甘肅省定西市岷縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

甘肅省定西市岷縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，已知多面體，其中是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B.C. D.2．變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.3．已知點(diǎn)A、是拋物線：上的兩點(diǎn)，且線段過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若的中點(diǎn)到軸的距離為3，則（）A.3 B.4C.6 D.84．設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.5．如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，用基底表示向量，則（）A. B.C. D.6．已知向量，，若，則（）A.1 B.C. D.27．函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.9．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.10．若：，：，則為q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件11．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.12．正方體的表面積為，則正方體外接球的表面積為（

）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____.14．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光邊界類(lèi)似雙曲線的一支.如圖，P為雙曲線的頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，該雙曲線的漸近線相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，雙曲線的焦點(diǎn)位于直線PC上，則該雙曲線的焦距為_(kāi)___cm.15．已知，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___________.16．正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為底面正方形的中心，點(diǎn)在側(cè)面正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，證明：（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）18．（12分）經(jīng)觀測(cè)，某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車(chē)流量（千輛/小時(shí)）與汽車(chē)的平均速度（千米/小時(shí)）之間有函數(shù)關(guān)系：（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度為多少時(shí)車(chē)流量最大？最大車(chē)流量為多少？（精確到）（2）為保證在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量至少為千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？19．（12分）已知函數(shù)，且a0（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：20．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上且一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為；（2）求一個(gè)焦點(diǎn)為，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.21．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求的值；（2）求的極大值22．（10分）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）的右頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用面面垂直性質(zhì)結(jié)合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可解.【詳解】取的中點(diǎn)O，連接OB，過(guò)O在平面ACDE面內(nèi)作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則，，，設(shè)平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點(diǎn)C到平面ABD的距離.故選：C2、C【解析】本題先求樣本點(diǎn)中心，再利用線性回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點(diǎn)中心：，線性回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)中心，則解得：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)中心，是簡(jiǎn)單題.3、D【解析】直接根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求結(jié)果【詳解】設(shè)，，則的中點(diǎn)到軸的距離為，則故選：D4、D【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義判斷.【詳解】因?yàn)槊}是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即，故選：D5、B【解析】直接利用空間向量基本定理求解即可【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，，，所以，故選：B6、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模長(zhǎng)公式求解模長(zhǎng).【詳解】由，則，即則，所以則故選：B7、B【解析】方程有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值【詳解】函數(shù)定義域是，有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，即有兩個(gè)不等實(shí)根設(shè)，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，極小值＝，而時(shí)，，時(shí)，，所以故選：B8、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞增，然后進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)：，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋詅(x)是奇函數(shù),所以在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以的解集?故選：A9、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求得，因此可得，進(jìn)而可得直線到直線的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因?yàn)?，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C10、D【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，：，所以，所以為q的既不充分又不必要條件.故選：D.11、D【解析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D12、B【解析】由正方體表面積求得棱長(zhǎng)，再求得正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即為外接球的直徑，從而可得球表面積【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，由得，正方體對(duì)角線長(zhǎng)，所以其外接球半徑為，球表面積為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.14、【解析】建立直角坐標(biāo)系，利用代入法、雙曲線的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)樵撾p曲線的漸近線相互垂直，所以，即，因?yàn)锳B=60cm，PC=20cm，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為：，代入，得：，因此有，所以該雙曲線的焦距為，故答案為：15、【解析】設(shè)P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z?1)2=4+4+(z?2)2，解得z=3，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,3).16、【解析】取中點(diǎn)，利用線面垂直的判定方法可證得平面，由此可確定點(diǎn)軌跡為，再計(jì)算即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接，平面，平面，，又四邊形為正方形，，又，平面，平面，又平面，；由題意得：，，，，；平面，，平面，，在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)軌跡為線段；故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉(zhuǎn)化為只需證明，用分析法證明即可.【小問(wèn)1詳解】，定義域?yàn)椋?令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】記函數(shù).則函數(shù)有兩個(gè)不等實(shí)根.因?yàn)椋?，兩式相減得，，兩式相加得，.因?yàn)?，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，.證.設(shè)，只需證明.記，則，所以在上2單增，所以，所以，即，所以.即證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；(4)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式18、（1）當(dāng)（千米/小時(shí)）時(shí)，車(chē)流量最大，最大值約為千輛/小時(shí)；（2）汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在這個(gè)范圍內(nèi)（單位：千米/小時(shí)）.【解析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其對(duì)應(yīng)的值，即可得出結(jié)論；（2）解不等式即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：，（千輛/小時(shí)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)（千米/小時(shí)）時(shí)，車(chē)流量最大，最大值約為千輛/小時(shí).【小問(wèn)2詳解】解：據(jù)題意有，即，即，解得，所以汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在這個(gè)范圍內(nèi)（單位：千米/小時(shí)）.19、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】（1）求導(dǎo)，求解可得導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數(shù)的單調(diào)性，由有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可求解；②由（1）得2lnxx?，再利用其放縮可得，由此有，問(wèn)題得證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】（i）由已知可得方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根記，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)k(x)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)k(x)是減函數(shù)，所以，故（ii）易知，當(dāng)x1時(shí)，，故．由（1）可知，當(dāng)0x1時(shí)，，所以2lnxx?由，得，所以因?yàn)?，所?0、（1）（2）（3）【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意，進(jìn)而結(jié)合求解即可得答案；（2）設(shè)雙曲線的方程為，進(jìn)而結(jié)合題意得，，再結(jié)合解方程即可得答案；、（3）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，進(jìn)而與拋物線聯(lián)立方程并消去得，再結(jié)合韋達(dá)定理得，進(jìn)而得答案.【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)轫旤c(diǎn)為，離心率為，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)闈u近線方程為，所以，因?yàn)樗?，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)3詳解】解：由題知拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^(guò)拋物線焦點(diǎn)斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，所以直線的方程為，所以聯(lián)立方程，消去得，設(shè)，所以，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，所以，解得.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.21、（1）-3（2）2【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)公式和法則求解；（2）令，利用極大值的定義求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】令，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值.22、（1）；（