關(guān)于數(shù)學(xué)的教學(xué)問題

關(guān)于數(shù)學(xué)的教學(xué)問題

1數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與數(shù)學(xué)法則的理解眾所周知，教育質(zhì)量的重要性關(guān)鍵是教師能夠通過教師實(shí)現(xiàn)各種教育目標(biāo)，并通過教師實(shí)施新的教育理念?？梢哉f，好教師是優(yōu)質(zhì)教育的重要保障。然而，我們不能忽視有“好教師”的說法。蜀曼將教師教育所需的專業(yè)知識(shí)分為七類：學(xué)科知識(shí)、教育內(nèi)容知識(shí)和課程知識(shí)。在這七種知識(shí)中，教師的學(xué)科知識(shí)占有重要地位。事實(shí)上，教師的學(xué)科知識(shí)是教育研究的一個(gè)非常重要的領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)方面，以往的討論主要有兩個(gè)方向。其中之一是對(duì)教師在數(shù)學(xué)方面理解數(shù)學(xué)概念的研究。例如，教師對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，如傾斜、面積、剛度和函數(shù)等數(shù)學(xué)概念的理解，如文2.5所示。另一方面，對(duì)教師如何理解數(shù)學(xué)的規(guī)則。例如，研究教師對(duì)正直、語法和算術(shù)的理解，以及對(duì)排法和除法的理解（見文6.8）。然而，數(shù)學(xué)的概念和規(guī)則只是數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分。讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的概念和規(guī)則以及教師在數(shù)學(xué)教育中的實(shí)踐知識(shí)是學(xué)校數(shù)學(xué)教育的重要組成部分。因此，在研究教師的學(xué)科知識(shí)時(shí)，不僅要研究教師對(duì)概念和概念的理解，還要探討數(shù)學(xué)教師在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)形成的實(shí)踐知識(shí)。許多研究（如文[9.11]）指出，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，不僅需要掌握數(shù)學(xué)的概念、定義和規(guī)則的清晰知識(shí)，而且需要扎實(shí)的語言和策略知識(shí)。在過去，這項(xiàng)研究的重點(diǎn)是對(duì)數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的理解。這是一個(gè)明確的提議知識(shí)，也就是說，“知道是什么”是一種容易描述的知識(shí)，而問題解決中形成的實(shí)踐知識(shí)是“知道如何做”。這是學(xué)科知識(shí)的一個(gè)新維度。那么，什么樣的學(xué)習(xí)和解決學(xué)習(xí)中的各種問題？。2學(xué)習(xí)方法2.1不同師資合作學(xué)校我們選擇了吉林省長(zhǎng)春市3所不同水平的學(xué)校,每所學(xué)校都選擇數(shù)學(xué)教師3名,共9名進(jìn)行了訪談.用T-a-b表示不同教師,其中a代表學(xué)校,用1、2、3分別代表市較好學(xué)校、區(qū)較好學(xué)校、普通學(xué)校;b代表教師,用1、2、3分別代表第一位教師、第二位教師、第三位教師.例如,T-3-2就是表示普通學(xué)校的第3位教師.2.2研究對(duì)象的學(xué)習(xí)經(jīng)歷我們利用一道幾何題去引發(fā)研究對(duì)象的學(xué)科知識(shí).試題如下:如圖1所示,PA是⊙O的切線,A為切點(diǎn),割線PBC交⊙O于B、C兩點(diǎn),D為AB的中點(diǎn),連PD并延長(zhǎng)交AC于E,請(qǐng)用幾種不同的方法證明AE:EC=PA2:PC2.在讀過題目之后,還未開始解題之前,研究者會(huì)問:看過這個(gè)題目之后,您有哪些想法?會(huì)考慮從哪些方面入手解決這個(gè)問題?在研究對(duì)象解決了這個(gè)問題之后,研究者會(huì)問:您以前是否見過和這道題類似的問題?這道題目中有哪些您熟悉的東西?通過這些訪談,進(jìn)一步引發(fā)研究對(duì)象頭腦中已有的和解題有關(guān)的知識(shí).此外研究者還通過訪談了解了教師與問題解決教學(xué)有關(guān)的經(jīng)驗(yàn).例如,在提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力上您有哪些個(gè)人經(jīng)驗(yàn)?您是怎樣選擇習(xí)題的?等等.3數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)通過訪談和分析,我們發(fā)現(xiàn)了不同類型的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí),這其中不僅有明確的命題知識(shí),也有使用命題知識(shí)解決問題的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、策略知識(shí)和問題圖式.以圖2加以描述.3.1基于切割線定理的問題數(shù)學(xué)概念、定理等明確的命題知識(shí)是理解數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ),也是問題解決過程中的基本工具.以本研究中的問題為例,教師要理解所要解決的這個(gè)問題,首先要理解切線、割線、延長(zhǎng)線等數(shù)學(xué)概念,這是解決這個(gè)題目所必須具備的基礎(chǔ)知識(shí).除此之外,也要掌握解題所需的相關(guān)定理.在本研究中,在看到所要證明的比例式有平方項(xiàng)以后,被試教師都很自然地首先想到利用切割線定理,將PA2=PB﹒PC代進(jìn)欲證的等式AE:EC=PA2:PC2中,將其化簡(jiǎn)為AE:EC=PB:PC.這樣就簡(jiǎn)化了所要證明的等式,將其轉(zhuǎn)化成了證明4條線段成比例的問題.在解決這個(gè)問題的過程中,切割線定理是解決這個(gè)問題所必須使用的基本工具,無論解題者最終使用什么方法,都必須首先利用切割線定理將欲證的等式化簡(jiǎn),這是解決這個(gè)問題的第一個(gè)必要環(huán)節(jié).本研究中的所有教師都具備這些明確的命題知識(shí).特別的是,除了切割線定理,有教師(T-1-1)還知道另一個(gè)與這個(gè)題目有密切關(guān)系的命題知識(shí)——梅內(nèi)勞斯定理,而這是本研究中的其它教師所沒有的.在進(jìn)一步的與教師T-1-1的訪談中發(fā)現(xiàn),它與該定理有關(guān)的知識(shí)是豐富的.教師T-1-1知道與梅內(nèi)勞斯定理有聯(lián)系的變式題,從梅內(nèi)勞斯定理的角度來看,教材中的這道習(xí)題及其變式與本研究中的問題本質(zhì)上是相同的,都是梅內(nèi)勞斯定理的一種特例,從這個(gè)角度可以更深入地了解這些題目間的本質(zhì)的聯(lián)系.3.2t-1-3時(shí)期的求解策略前面提到,利用切割線定理進(jìn)行化簡(jiǎn)后,原來的問題簡(jiǎn)化為4條線段成比例的問題.在初中數(shù)學(xué)中,證明4條線段成比例是一類比較常見的題目.解題者在解決過與比例線段有關(guān)的問題之后,就會(huì)積累一些如何處理這類問題的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn),歸納總結(jié)出解決這類題目的一些常用方法,為解決新問題奠定一定的基礎(chǔ),從解題思路與解題方向上來看,不同的教師有不同的解題計(jì)劃,也就是策略知識(shí).例如,受訪教師T-1-3說:“遇到線段成比例有兩種方法:一種是相似,三角形相似能出現(xiàn)比例的情況.還有平行線,利用平行線等分線段定理能夠出現(xiàn)比例的情況.”除教師T-1-3之外,其它的教師都想到要通過證明平行或兩個(gè)三角形相似兩種方式來達(dá)到證明4條線段成比例的目的,也就是說證明平行或兩個(gè)三角形相似是這些教師證明這個(gè)問題的兩個(gè)主要的策略與努力方向.此外,教師T-1-1還有利用面積法解決4條線段成比例問題的經(jīng)驗(yàn),因此,在初步確定這道題目的解題思路時(shí),除了相似和平行,教師T-1-1還考慮到使用面積方法,反映出教師T-1-1具有更豐富的解題策略,這為問題的解決積累了更為廣闊的知識(shí)基礎(chǔ).在訪談之后的正式的問題解決過程中,也只有教師T-1-1嘗試使用面積方法.另外,在證相似或平行這種宏觀解題策略的指引下,由于通過平行不能直接得到比例線段,所以教師T-2-1、教師T-3-1、教師T-1-2、教師T-2-2和教師T-2-3都考慮通過證明兩個(gè)三角形相似來達(dá)到目的,在問題解決過程中嘗試著將所要求證的4條線段放在兩個(gè)可能相似的三角形中.總之,無論是通過面積,還是通過平行或相似,這些解題策略對(duì)解題過程都具有直接的指導(dǎo)作用,是解題者解決問題過程中思考的方向,策略知識(shí)是數(shù)學(xué)教師所具有的一種重要的學(xué)科知識(shí).3.3a型或x型基本圖形的基本圖形在嘗試用平行或兩個(gè)三角形相似來直接證明4條線段成比例失敗后,大部分教師的解題一度陷入了困境,很多被試教師們開始了長(zhǎng)時(shí)間的思考.在這個(gè)過程中,被試教師大都重新回顧題目中的已知條件,慢慢將注意力集中在了“D為AB的中點(diǎn)”這個(gè)條件上.對(duì)于這個(gè)條件有的教師產(chǎn)生了疑惑.教師T-3-2說:“不知道怎樣才能利用上D是中點(diǎn)這個(gè)條件”.而有的教師則由“D為AB的中點(diǎn)”這個(gè)條件得到啟發(fā),從中發(fā)現(xiàn)了自己熟悉的基本圖形,并通過構(gòu)造這個(gè)基本圖形而獲得了繼續(xù)前進(jìn)的新線索.有5位教師(教師T-1-1、教師T-2-1、教師T-2-2、教師T-3-2和教師T-1-3)由D是AB的中點(diǎn)想到要構(gòu)造X型的基本圖形來達(dá)到線段的等量代換(如圖3).還有2位教師(教師T-3-1和教師T-3-3)也能夠解決這個(gè)問題,在他們的解法中也有A型或X型的基本圖形,但這兩位教師并沒有關(guān)注過這種基本圖形,他們不是從要利用A型或X型的基本圖形的性質(zhì)這一角度來考慮這個(gè)問題的.以下便是教師T-2-2的思考過程.教師:欲證AE:EC=PB:PC,首先要充分利用D是AB中點(diǎn)這個(gè)條件,要得到AE:EC=PB:PC要有平行或者相似,但平行或者相似現(xiàn)在都得不到,那么想到用轉(zhuǎn)移的思想,是否AE能轉(zhuǎn)移和其它線段相等?因?yàn)榻o出D是中點(diǎn)這個(gè)條件,利用這個(gè)條件做一個(gè)過B點(diǎn)和AC平行的直線交PD于F點(diǎn).研究者:怎么想到要這樣做呢?教師:過B點(diǎn)做和AC平行的這條直線(所形成的這個(gè)圖形)非常常用.在證明中這象一個(gè)大寫的英文字母X,在相似中專門有這種類型題,叫X型.上面的思路和解法是很多教師所采用的方法,對(duì)這些教師而言這是最自然的一種方法.不過,還可以通過構(gòu)造A型的基本圖形來達(dá)到換項(xiàng)的目的.總結(jié)起來,本研究中的被試教師有如下的構(gòu)造基本圖形的方法:這些證法主要是過A點(diǎn)或B點(diǎn)作平行線構(gòu)造A型或X型的基本圖形,利用A型或X型中的中位線或全等產(chǎn)生相等線段,由等量代換來證明4條線段成比例.復(fù)雜的幾何圖形也都是由一些簡(jiǎn)單的基本圖形構(gòu)成的,因此,掌握了解一些基本圖形的性質(zhì)與特征對(duì)于解決復(fù)雜的幾何問題是有幫助的.在本研究中我們發(fā)現(xiàn),在解決幾何問題的過程中,當(dāng)教師面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形的時(shí)候,往往會(huì)從這個(gè)復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)某些自己所熟悉的基本圖形,從而將一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形變成了幾個(gè)基本圖形的組合.這些基本圖形就是一種問題圖式.教師頭腦中的這些問題圖式對(duì)他們的問題解決有很大的影響.解題者往往從這些問題圖式出發(fā),將自己所熟悉的這些基本圖形的性質(zhì)作為另一種已知,將它與題目中原來的已知條件直接結(jié)合起來使用,對(duì)于這些問題圖式的熟悉與掌握使解題者能很快了解題目中所蘊(yùn)涵的中間結(jié)論,有助于解題者尋找解題的途徑.總之,通過分析該研究中的被試教師的解題過程,我們發(fā)現(xiàn)教師具有各種不同的與解題有關(guān)的學(xué)科知識(shí).在這個(gè)過程中,教師不僅使用切割線定理、梅內(nèi)勞斯定理這樣明確的數(shù)學(xué)知識(shí),而且也使用與解決4條線段成比例問題有關(guān)的策略知識(shí),如通過證相似、平行或者面積方法可以達(dá)到證明4條線段成比例的目的.除此之外,在尋找解題思路的過程中,解題者所熟悉的A型和X型基本圖形的問題圖式也起了重要的作用.總的來講,本研究中的數(shù)學(xué)教師有著豐富的學(xué)科知識(shí).4教師首先必須具備一定的問題解決的實(shí)踐知識(shí)教師學(xué)科知識(shí)的研究由來已久,從20世紀(jì)60年代至今始終是人們所關(guān)注的一個(gè)問題,但這些研究并不全面,特別是對(duì)于數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)的研究,很少有人探討教師的問題解決的實(shí)踐知識(shí)這一重要維度.在數(shù)學(xué)教育中,讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決問題是一個(gè)非常具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的教學(xué)目的與任務(wù),正如Polya所說“數(shù)學(xué)中知道怎樣解題更重要,比只擁有知識(shí)重要得多”.而要達(dá)到這個(gè)目的,教師自身問題解決的實(shí)踐知識(shí)是至關(guān)重要的.我們的研究發(fā)現(xiàn),在某些情況下教師所擁有的命題知識(shí)沒有太大差別,但教師所擁有的問題解決實(shí)踐知識(shí)卻有很大差別.在研究的訪談中我們了解到,在實(shí)際的教學(xué)中,教師并不是讓學(xué)生盲目地大量解題搞題海戰(zhàn)術(shù),教師往往通過精心選擇布置彼此聯(lián)系的題組、彼此有區(qū)別的系列變式題目來突顯某類問題的特點(diǎn)與方法,使學(xué)生在實(shí)際的問題情境中通過問題解決的過程親身體會(huì)、總結(jié)題目的這些特點(diǎn)和方法,從而促進(jìn)自身的實(shí)踐知識(shí)的形成.這就要求教師必須具備一定的問題解決的實(shí)踐知識(shí),教師的問題解決的實(shí)踐知識(shí)的豐富與否直接影響學(xué)生所練習(xí)的數(shù)學(xué)問題的質(zhì)量,進(jìn)而影響教學(xué)的成效.另外,在教學(xué)中教師不僅要讓學(xué)生親自參與問題解決的活動(dòng),而且教師要指導(dǎo)學(xué)生的解題活動(dòng).正如訪談中的教師所指出的,教師需要在與學(xué)生共同的解題活動(dòng)中明確指出這道題目具有指導(dǎo)意義的典型特征,從而提高問題解決的實(shí)踐活動(dòng)的效率,促進(jìn)學(xué)生問題解決的實(shí)踐知