），可知是等腰三角形，是腰上的高，作,則由勾股定理得，再利用面積法，得；或者可以利用方程的思想，設(shè)，利用勾股定理得,可列方程，解得，再將代入求得的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求出的長(zhǎng)。設(shè)計(jì)意圖：此題需要學(xué)生先準(zhǔn)確作出圖形，點(diǎn)的確定過程強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)翻折性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，再類比問題1的解題方法對(duì)問題進(jìn)行分析，強(qiáng)化翻折類問題的解題思路；在解題過程中，強(qiáng)調(diào)將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，分離基本圖形的方法強(qiáng)化了數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，整個(gè)解題過程中，與問題1相同的提問順序鞏固了學(xué)生在解決翻折類問題問題的思維方法及綜合分析的能力。問題解決能力培養(yǎng)的核心是能夠選擇正確的問題解決策略，具體表現(xiàn)為學(xué)生在面對(duì)問題時(shí)，能夠快速地反應(yīng)出解題思路，并選擇出適當(dāng)?shù)慕忸}方法，此題的訓(xùn)練能幫助學(xué)生獲得對(duì)翻折類問題解決的基本方法，提高學(xué)生的思維水平，在解題過程中，因?yàn)榭紤]到學(xué)生的水平有差異，教師有必要通過板書引導(dǎo)向?qū)W生呈現(xiàn)問題解決的思路，化解學(xué)生在解決問題的難度。問題3：能力拓展訓(xùn)練，如圖6，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)且，將翻折使點(diǎn)翻至點(diǎn)處，折痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，求線段圖6圖7圖8 分析：根據(jù)翻折的性質(zhì)，聯(lián)結(jié)并作中垂線可作出圖形，要求線段，可將放在中，設(shè)則只要作高即可解，通過嘗試可知、邊上的高不可解，邊上的高即邊上的高，在中，利用面積法得,可求，所以，在中，，即。設(shè)計(jì)意圖：在解決問題的過程中，最初的階段是模仿，在解題訓(xùn)練的過程中去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，并找到正確的解題方法，反思內(nèi)化為自身的知識(shí)，為今后能準(zhǔn)確解題提供方法參考。此題讓學(xué)生先嘗試，模仿前兩個(gè)題目的解題思路及方法，進(jìn)一步鞏固翻折背景問題中正確作圖的方法，及通過作高將一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的化歸思想，體會(huì)解題中利用勾股定理用數(shù)描述形的樹形結(jié)合思想。問題4：在翻折類問題的解題過程中，我們主要運(yùn)用了哪些知識(shí)？學(xué)生談?wù)剬?duì)翻折類問題解題思路的概括，教師梳理、總結(jié)在解決翻折類問題時(shí)的一般解題方法及所用的數(shù)學(xué)思想。知識(shí)層面：（1）（2）作高高作高高數(shù)學(xué)思想：①數(shù)形結(jié)合②化歸設(shè)計(jì)意圖：歸納小結(jié)，反思提高，凝練精華，思考解決翻折類問題的方法，并反思為什么是選擇這種方法，還有沒有其他更為簡(jiǎn)單的方法，翻折類的問題是不是都可以使用這樣的分析思路去解決，怎樣想到這樣的解題方法的。問題解決能力的養(yǎng)成更需要元認(rèn)知能力作為保障，在問題解決之后，要引導(dǎo)學(xué)生思考為什么這樣做？問題中的哪些信息提示應(yīng)該用這種方法解決問題？學(xué)生的元認(rèn)知能力是問題策略產(chǎn)生的機(jī)制性力量，良好的元認(rèn)知能力能讓學(xué)生更快領(lǐng)悟問題解決的方法，是在初中教學(xué)過程中不可省略的重要過程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力至關(guān)重要。三、反思與探討1、合理處理難點(diǎn)的突破，避免教學(xué)中生拉硬拽圖形的運(yùn)動(dòng)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，也是考試中的重點(diǎn)，更是學(xué)生應(yīng)該掌握的知識(shí)。根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，翻折后圖形的大小、形狀不變，即全等；翻折后對(duì)稱點(diǎn)連線段被對(duì)稱軸垂直平分，因此翻折問題中求線段長(zhǎng)的問題可以利用勾股定理去解。在問題2中點(diǎn)位置的確定比較難，大多數(shù)學(xué)生是隨手畫一個(gè)點(diǎn)，說明學(xué)生對(duì)翻折基本性質(zhì)的利用不扎實(shí)，教師在課堂上不必急于給出標(biāo)準(zhǔn)圖形，不妨在黑板上也隨手畫一個(gè)點(diǎn)，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)當(dāng)中的不合理性，并利用翻折的知識(shí)糾正點(diǎn)的位置，并總結(jié)正確畫出翻折圖形的方法。能力訓(xùn)練題中學(xué)生可以很容易做出翻折以后的圖形了，在求解時(shí)遇到困難，學(xué)生知道要作高，但不知道要作哪條高，教師分析以后給出明確的方向，新作出的高要可求，學(xué)生通過嘗試發(fā)現(xiàn)作邊上的高較容易求解。以上兩個(gè)難點(diǎn)教師在處理時(shí)從學(xué)生的角度出發(fā)，思考學(xué)生在做題時(shí)會(huì)遇到哪些困難，并尋找突破這些難點(diǎn)的方法，提高學(xué)生的解題能力，要避免教師直接給出標(biāo)準(zhǔn)圖形及解題方法，對(duì)學(xué)生思考能力的提高會(huì)更有幫助。2、強(qiáng)化解題思路，形成有效方法本課時(shí)在解決翻折問題上為學(xué)生提供了有效的解決方法，在教學(xué)過程中，教師通過有效的提問，引導(dǎo)學(xué)生在分析問題時(shí)層層深入，由簡(jiǎn)入難，在問題1、問題2的解決過程中，教師提出的問題相似，提出問題的順序相同，強(qiáng)化學(xué)生在解決翻折問題時(shí)的方法，便于形成知識(shí)遷移，為今后解決相同類型的問題提高參考方法。問題解決更深層次的理解是學(xué)生的思維過程，問題解決不單單是學(xué)生學(xué)會(huì)了本題的解題方法，更應(yīng)該表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用能力，學(xué)生在問題解決過程中有怎樣的思維活動(dòng)過程，決定了能否成功獨(dú)立解決相同類型問題的關(guān)鍵，學(xué)生只有意識(shí)到這樣的過程，才有可能遵循一定的思路，掌握問題解決的方法。3、注重思考探究，提升科學(xué)研究態(tài)度在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生不僅要收獲數(shù)學(xué)知識(shí)，還要培養(yǎng)問題解決的能力。筆者認(rèn)為，對(duì)于教師而言，要保證在教學(xué)中有一個(gè)較高的水平，首先要了解問題解決在培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面的作用，學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)不是短時(shí)能達(dá)到的目標(biāo)，需要教師在教學(xué)中處處滲透，時(shí)時(shí)關(guān)注，認(rèn)真研究每一個(gè)課時(shí)的教學(xué)，從解決每一個(gè)小問題入手，不斷培養(yǎng)。對(duì)于學(xué)生來說，要發(fā)揮學(xué)習(xí)的主體作用，反思