多標(biāo)量場產(chǎn)生的膜世界

多標(biāo)量場產(chǎn)生的膜世界膜世界理論在解決層次問題，宇宙學(xué)常數(shù)，暗物質(zhì)暗能量等問題上取得了巨大的進(jìn)展。本文首先回顧了額外維和膜世界理論的發(fā)展歷史。然后我們從高維彎曲時(shí)空中多標(biāo)量場產(chǎn)生的膜中得到了新的解，在這個(gè)解中有一個(gè)參數(shù)b它可以決定能量密度T00的分布。只有當(dāng)0<bV時(shí)，才能生成膜世界。我們考慮物質(zhì)場在這個(gè)膜上的局域化，對于自由標(biāo)量場和自由矢量場而言，我們發(fā)現(xiàn)零模可以局域化到膜上。在我們引入了矢量場與背景標(biāo)量場的耦合申FmnFmn后，發(fā)現(xiàn)耦合參數(shù)t>-譏；時(shí)，零模也能局域化到膜上。然而自由的Kalb-Ramond場的零模一般是不能局域化到膜上的，但是在引入KR場與背景標(biāo)量場的耦合卿HmnlHmnl之后，在:>(2-、丙時(shí)，KR場也可以局域化到膜上。研究幾種重要的物質(zhì)場在膜上的局域化成功驗(yàn)證了這個(gè)新厚膜解的理論合理性。關(guān)鍵詞：額外維，膜世界，KK模式第一章緒論額外維理論浩瀚的宇宙中有著說不盡的秘密，維度之謎或許就是其中之一。我們的世界真的是三維空間嗎？是否有額外的維度存在？如果真的有額外的空間維度存在，那為什么我們從來沒有察覺到它們的存在？在從嬰兒時(shí)代起各種常識(shí)就不斷的加深我們?nèi)S世界的固有認(rèn)識(shí)，而不去懷疑是否存在額外的維度。然后細(xì)細(xì)想來，千百年來人類所總結(jié)出的物理學(xué)的基本原理中沒有一條是依賴于世界的三維空間性的，這不僅不能否認(rèn)額外維的存在，反而說明我們對額外維度的存在性一無所知。取得巨大成功的廣義相對論并沒有對空間的維度做出限制，這一點(diǎn)提示我們構(gòu)建一個(gè)高維引力理論的可行性。其實(shí)早在1914年1,GunnarNordstrom就提出了五維形式的標(biāo)量引力理論［1,2］，試圖將引力統(tǒng)一到Maxwell理論之中。之后由于廣義相對論的巨大成功，該理論很快就被人們所遺忘，但這一突破性地引入額外維的實(shí)踐卻啟示了后來者：額外維度在物理學(xué)的統(tǒng)一之路上將占據(jù)及其重要的位置。在此之后，Kaluza和Klein在廣義相對論的基礎(chǔ)上，來統(tǒng)一電磁力和引力［3,4］。Kaluza-Klein理論在四維時(shí)空度規(guī)的基礎(chǔ)上，引入額外維度來描述電磁相互作用部分，從而構(gòu)造出一個(gè)統(tǒng)一描述時(shí)空結(jié)構(gòu)和電磁相互作用的五維度規(guī)，然后通過廣義相對論的方法，導(dǎo)出了四維形式的Eninstein方程和Maxwell方程?？梢哉f這是一個(gè)吸收了Maxwell理論的五維廣義相對論。可是為什么我們從來沒有觀測到額外維的存在呢？Klein對此作出的解釋是第四個(gè)空間維度卷曲成了一個(gè)半徑只有1033cm（Plank尺度）的圓圈［4］，這一尺度是當(dāng)時(shí)和目前的實(shí)驗(yàn)都無法企及的。Kaluza-Klein理論雖然成功地解釋了額外維度的隱蔽性，但是幾乎否定了實(shí)驗(yàn)探測的可能，所以很快KK理論就失去了活力。但是KK理論說明了一個(gè)成功的額外維理論必須要同時(shí)具備額外維度的不可見性以及額外維度實(shí)驗(yàn)探測的可能性。膜世界猜想隨著額外維概念的引入，解放了理論物理學(xué)領(lǐng)域內(nèi)四維時(shí)空的固有思想。超弦理論，M-理論都是額外維理論。為了消除不合理的弦振動(dòng)模式，超弦理論的時(shí)空必須設(shè)定在十維中（九維的空間，一維的時(shí)間）。而預(yù)言中的M-理論要兼容十一維超引力理論和各版本弦理論也必須是十一維的?？梢哉f在這些理論中額1廣義相對論提出之前外維度都是不可或缺的。受超弦理論啟發(fā)［5,6］，膜世界猜想提了出來。膜是可以在二維，三維或者更多維度上延伸的超曲面，可以束縛住粒子和力，也可以是高維空間的邊界。膜世界時(shí)空觀認(rèn)為我們生活的四維宇宙是一個(gè)嵌入在高維度時(shí)空中的超曲面，稱為膜世界。在這個(gè)理論中，所有的物質(zhì)場都被束縛在膜上，只有引力子能夠自由地在所有的維度傳播。膜世界猜想一經(jīng)提出便廣受關(guān)注，因?yàn)樗鼮榻鉀Q規(guī)范層次問題，宇宙學(xué)常數(shù)問題，費(fèi)米層次問題開辟了一條新的思路。為解決層次問題，1998年由NimaArkana-Hamed,SavasDimopoulos和G.RDvali提出了大額外維模型（ADD模型）［7,8］，這個(gè)模型中引入了N個(gè)緊致成圓圈的額外維,通過增加額外維度的數(shù)量來控制單個(gè)額外維的尺度,從而使得實(shí)驗(yàn)探測成為可能。通過大尺度額外維的體積項(xiàng)來構(gòu)造Plank能標(biāo)和弱電能標(biāo)之間的巨大數(shù)量級(jí)差別。然而由于為了解決層次問題必須要求一個(gè)大尺度的額外維，所以這個(gè)理論在解決層次問題上并不完美。不久之后，Randall-Sundrum模型的提出就完美的解決了這一問題［9,10］。1999年LisaRandall和RamanSundrum在他們所構(gòu)建的膜世界模型中，突破性地放棄了額外維時(shí)空平坦性的觀點(diǎn)。在ADD模型中膜是剛性的，沒有張力。RS模型考慮了膜本身的張力，一個(gè)有張力的膜會(huì)擾動(dòng)周圍的時(shí)空，使得額外維卷曲，這一卷曲體現(xiàn)在時(shí)空度規(guī)的卷曲因子項(xiàng)上，通過指數(shù)化的卷曲因子來吸收層次問題中巨大的數(shù)量級(jí)差距。也就是把層次問題解釋成額外維高度卷曲的效應(yīng)。但是無論是ADD模型還是RS模型中的膜世界都是薄膜，這兩個(gè)模型將膜世界延額外維的展寬考慮成零，即是理想化的（函數(shù)，而一個(gè)具有實(shí)際意義的膜世界模型一定是具有一定厚度的。1983年Rubakov和Shaposhnikov提出的疇壁機(jī)制為引入厚膜解提供了方案［11,12］，通過引入背景標(biāo)量場與引力耦合，來產(chǎn)生厚膜解。本文將首先介紹如何通過兩個(gè)標(biāo)量場與引力耦合來構(gòu)造厚膜模型，在求解的過程中我們得到了一個(gè)新的厚膜解。然后我們將討論這一厚膜解的理論合理性，介紹物質(zhì)場的局域化機(jī)制，在我們找到的新的厚膜解的基礎(chǔ)上分析各種物質(zhì)場的局域化情況，得到相應(yīng)的零模。

第二章兩個(gè)標(biāo)量場產(chǎn)生的厚膜解2.1兩個(gè)標(biāo)量場產(chǎn)生的膜世界作用量的構(gòu)造首先，我們將討論由兩個(gè)相互作用的標(biāo)量場生成厚膜世界的方法。比起一個(gè)標(biāo)量場產(chǎn)生的膜世界模型，由兩個(gè)標(biāo)量場生成的膜世界將具有更加豐富的結(jié)構(gòu)。我們仿照文獻(xiàn)［13,14］中的方法構(gòu)造一個(gè)合適的模型。假設(shè)膜世界是由兩個(gè)標(biāo)量場申（kink場）和屮（dilaton場）生成的。系統(tǒng)的作用量設(shè)為：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"S=jd匚g丄R--Gpl--如》一vG,屮） ⑴\ 2k2 2其中R是標(biāo)量曲率，k52=8nG5,這里G5是五維萬有引力常數(shù)。為了方便，我們設(shè)k5=l。我們考慮平直的厚膜世界，因此五維時(shí)空線元假設(shè)為［15,16,17］：ds2=e2A（yhdx卩dx+e2b（y）dy2 （2）yv這里y=x5是額外維度的坐標(biāo)。背景標(biāo)量場申和屮僅僅是y的函數(shù)，因?yàn)槟な澜缈梢钥醋龈呔S世界空間中均勻的一個(gè)橫截面。在這個(gè)模型中，厚膜由勢V（（p￥）實(shí)現(xiàn)。現(xiàn)在我們由作用量S（1）和線元（2）式來導(dǎo)出愛因斯坦場方程和物質(zhì)場的運(yùn)動(dòng)方程。愛因斯坦場方程和物質(zhì)場的運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)2.2.1抽象的場方程和運(yùn)動(dòng)方程丄R+L2k2 M5分別對三個(gè)場量丄R+L2k2 M5分別對三個(gè)場量g叫（p，屮變分為0則得到三個(gè)場的運(yùn)動(dòng)方程。對g^v變分設(shè)S=Id5xv-g0=5S=I,LM=-2(如)2一A屮)2一V3M),k52=1-S1心RLm)M5gyv吃+_r_ g、yv -j-g§gyv丿2 5gyv5gyvd5+丄§(F)J-g 5gyv得到 ― 、5R ― 、5R+R5J-g_-215J-gL§gpv 、;—g§gpv丿M-5gpv(3)vpo p九vo v九poTOC\o"1-5"\h\z由rp _arp—arp+rp—rpvpo p九vo v九poopv pvo=a5rP=a5rP-asrP+5rPrx+rParx-5rPrx-rParxpoopvpvovpo p九vo p九vo v九po v九vfer^_aferpArpTo-rorp-ToTp九vp 九vpdXvp v九dp p九vo5R_5RP_v5rP-v5rPpv ppv pvp vppR_gpvRpv又因?yàn)閂gpv二0opv其中第二項(xiàng)為全微分項(xiàng)。在無窮遠(yuǎn)處時(shí)5R=R&pv+vCpv§ro—gpo§rppv其中第二項(xiàng)為全微分項(xiàng)。在無窮遠(yuǎn)處時(shí)p pp5gpv趨于0,所以5r_R5gpvpv—Rpv5r_R5gpvpv—Rpv又因?yàn)?Fl1 ggpv5g pv_2廠g5gpv 2\一g 5gpv1所以方程(3)左側(cè)為：R--Rg。pv2pv-g-2 5gpv1廠-ggpv定義方程(3)右側(cè)為1 7L 21T_-2 mpv、［一g 5gpvL-2pvMM-5gpv作用量對g2作用量對g2的變分為零,得到Einstein場方程：Gpv_Gpv_R-1Rg_gL-2-5L^_Tpv2pvpvM 5gpv pv(4)對申對申和屮場量的變分,程為Lagrange方程：由變分原理知,對標(biāo)量場變分可得標(biāo)量場的運(yùn)動(dòng)方由于L由于Lg不含a申,申項(xiàng),gpaaJ-gL_蟲-gL

paa申p所以方程(6)化為a%-gL aJ-gLa m=mpaa申 a申p

又因?yàn)?「Qp)——21eB丿又因?yàn)?「Qp)——21eB丿1「Q屮)——21eB丿2-VGM）可計(jì)算得QF一Q仁匚g)?

」Qp,JIe2B4丿—g=e4A+BgL， QVM二—e4A+B 二Qp Qp—C4a-BpJ二—e4A-BG"+(4A'-B%，)Qy所以p的運(yùn)動(dòng)方程為e4A-BG〃+(4A，-Bb)=QVe4A+bQp同理可得屮的方程。兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程可化為:p"+(4A—B%，=e2b——(6)Qp(6)屮"+(4A，—B%'=e2b空Q屮2.2.2具體的場方程和運(yùn)動(dòng)方程為求具體的Einstein場方程,我們由度規(guī)(2)知Einstein張量的非零分量為G=—3e2A-2BGAS—A'B'+A〃)00()G=3e2A-2B2A，2-A，B，+A，，(7)G=3e2A-2BGAS—A，B，+A〃)(7)G=3e2A-2BGAS—A'B'+A〃)33G=6A，24400分量至00分量至33分量形式是一樣的，所以獨(dú)立的分量場方程為=「1 1 )e「1 1 )e2A-2B—p‘2+—屮'2+e2bV12 2 丿代入Goo得到：2A+2『+e2Bv=-6A—3A+3ABT00=g00LM=同理44分量方程:綜上得到4個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：T44=g44綜上得到4個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：T44=g44LM-244丸M8g44=102+1屮‘2-e2bV22102+1屮‘222一e2bV=6A‘2102+1屮‘222一e2bV=6A‘2102+1屮‘2+e2BV=-6A‘2-3A"+3A‘B‘(9)22(9)0‘+(4A‘-B‘)p‘=e2b空00屮“+(4A‘-B‘\‘=e2b——2.3運(yùn)動(dòng)方程的求解這四個(gè)運(yùn)動(dòng)方程(9)式可以通過超勢法(Superpotentialmethod)[18]來求解:設(shè)錯(cuò)誤!未找到引用源。VG，屮)二"G)~G)利用這里的巧妙設(shè)定：錯(cuò)誤!未找到引用源。屮=<3bA[15]得到：x.3bA“+麗(4A‘-B‘加=e2b空2e2bV二-3A心A‘-B‘)—3A‘‘兩式相除得到：C)=e-2：b3屮(10)為使得方程中的e2b消除，可令B=bA,b是一個(gè)正參數(shù)，則方程變?yōu)椋?02+1屮‘2-VG)=6A‘222(11)102+1屮‘2+pG)=-6A‘2-3A“+3A‘B‘22(12)0‘+(4A‘-B‘)p‘—0V"0)00(13)文獻(xiàn)原式為錯(cuò)誤!未找到引用源。3M3a(awG(awG))2'2V(p)=-3A'(4A'-B')-3A''(15)設(shè)超勢為W（（p）aw(0)—=0'ap(16)申'2二一3A"(14)所以0'ddwG)_如QawG)_°wG)QQWG)ByQ0 dyQ0Q0 dyQ0Q0'( 、 -3a(A'(4A'一B'))(4A'-B認(rèn) 一.、-3a(A'2(4一b))(4一b)A'0= —得到所以只要設(shè)：A'24-b-W2

所以只要設(shè)：A'24-b-W2

6'awG)]2一2〔B0丿VG，屮）二e-2丫b3屮|1之前的4個(gè)運(yùn)動(dòng)方程（9）式化為： 「BW（P=0,A'=--W,B=bA,v=43bAB0 3在這里我們找到一個(gè)合適的超勢W妙wG）=a—冗4一^W26則解為：Q00+—Sin

冗0(y)=2—ArcTan\ay]-)A()=a—2電yArcTan\ayD屮(y)^/3bA(y)B(y)=bA(y)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)其中a和u都為正參數(shù)，下面給出了卷曲因子和單kink場（p（y）的圖像。圖2.1為卷曲因子的圖像，圖2.2為單kink場的圖像，選擇參數(shù)a=1,u=2。

圖2.2申圖2.2申-y2.4膜世界解的特點(diǎn)和存在的合理性現(xiàn)在我們討論這種解的物理性質(zhì)，分析下是否能構(gòu)成膜世界。由圖2.1可知，卷曲因子是光滑的，系統(tǒng)的能量密度不會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)，在原點(diǎn)會(huì)有一定的展寬，如果能構(gòu)成膜世界，那它將是一個(gè)厚膜模型。同時(shí)標(biāo)量場卩勿為一單kink場，所以最后得到的膜世界應(yīng)該是一單膜。Cos2d(26)丿丿Vb2VCos2d(26)丿丿Vb2Vb4圖2.3V?)呷Vb6如圖2.3所示，a=30，u=l/10。當(dāng)b=4時(shí)，V出現(xiàn)一系列的真空態(tài)，所謂真空態(tài)，即背景標(biāo)量場不處于激發(fā)狀態(tài)，無背景標(biāo)量粒子產(chǎn)生。由于我們選擇標(biāo)量場卩創(chuàng)是單kink場，當(dāng)額外維坐標(biāo)yf±g時(shí)，^(y)^±V0,即±u。標(biāo)量場的值被約束在±卩之間，所以圖中有物理意義的圖像只是臨近的兩個(gè)真空態(tài)之間的圖像,表明當(dāng)額外維趨向無窮遠(yuǎn)時(shí)，標(biāo)量場逐漸接近真空態(tài)，不存在物質(zhì)分布。我們只考慮經(jīng)典的場論情況，而不考慮引力的量子效應(yīng)，所以當(dāng)b>4時(shí)或者當(dāng)b<4時(shí),V的圖像真正有意義的也只是臨近的兩個(gè)真空態(tài)之間的圖像(暫不考慮這兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性)，所以得到和b=4時(shí)一樣的結(jié)論。同時(shí)我們得到厚膜世界的能量密度T00

2(b-1)aB(2yArcTan[ay])T=e 3兀x00[兀(1+a2y2)丿則：+(3b一 (2ArcTan[ay[兀(1+a2y2)丿則：(28)T(yT±g(28)T(yT±g)000a2U43兀2A+(3b-6)愛1 9兀21<b(29)T(0)=4a2°200其中△1和△2都是正的無窮小量且Lim—2二0。yTg412.0y圖2.6厚膜能量密度T00酎1.1T00b2.01.51.00.52.0y圖2.6厚膜能量密度T00酎1.1T00b2.01.51.00.50.00.51.010 5 0 5 101/2.01.51.00.50.00.51.02.01.51.00.50.00.51.0yT00 b2.0110 5 0 5 10以上圖像中a=1,1=2。我們可以從圖像2看出T00隨b在不同區(qū)域的取值而發(fā)生的變化。無論哪一種情況，能量密度都在原點(diǎn)呈現(xiàn)一定的展寬，而非理想化的8函數(shù)。從以上的T00的計(jì)算和圖像可以知道，當(dāng)1<b<2時(shí)，T00是衰減的；當(dāng)2<6時(shí)，T00是發(fā)散的，總的能量都是無窮大，不符合要求。所以只有當(dāng)0<b<1時(shí)，才能得到合理的厚膜數(shù)值解。第三章局域化機(jī)制簡介如果真的有額外維存在，那么它就會(huì)在我們的四維時(shí)空中留下痕跡，這一痕跡就是KK粒子（KK模式）[19],也就是說KK模式是高維時(shí)空中的粒子在低維世界中的表現(xiàn)形式，根據(jù)狹義相對論的質(zhì)能關(guān)系，額外維的動(dòng)量在四維時(shí)空中被看做質(zhì)量。因此額外維的信息將以質(zhì)量譜的形式展現(xiàn)出來。前一章中,我們已經(jīng)得到了兩個(gè)標(biāo)量場在五維時(shí)空中生成的厚膜解,那么如何從理論上來驗(yàn)證這個(gè)厚膜解的合理性就是現(xiàn)在首先要考慮的了。這一驗(yàn)證方法就是物質(zhì)場的局域化，所謂“局域化”，是指高維物質(zhì)場的KK模式能被束縛到膜上。這樣做的目的有兩個(gè),第一是為了保證能夠在四維時(shí)空中重構(gòu)出標(biāo)準(zhǔn)模型，第二是為了給實(shí)驗(yàn)上探測額外維提供可能性，只有當(dāng)KK模式能夠被束縛到膜上時(shí)，我們才可能觀測到它的存在。我們認(rèn)為零模式（額外維動(dòng)量為零）代表四維時(shí)空中的已知粒子，因?yàn)樗粩y帶額外維的信息，其他有質(zhì)量的KK模式則代表著額外維的存在。因此研究物質(zhì)場的局域化，首先要保證零模能夠被束縛在膜上，從而不與現(xiàn)在的物理規(guī)律相矛盾，其次要研究有質(zhì)量的KK模式在膜上的局域化情況，從而為探測額外維存在提供理論預(yù)測。我們采用KK分解的局域化機(jī)制，將高維物質(zhì)場的膜上部分與額外維部分分離（假設(shè)膜與額外維垂直）。通過這一方法，我們可以得到額外維部分的類Schrodinger方程，這樣就達(dá)到了簡化問題的目的，從而通過求解Schrodinger方程來得到KK模式。下面我們將分析三種典型的形式場（標(biāo)量場，矢量場，Kalb-Ramond場）的局域化來驗(yàn)證厚膜解的理論合理性。13第四章物質(zhì)場在膜世界上的局域化在這一章中，我們將通過KK機(jī)制得到三種物質(zhì)場相對應(yīng)的類Schrodinger方程來討論這些物質(zhì)場在膜世界上的局域化和質(zhì)量譜。為了確保這幾種物質(zhì)場都能實(shí)現(xiàn)局域化，我們將考慮在背景微擾下的物質(zhì)場，忽略物質(zhì)場對背景幾何的逆效應(yīng)［13,20,21］。為了方便，我們使用共形平直度規(guī)：ds2=e2A（y）（dx卩dxv+dz2） （30）yv將它與度規(guī)（2）比較，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)=（b-i）Ady時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)等價(jià)。對于共形的平直時(shí)空來說，當(dāng)0<b<1時(shí)額外維z將是無限大的，當(dāng)b>1時(shí)額外維z將是有限的（|z|<z=辛））。我們將主要討論參數(shù)b對零模和物質(zhì)場質(zhì)量maxaU2\b—1丿譜的影響。4.1標(biāo)量場首先，我們研究五維時(shí)空中的標(biāo)量場的局域化，這里我們討論自由的標(biāo)量場不考慮它與背景標(biāo)量場的耦合。設(shè)自由標(biāo)量場的作用量：因此，1. .——S0=-2'd5心-ggMN°M祝N①對應(yīng)的Lagrange密度為(31)(32)標(biāo)量場①的運(yùn)動(dòng)方程為=0°L °=00—C 0—。①P°°①P這里0°L°L0—

dd①PggMNd（d①。①）MN dd①P——J—ggMN5P°①2 MN=-gPN°n①所以運(yùn)動(dòng)方程為Q(—ggPMQO)=0P' M代入五維時(shí)空度規(guī)式(30)(33)其中ds2=e2AG)(dx卩dxv+dz2)

yv得到：TOC\o"1-5"\h\zg二e2An,、廠g=e5Av-g二e5A|1V |1V得到：5Ai-ge-2AQ①)L zQ(一ggpmQ①)=Q5Ai-ge-2AQ①)L zP、 M P( M ) (=Qe5A、一ge-2AnyvQ①厶Q\

y( ) (v )=e3aqnyvQ①丿+Q3aq①丿=o

y v zz即：QyvQ e-3AQ(3AQ①)=0yv zz現(xiàn)在我們做KK分解：①(x,z)=Y?(x)X(z)e-3A/2(34)(35)nnn將式(35)代入方程分離變量：工I(z)e-3A/2QyvQ?(x))+?(x)e-3AQLAQC-3A/2x(z)用=0.yvn n zznX(z)e-3A/2Q(nyvQ?(x))+?(x)e-3A/2n yvn nQ2XQ-fA，2X2n丿Qho?O)Q2Xn(z)-4A*Xn(z)-2A"X(z)y心=- X(z)nn所以：Qyv^?(x))卩 (uX? =m2?x nn(36)Q2XQ-9A，2XQ-3A"XQ)zn4n2X(z)n(37)這里mn2是常數(shù)，得到:其中a(vQQ(x))=m?Q □_m2I(x)=0卩 vn nn nna2+v())X()=2X()z0(39)vQ)=—a2A+—(aA]0 2z4z式(38)為四維時(shí)空中標(biāo)量場的Klein-Gordon方程，式(39)為關(guān)于額外維的類Schrodinger方程，攜帶有額外維的信息。另外，如果我們引入正交歸一化條件，則可以成功將五維標(biāo)量場作用量約化成四維的有效作用量：s=-1Jd5x一ggMNa①a①M(fèi)N=-1Jd5xe5A*-g(-2Agyva①a①+e-2Agzza①a①)2 / 卩v zz=-—H}d4xj-gg^a?a?nm-—HfJd4xx；■-g??卩mvn m nJdze3Aafe-3A2Xmn zI m、f3』ae-3A2X丿zv n丿丿nm(40)其中：Jdze3Aa(e—3A2=Jdze3Aa2x]amf-3A'//\e-3A2Xn丿3A2a丿z\e-3A2X+e2mXzmY—3A'=Jdzf9A'2咒(z)x(z)--A'G咒)X-乂4 m n 2 zmn=Jdz9A'2XQ)XQ+14mn:\+e-3A2aXzn丿2e3A2X2a'xGx)+Gx)6mz-3A'X (z)X (z)|+2A''X (z)X (z)2 m n、2 "m "n=Jdz9A'2X(z)X(z)+—A'X(z)X(z)-X(z雖2X(z)'乂4 m n 2 m n r.=JdzX(z丫9A'2X(z)+3A''X(z)-a2X(z)m14 n 2=Jdzm2X(z)X(z)nm n乂4 m n 2 m n m znzn)]丿+L(xax)-xa2x】zmzn mzn丿所以當(dāng)額外維滿足正交歸一化條件時(shí)：JdzX(z)X(z)=§mnmn(41)可以得到：工Jd4X、；一gC庇申a?+m2?2)2 卩nVn nnnS=一丄工Jd4x?0 2S=——工Jd4x□?0 2n所以必須保證零模正交歸一化的情況下，才能得到正確的四維標(biāo)量場有效作用量。現(xiàn)在讓我們重寫出式(40)關(guān)于y的等效勢函數(shù)V0:v(z)=3a2a+—(aa》aA=eG-b)a°A, a2A=e2(1-b)a(2A+(1—bA))z y zV(y)=3e2(1-b)ay2A+o 2 yV(y)=e2(1-b)A0yvQ申a?+m2?2)卩nVn nnI+m2?2)n nn選取我們之前膜世界的解式(23)A(y)=得到：(yT0)=-絲20 兀2(ytg)=00(y*)=0^0 4兀2(yTs)=+10—e2(1~b)ACa)y 4 y3 3(5 V-a2a+——-b212丿、2y代入：ao2(2yArcTanlayD3兀2(aa>(0<b<1)(b=1)—A+一一一bA2I 1(b>1)其中△1和△2都是正的無窮小量且Lim—2二0oys'10.050.000.050.100.150.20V0b1.015圖4.1V0-y(b=0.1)y圖4.3V0-y(b=2.0)0.050.000.050.100.150.200.050.00_0.050.100.15'0.20L/11■11111.Kb2.010102.5y圖4.4V0-y(b=2.5)40 20 0 20 40圖4.5V0-y(b=2.8)0.050.000.050.100.150.20圖4.2V0-y(b=1.0)Kb2.8在這一膜世界中，自由標(biāo)量場的有效勢函數(shù)展現(xiàn)在圖中（參數(shù)a=1,u=1）o當(dāng)0vbv1時(shí)，有效勢函數(shù)V0為類火山勢，如圖4.1；當(dāng)b=1時(shí)，V0為PT勢，如圖4.2；當(dāng)1<b<2.5時(shí)，V0在額外維邊界處發(fā)散，如圖4.3；當(dāng)2.5<b時(shí)，V0在額外維邊界處衰減，如圖4.4及圖4.5。由于有效勢函數(shù)在額外維原點(diǎn)為負(fù)值（a，u都是正參數(shù)），保證了零模解的存在。自由標(biāo)量場的零模解為m0=0時(shí)的額外維場函數(shù)d2咒（z）=V咒Q）眩(z)J眩(z)J1A，Q+9aQ1(z)z012 4丿z0咒He3a￡>20零模是否能局域化到膜上，等價(jià)于零模是否能滿足正交歸一化條件:J叫J叫(z (z)=L0(z)e(b-1)Adyf心2)a1〉(2yArcTanfayT)乂Je亠+2 3^2 dy因此當(dāng)b>-2時(shí)可以滿足歸一化條件，我們的厚膜解要求0vb<1滿足b>-2,所以自由標(biāo)量場可以局域化到膜世界上。我們總結(jié)一下這章內(nèi)容，在0<b<l的區(qū)間內(nèi)，b取任何值，自由標(biāo)量場的零模都可以局域化到膜上，所以不存在不穩(wěn)定的KK模式，自由標(biāo)量場可以在這個(gè)膜世界上實(shí)現(xiàn)局域化。當(dāng)0<b<1時(shí)，有效勢函數(shù)為類火山勢，只有零模能局域化到膜上；當(dāng)b=1時(shí)，有效勢函數(shù)為PT勢，類似有限深勢阱，有限個(gè)有質(zhì)量的KK束縛態(tài)解存在。4.2矢量場這一章中，我們討論矢量場的局域化。由于一般自由矢量場不能局域化到膜上,所以我們首先引入矢量場與背景標(biāo)量場（dilaton場）的耦合來討論它的局域化，然后讓耦合參數(shù)取零，來導(dǎo)出非耦合的情況。設(shè)與背景標(biāo)量場（dilaton場）耦合的矢量場的作用量：1f ,——S=一一Jd5x一ge^^gMRgNsFF1 MNRS因此，對應(yīng)的Lagrange密度為(42)L=—1.■■—get屮gmrgnsFF14* MNRS矢量場場強(qiáng)Fmn由式(44)給出：(43)矢量場Ap的運(yùn)動(dòng)方程為這里dLi—

ddAQP所以運(yùn)動(dòng)方程為F=dA-dAMNMNNMOL dL 04—di=0OA QddAP QP%0i二0

dAP1 d(F F)4、.：-get屮gMRgNs—oG=_p—get屮gMRgNS 1MNRSddAQP)A一dA)FN N_M——RSddAQP(44)=一.「一get屮gQRgPsF% RSd 一ge^wgMRgNsFM RS代入五維時(shí)空度規(guī)式（30）)=0(45)ds2=e2A(y)(dx卩dxv+dz2)其中g(shù)=e2ah，■—g=e5a■-g=e5a

|iv |iv七 "式（45）有一個(gè)自由指標(biāo)，所以可以分為兩類方程：Q(■'-getQ(■'-get屮gMRgmF)=Q(5a—ge^屮e-2Agvpe-2Ag“F)M RS v ' p九、v—ge^屮e-2Ag44e-2Ag卩尹J■■—geA+T屮gvug“F'+Q —geA+T屮g“F丿p九 4 4九RSv+Qe5A=q(v=0TOC\o"1-5"\h\zN取4指標(biāo)時(shí),( )( )Q一get冗(y)gMRg4sF厶Q》5a：-geT屮e-2Agvpe-2Ag44F’

M RS v( ) p4=Q—geA+T屮gvpF丿N、 p4二0即：eA+x^d(.■'-ggvpgMFIg?p-gd(a+t屮FL0v' p九 勺 4 4九()ex屮Q—gg時(shí)F—0

卩 v4現(xiàn)在我們選擇規(guī)范A=0并做KK分解：A(x,z)=Ya(n)(x)p(z)e-(+"3bT)2卩 卩 nn(46.a)(46.b)(47)由式(47)可以得到F=YFp

pX pXin一工a(n)Qpp(z)e-(+'3』2(48.a)F=p4nQe-(+臥》；+p(z)(1- ke-(+畑》：zn n 2 丿(48.b)zn1-J3br)A-e-(+%》2丿(48.c)pJ-pJ-將式(48?b)，(48f)代入方程(46.a)分離變量：Y5屮。Yv^p(z\-(+■3brl2+g“e-Aa(n)Qv n "+p(z)(-1-J3brn這里屮（z）=<3bA（z）,可以得到:et屮◎(+、3b)A26 (vy))(z)=—丘丫屮GlL3b)A2ay(n)(62p(z)v n zn1+莎 (1+V3bt丿A+2^.'3brA<)—pCn'+ap(zXr屮QznAS)(50)所以我們有C)drv"二m2a血)V nL°+V(zipQ=mp(z)zn這里m2是四維矢量場的質(zhì)量，有效勢函數(shù)V1為n ' )() (+極)(51.a)(51.b)nnVS1U如6A》+出叱2A14z2z(52)同樣式(51.b)為關(guān)于額外維的類Schrodinger方程。另外，如果我們引入正交歸一化條件，則可以成功將五維矢量場作用量約化成四維的有效作用量：S=——Jd5兀：'一get屮gMRgNsFF1 4 * MNRS=——Jd5xe5A：—getv—4AgMRgns(6A—QA)6A—QA)4 MNNMRSSR=—1Jd5xeA+tv：—g《陀gvpFF+gvpQA6A+g陀6A6A)4 yvap 4v4p 4卩4a=——Jd5X%—g[gyagvpFnFmpp+gvPa(n)a(m)(Qp6p4 yvapnm vpznzmnm / )App)nm—1+、;3bu6p+p6p)+』mzn nzm 4（+g陀aQa匚)dpdp—znzmdpmz+p6p)+1+*3加)ASpp]

nzm 4 nm丿丿=一丄工工Jd5xj—g[gpagvPFnFmpp+2gpva(n)a(m)(Q(Qpp)—pQ2p4 pvapnm pvzznm mzn麗辛pp+1+')A"pp)]2mn 4 nm-dznm+p3brmn=一丄工工Jd5X‘一g[gpagVPFnFmpp+2gpva(n)a)(—pQ2p4 pvapnm pv mznnm(亍)A〃 1+、麗丿和聾+1+、：3bT pp+ A‘2pp)]mnr入 J )d4mnr入 J )d4兀\：■—g2gpva(n)a(m)Jdzm2pp丿pv nnmd4X*—ggpagvPFnFmJdzpp+Jpvap nm當(dāng)額外維滿足正交歸一化條件時(shí)：(53)Jdzp(z)p(z)=5(53)mn mn可以得到：—g——gpa—g——gpa(fvPFnF

I4 ii, 丄 尸m— m2gpvpvaP2ngpva(n)a(n)? pV丿(53)這里Fn a(n)-Qa(n)為四維有效矢量場的場強(qiáng)。pvpvvp所以必須保證零模正交歸一化的情況下，才能得到正確的四維矢量場有效作用量。現(xiàn)在讓我們重寫出式(52)關(guān)于y的等效勢函數(shù)V1：)畔dGa》+(+列2AQA=e(i—b)AQA,Q2A=e2(i—b)A(Q2A+(i—b)(QA)2)z y y+片麗丿V(z)=1Vi(y)=TV(y)=e2(i-b)a1e2<1—b)A冷2A+_)y

出2A+yy 4e2(1-b)AGA)y、+?!)+2(+{3^1—b)(QA)選取我們之前膜世界的解式(23選取我們之前膜世界的解式(23)A(y)=au2(A(y)=3兀2得到：(yt0)=-2a202(*麗)1 3兀2(yTx)=0\o"CurrentDocument"1 (-)\o"CurrentDocument"(yT丄a2041 '3T1(0<b<1)36兀2V]y”七1-A+3-2b+莎曲1 2 9兀2丿其中△1和△2都是正的無窮小量且Lim—2二0。yTs1要存在零模解要求有效勢函數(shù)在額外維原點(diǎn)為負(fù)值（a,“（八 2a202（+符麗）VlyT0丿二一 <03兀2V1y即要求T必須滿足:1T>-=3b所以當(dāng)T<迅3時(shí)，V（yTS,b>1）為負(fù)無窮；當(dāng)P>迅3時(shí),叫b 1 *3b無窮。圖4.6V1-y(b=0.5)0.1圖4.8V1-y(b=1.7)(b=1)(b>1)u都是正參數(shù)）：V(yTb>1)為正1圖4.7V1-y(b=1.0)b3.0y0.00.1V圖4.9V1-y(b=3.0)0.20.3U30 20 10 0 10 20 30/、/\■J\―i__i_LVb3.30.10.00.10.20.3圖4.10V1-y(b=3.3)在這一膜世界中，與背景標(biāo)量場（dilaton場）耦合的矢量場的有效勢函數(shù)展現(xiàn)在圖中（參數(shù)a=1,u=1,t=1）。當(dāng)0<b<1時(shí)，有效勢函數(shù)V1為類火山勢，如圖4.6；當(dāng)b=1時(shí)，V為PT勢，如圖4.7；當(dāng)1<b且t<?時(shí)，V在額外維邊v3b界處衰減，如圖4.9及圖4.10；當(dāng)1<b且t>駕時(shí)，Vi在額外維邊界處發(fā)散,如圖4.8。TOC\o"1-5"\h\z耦合矢量場的零模解為m0=0時(shí)的額外維場函數(shù)d2p（z）=V（z）p（z）A二0） 1d2p(z)=z0(z)0+“3bT“（aAd2p(z)=z0(z)04 z 2p（）y（+"30。ypVz丿xe 20零模是否能局域化到膜上，就是零模是否能滿足正交歸一化條件:零模是否能局域化到膜上，Jdzp(z)pQ)=Jp2(z)e(b-i)Ady x Je-+3加3冗2°yArcTan^^dy y000因此當(dāng)t>-我時(shí)可以滿足歸一化條件。我們的厚膜解要求0<bV，這時(shí)-爲(wèi)3>-爲(wèi)，所以當(dāng)t>-￡〒時(shí)，與背景幾何的耦合矢量場可以局域化到膜世界上。當(dāng)物質(zhì)場為自由矢量場時(shí)，耦合參數(shù)T取0,這時(shí)仍舊滿足t=0>-；■；，即V3使不引入背景幾何的影響，矢量場依然能局域化到膜世界上。我們總結(jié)一下這章內(nèi)容，在0<b<1的區(qū)間內(nèi)，若t>-Jb；，矢量場的零模都可以局域化到膜上，所以不存在不穩(wěn)定的KK模式，無論是否考慮背景幾何的影響，矢量場可以在這個(gè)膜世界上實(shí)現(xiàn)局域化。當(dāng)0<b<1時(shí)，有效勢函數(shù)為類火山勢，只有零模能局域化到膜上；當(dāng)b=1時(shí)，有效勢函數(shù)為PT勢，類似有限深勢阱，有限個(gè)有質(zhì)量的KK束縛態(tài)解存在。Kalb-Ramond場現(xiàn)在我們進(jìn)一步考慮Kalb-Ramond場的局域化，由于自由的Kalb-Ramond場的零模不能局域化，所以必須考慮背景幾何的影響，引入與背景標(biāo)量場（dilaton場）的耦合以便零模能局域化?？紤]耦合的KR場作用量：S =-Jdx-ge^vH HmnlKR MNL因此，對應(yīng)的Lagrange密度為L=—：一ge^gMDgNEgLFH HKR DEFMNLKR場場強(qiáng)Hmnl由式(56)給出：(55)KR場BOP的運(yùn)動(dòng)方程為這里dLKR—ddBQOP所以運(yùn)動(dòng)方程為H=dBMNL[MNL]dL dL oKR—d K^=0dB QddBOP QOP%0KR二0dBOPd(H H)￥‘—geWgMDgNEgLF DEFMNL' ddBQOP2 dH TT=_P—ge^^ gMDgNEgLF 嚴(yán)H3! ddBMNLQOP12二一?'一ge^W gMDgNEgLF8Q§ PHV 3!o DEFMNL=—2J—geQwgMQgNOgLPH￥ MNLdQ代入五維時(shí)空度規(guī)式(.：—g匚屮gQMgONgPLH L0、 MNL30)ds2=e2A(y)(dx卩dxv+dz2)□V(56)(57)二e二e2的 ：—g二e5a,.—g二e5a|1Vg□V式（57）有兩個(gè)自由指標(biāo)，可以分為兩類情況討論：O=a,P=B（a,B取0,12,3指標(biāo)）時(shí)，TOC\o"1-5"\h\z）（― ）（一 ）—geQwHQOP，=d—geQwH叫卩3。 —geQwH4a卩丿、 □ 、O=4或P=4O=4或P=4指標(biāo)時(shí)，( )d—ge?H卩卩〈=0叮 )d—ge?H叫厶0□即：e、a(:—gH陀卩)^(■-geWHap)=0me^a(—gHmB)=0m現(xiàn)在我們選擇規(guī)范Ba=0并做KK分解：(n)(^,)aB aB (n)n由式(59)可以得到：H凹卩ap阻 a工maB()e(-、'龐)vponn

?ai)^)(丄龐uG)()(1-r阪(-阪定2丿1HaPA乙3將式(60.a),(60.b)代入方程(58.a)分離變量:乞Jew。S［卩baBU(z)e-(+*3龐》；t+41納3e-噸'u)(z)e「◎；+UC上卡EeL欣J(58.a)(58.b)(59)(60.a)(60.b)(61)這里屮(z)=\：3bA(z),可以得到:d8[卩baB]U卩 n n(z)=--baB(a2U(z)+auQ(1+、亦+1-頁)3nzn zn顧-1Ajin2-U(z)nAS)(八)d刊卩ba卩v3—n——:

baB

na2U(z)-u(z卜3龐-1a2a+(1-'3龐)2(aa》]znn 2z 2 z-utz) n所以我們有a(h財(cái))=m2baB,/3卩 nnLa+V(z)U(z)=m2U(z)zKRnnn(62)(63.a)(63.b)(a)+FUa2a4z 2z這里m2是四維Kalb-Ramond場的質(zhì)量，有效勢函數(shù)V為n(a)+FUa2a4z 2zKR同樣式(63.b)為關(guān)于額外維的類Schrodinger方程。

另外，如果我們引入正交歸一化條件，則可以成功將五維Kalb-Ramond場作用量約化成四維的有效作用量：S=—Jd5Xv—geWgMDgNEgLFH HKR DEFMNL=—Jd5Xe5A,—ge^—6AgMDgNEgLFQB% [DEF])a(B)[MNL]3乂2v2 A+ gvpgayababaPyyva6X6 4Py4va)a(B)[MNL]3乂2v2 A+ gvpgayababaPyyva6X6 4Py4va丿=—HJd5xj-g[gyagvPgayh與h)UU+-gvPgayb(n)b)GU0Unm aPy：('a…￡(—、/3b?k(uau+uau)+ —販: asuu)]2mzn nzm 4 nm=—Hjd5xj—g[gyagvPgayh(n)h(m)UU gvPgayb(n)b(m)(a(QUU)—Ua2U3 Pyvazznm mznnm ( )—UU+— A'2UU)]2mn 4 nm鄧丫yvanm卩丫vaznzmau+uau)+mzn nzmaPyyvanm—(—應(yīng)莊+a〔(—、宓肚uu、z( 2mn丿=—HJd5xJ—g[gyagvPgayh(n)h(m)UU gvPgayb(n)b(m)(—U02”aPyyva" … 3 Pyvamznnm ( )1-阪丿A，2UU)]鄧丫yvanm+(3b?—l^UU+2mn 4nm=—H(Jd4x—ggyagvPgayh(n)h「)JdzUU+Jd4xJ-g丄gvpgayb?)b「)Jdzm2UI aPyyva nm 3nm當(dāng)額外維滿足正交歸一化條件時(shí)：JdzUQ0=6mn mn鄧丫yva nmU卩丫va nnm/(65)可以得到：n._ (入 入 入 入 入 1 入 入 入 入)(66)鄧丫yva3nd4XJ'—gg陀gvBgah(n)hC”)+—m2gvBgayb(n)b(66)鄧丫yva3nKR % c c c這里h(n)=ab為四維有效矢量場的場強(qiáng)。aPy [yaP]所以必須保證零模正交歸一化的情況下，才能得到正確的四維Kalb-Ramond場有效作用量?，F(xiàn)在讓我們重寫出式(64)關(guān)于y的等效勢函數(shù)VKR:(z)=L驅(qū))(aA》+-1)aA4z(2za2A=e2(1-b)Aa2AzaA=e(1-b)AaA,a2A=e2(1-b)A(a2A+(1-b)(aA))z y z y yV(y)=g- C2A+(-bA))+j丿KR 2 y y'騷一i'2a+(-、Q2V(y)=e2<i-b)aKRe2(1-b)A(aA)2-4-b兒a)'y丿選取我們之前膜世界的解式（23）A（y）=代入:au2(2yArcTanlayD3兀2得到：(y—0)=-2a2(視-d2KR(y—g)=0KR(0<b<1)(y—g)=a2U4WKR 36兀2(y—亠壬11KR 2-A+1-2bf1、a2u49兀2丿(b=1)(b>1)其中△］和厶2都是正的無窮小量且Lim