河南省新鄉(xiāng)市輝縣市第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

河南省新鄉(xiāng)市輝縣市第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對(duì)于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，則此雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.2C. D.3．已知圓的方程為，圓的方程為，其中．那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能為（）A.外離 B.外切C.內(nèi)含 D.內(nèi)切4．一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，，由最小二乘法求得線(xiàn)性回歸方程為，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.5 B.6C.7 D.85．用這3個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”與事件“這個(gè)三位數(shù)大于342”（）A.是互斥但不對(duì)立事件 B.不是互斥事件C.是對(duì)立事件 D.是不可能事件6．在中，，，為所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.C.－1 D.-27．直線(xiàn)在y軸上的截距為（）A.-1 B.1C. D.8．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，則的最小值為（）A B.C. D.410．在下列各圖中，每個(gè)圖的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）11．若點(diǎn)P為拋物線(xiàn)y＝2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.12．已知向量，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，則線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____14．一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，并且傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的2倍，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)_________15．已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)存在三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則的取值范圍為_(kāi)__________16．如圖，按照以下規(guī)律排列的數(shù)陣中，第i行從左向右第j個(gè)數(shù)記為，如，，則______；令則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，并且與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度.18．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其外接圓半徑為，已知（1）求角；（2）若邊的長(zhǎng)是該邊上高的倍，求19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面ABCD，（1）求證：平面ACM；（2）求平面MBC與平面DBC的夾角的大小20．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)上（1）求拋物線(xiàn)的方程（2）設(shè)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程21．（12分）如圖，四邊形是一塊邊長(zhǎng)為4km正方形地域，地域內(nèi)有一條河流，其經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是以中點(diǎn)為頂點(diǎn)且開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)的一部分（河流寬度忽略不計(jì)），某公司準(zhǔn)備投資一個(gè)大型矩形游樂(lè)場(chǎng).（1）設(shè)，矩形游樂(lè)園的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系；（2）試求游樂(lè)園面積的最大值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等，當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上時(shí)，可得；當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.2、A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)和平面幾何性質(zhì)，建立關(guān)于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線(xiàn)的離心率得選項(xiàng).【詳解】由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)?，且圓：，所以點(diǎn)在以焦距為直徑的圓上，則，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則為的中位線(xiàn)，所以，則，又點(diǎn)在漸近線(xiàn)上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求雙曲線(xiàn)的離心率時(shí)，將提供的雙曲線(xiàn)的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線(xiàn)基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對(duì)于焦點(diǎn)三角形，要注意雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用，運(yùn)用整體代換的方法可以減少計(jì)算量3、C【解析】求出圓心距的取值范圍，然后利用圓心距與半徑的和差關(guān)系判斷.【詳解】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，，；則，所以?xún)蓤A不可能內(nèi)含.故選：C.4、B【解析】求出樣本的中心點(diǎn)，再利用回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本的中心點(diǎn)計(jì)算作答.【詳解】依題意，，則這個(gè)樣本的中心點(diǎn)為，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為6.故選：B5、B【解析】根據(jù)題意列舉出所有可能性，進(jìn)而根據(jù)各類(lèi)事件的定義求得答案.【詳解】由題意，將2,3,4組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的情況有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶數(shù)有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以?xún)蓚€(gè)事件不是互斥事件，也不是對(duì)立事件.故選：B.6、C【解析】以為建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，把向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示后可得最小值【詳解】如圖，以為建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，，，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題方法是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示7、A【解析】把直線(xiàn)方程由一般式化成斜截式，即可得到直線(xiàn)在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線(xiàn)在軸上的截距為.故選：A8、D【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，即，當(dāng)時(shí)，，但的符號(hào)不確定，所以充分性不成立；反之當(dāng)時(shí)，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.9、B【解析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，令，化為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】解：根據(jù)題意可得，、，所以，令，由約束條件作出可行域如下圖所示，由得，即，由，得，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)時(shí)，直線(xiàn)在軸上的截距最小，有最小值為，即，所以故選：B10、D【解析】根據(jù)圖形可得（1）具有函數(shù)關(guān)系；（2）（3）的散點(diǎn)分布在一條直線(xiàn)或曲線(xiàn)附近，具有相關(guān)關(guān)系；（4）的散點(diǎn)雜亂無(wú)章，不具有相關(guān)關(guān)系.【詳解】對(duì)（1），所有的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上，故具有函數(shù)關(guān)系；對(duì)（2），所有的散點(diǎn)分布在一條直線(xiàn)附近，具有相關(guān)關(guān)系；對(duì)（3），所有的散點(diǎn)分布在一條曲線(xiàn)附近，具有相關(guān)關(guān)系；對(duì)（4），所有的散點(diǎn)雜亂無(wú)章，不具有相關(guān)關(guān)系.故選：D.11、D【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得出當(dāng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，|PF|取最小值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)拋物線(xiàn)y＝2x2上點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線(xiàn)的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－，∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D12、B【解析】根據(jù)向量加減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得到結(jié)果【詳解】故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意，作出拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)圖，求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線(xiàn)方程，分析可得為直角梯形中位線(xiàn)，由拋物線(xiàn)的定義分析可得答案【詳解】如圖，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，分別過(guò)，作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，，則有過(guò)的中點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，則為直角梯形中位線(xiàn)，則，即，解得.所以的橫坐標(biāo)為故答案為：14、【解析】先求出直線(xiàn)傾斜角，從而可求得直線(xiàn)的傾斜角，則可求出直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可求出直線(xiàn)的方程【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的傾斜角為，所以直線(xiàn)的傾斜角為，所以直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)，所以直線(xiàn)的方程為，即，故答案為：15、【解析】設(shè)過(guò)M的切線(xiàn)切點(diǎn)為，求出切線(xiàn)方程，參變分離得，令，則原問(wèn)題等價(jià)于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖像即可求出m的范圍【詳解】，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，，令，則過(guò)點(diǎn)存在三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切等價(jià)于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個(gè)交點(diǎn)∵，故當(dāng)x<0或x>1時(shí)，，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時(shí)，，g(x)單調(diào)遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即故答案為：﹒16、①.55②.【解析】令易知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用累加法求及通項(xiàng)公式，結(jié)合求通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，最后兩次應(yīng)用錯(cuò)位相減法求即可.【詳解】由題設(shè)知：令，則是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故，所以，即，由上可得：，則，而，所以，則，所以，，所以，令，則，所以，故，綜上，，則.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)圖總結(jié)規(guī)律，易知是等差數(shù)列，應(yīng)用累加法求，再由求通項(xiàng)公式，最后應(yīng)用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】設(shè)圓的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，，，令，即可得出結(jié)論【詳解】解：設(shè)圓的方程為，則，，，，，即,令，可得，解得、，所以、，或、，，18、（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）記邊上的高為，不妨設(shè)，即可求出，再利用余弦定理求出，在中，記，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，，最后根據(jù)，利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）由已知條件，所以，所以所以，，由余弦定理可得，而，于是（2）記邊上的高為，不妨設(shè)，則，，，所以，由余弦定理得，在中，記，則，，所以19、（1）證明見(jiàn)解析（2）30°【解析】（1）連接BD，借助三角形中位線(xiàn)可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法直接可求.【小問(wèn)1詳解】連接BD，與AC交于點(diǎn)O，在中，因?yàn)镺，M分別為BD，PD的中點(diǎn)，則，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.【小問(wèn)2詳解】設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接PE，因?yàn)闉檎切?，則，又因?yàn)槠矫娴酌鍭BCD，平面平面，則平面ABCD，過(guò)點(diǎn)E作EF平行于CB，與CD交于點(diǎn)F，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，所以，，設(shè)平面CBM的法向量為，則，令，則，因?yàn)槠矫鍭BCD，則平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以，所以平面MBC與平面DBC所成角大小為30°20、（1）（2）的方程為、、【解析】（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)的方程.（2）結(jié)合圖象以及判別式求得直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，且開(kāi)口向上，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則，所以，拋物線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn).那個(gè)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，解得或.所以直線(xiàn)的方程為或.綜上所述，的方程為、、.21、（1）（2）【解析】（1）首先建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線(xiàn)的方程，利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的面積為即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，垂直于的直線(xiàn)為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)代入方程可得，解得，則拋物線(xiàn)方程為，由已知得，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，【小問(wèn)2詳解】，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)時(shí)，有最大值，22、（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；