湖南省長沙市稻田中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

湖南省長沙市稻田中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列通項(xiàng)公式中，對應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A B.C. D.2．如圖，四面體-，是底面△的重心，，則（）A B.C. D.3．已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．下列命題錯(cuò)誤的是（）A，B.命題“”的否定是“”C.設(shè)，則“且”是“”的必要不充分條件D.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件5．某校開展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種6．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A. B.C. D.7．已知直線l的方向向量，平面α的一個(gè)法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)8．直線的一個(gè)法向量為（）A. B.C. D.9．傾斜角為45°，在y軸上的截距為2022的直線方程是（）A. B.C. D.10．如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長為4的菱形，且，E為AD的中點(diǎn)，，則異面直線PC與BE所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.8012．已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列，，則（）A.1 B.3C.6 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，為底面中心，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若，則點(diǎn)形成的軌跡的長度為______14．如圖，在五面體中，//，，，四邊形為平行四邊形，平面，，則直線到平面距離為_________15．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，其四個(gè)面涂有不同的顏色，拋擲這個(gè)正四面體一次，觀察它與地面接觸的顏色得到樣本空間{紅，黃，藍(lán)，綠}，設(shè)事件{紅，黃}，事件{紅，藍(lán)}，事件{黃，綠}，則下列判斷：①E與F是互斥事件；②E與F是獨(dú)立事件；③F與G是對立事件；④F與G是獨(dú)立事件．其中正確判斷的序號是______（請寫出所有正確判斷的序號）16．等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的公比為____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，三個(gè)頂點(diǎn)（左、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)）構(gòu)成的三角形的面積為，離心率為方程的根.（1）求橢圓方程；（2）橢圓的一個(gè)內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別過點(diǎn)和，如圖，若這個(gè)平行四邊形面積為，求平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，圓：過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)20．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，試證明：21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，E、F分別是、的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面22．（10分）王同學(xué)入讀某大學(xué)金融專業(yè)，過完年剛好得到紅包6000元，她計(jì)劃以此作為啟動(dòng)資金進(jìn)行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費(fèi)，余款作為資金全部投入下個(gè)月，如此繼續(xù).設(shè)第n個(gè)月月底的投資市值為an.（1）求證：數(shù)列{-5000}為等比數(shù)列；（2）如果王同學(xué)想在第二年過年的時(shí)候給奶奶買一臺(tái)全身按摩椅（商場標(biāo)價(jià)為12899元），將一年后投資市值全部取出來是否足夠？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，B選項(xiàng)對應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列．對于C選項(xiàng)，，故數(shù)列是遞增數(shù)列．對于D選項(xiàng)，由于．所以數(shù)列不是遞增數(shù)列故選：C.2、B【解析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故選：B3、A【解析】求出、的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.4、C【解析】根據(jù)題意，對四個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，舉出例子當(dāng)時(shí)，，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可判斷CD選項(xiàng).【詳解】解：對于A，當(dāng)時(shí)，，，故A正確；對于B，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，得“”的否定是“”，故B正確；對于C，當(dāng)且時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，卻不一定有且，如，因此“且”是“”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有可能等于0，當(dāng)時(shí)，必有，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：C.5、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個(gè)元素在4個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有種情況故選：D.6、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記人數(shù)，進(jìn)而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C【點(diǎn)睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題7、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，所以，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選：D8、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因?yàn)榉ㄏ蛄颗c方向向量垂直，逐項(xiàng)驗(yàn)證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因?yàn)榉ㄏ蛄颗c方向向量垂直，設(shè)法向量為，所以，由于，A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤；故選：B.9、A【解析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合直線斜截式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為45°，所以該直線的斜率為，又因?yàn)樵撝本€在y軸上的截距為2022，所以該直線的方程為：，故選：A10、B【解析】根據(jù)異面直線的定義找出角即為所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【詳解】分別取BC，PB的中點(diǎn)F，G，連接DF，F(xiàn)G，DG，如圖，因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，所以，所以（其補(bǔ)角）是異面直線PC與BE所成的角因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以異面直線PC與BE所成角的余弦值為，故選：B11、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時(shí)必過N點(diǎn)，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）故選：C12、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得.【詳解】設(shè)公差，.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，，，，于是，，因?yàn)?，所以，從而，，此為點(diǎn)形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為14、【解析】利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，作，利用線面垂直的判定定理證明平面，然后計(jì)算使用等面積法，可得結(jié)果.【詳解】作如圖由//，平面，平面所以//平面所以直線到平面距離等價(jià)于點(diǎn)到平面距離又平面，平面所以，又，則平面，，所以平面平面，所以又平面，所以平面所以點(diǎn)到平面距離為由，所以又，所以在中，又故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的綜合應(yīng)用以及等面積法求高，重點(diǎn)在于使用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，考驗(yàn)理解能力，分析問題的能力，屬中檔題.15、②③【解析】由對立和互斥事件的定義判斷①③；由獨(dú)立事件的性質(zhì)判斷②④.【詳解】{紅}，則E與F不是互斥事件；且，則F與G是對立事件；，則E與F是獨(dú)立事件；，，則F與G不是獨(dú)立事件故答案為：②③16、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合已知條件，代值計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)其公比為，又，，故可得，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓定義求得橢圓的即可解決；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線l分為斜率不存在和存在兩種情況，分別去求弦，再去求其取值范圍即可.【小問1詳解】由題意得.記左焦點(diǎn)為，，則，，解得.由橢圓定義得：，則，所以橢圓C的方程為：.【小問2詳解】①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，.②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l的方程為.聯(lián)立橢圓與直線的方程（由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)，∴成立），且，，令，則，，，由得，綜上所述，弦的取值范圍為.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形18、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓離心率的性質(zhì)及一元二次方程的根可得，再由橢圓參數(shù)關(guān)系、已知三角形面積求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程并結(jié)合韋達(dá)定理求，進(jìn)而可得，再根據(jù)求參數(shù)t，可得，結(jié)合橢圓的對稱性求，即可求結(jié)果.【小問1詳解】由的根為，所以橢圓的離心率，依題意，，解得，即橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得：，所以，所以，所以橢圓的內(nèi)接平行四邊形面積.所以，解得或（舍去），所以，根據(jù)橢圓的對稱性知：，故平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積為.19、（1）；（2）見解析，定點(diǎn)【解析】（1）先判斷圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，令圓方程中的，得，即．再由求即可.（2）設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，再運(yùn)算將韋達(dá)定理代入化簡有與k無關(guān)即可.【詳解】（1）由圓方程中的時(shí)，的兩根不為相反數(shù)，故可設(shè)圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，令圓方程中的，得，即有又，解得∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，由（1）可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，則，，要使為定值，只需，解得∴在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化和構(gòu)造新函數(shù)在不等式證明中可以起到關(guān)鍵性作用.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則有二正根，由，得由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則由于，所以等價(jià)于設(shè)函數(shù)，在單調(diào)遞減，又，從而所以，故.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接，交于點(diǎn)M，連接ME，則M為中點(diǎn)．根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形的判斷和性質(zhì)可證得，再由線面平行的判定定理可得證；（2）由線面垂直的性質(zhì)和判定可得證.【詳解】證明：（1）