人教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)4.3.3 余角和補(bǔ)角

1.用度、分、秒表示：

1.38°

50.675°2.用度表示：50°40′30″

1°22′48″

計(jì)算：（1）7°49′+4°28′（2）9°18′－6.5°已知∠AOB=32°36′，∠BOC=24°43′，求∠AOC？解：∠AOC=∠AOB+∠BOC

=

56°79′=

57°19′=32°36′+24°43′PAOB12∠1+∠2=90°觀察下面圖形，回答問題．（1）射線OP把直角AOB分成了幾個(gè)角？（2）∠1和∠2具有什么樣的數(shù)量關(guān)系？2

如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，那么稱這兩個(gè)角互為余角；簡(jiǎn)稱兩個(gè)角互余。一、余角定義也可以說其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．∠α∠α的余角35°22°62°5′α27°55′55°68°90°－α練一練10°45°65°45°80°25°下面角中，哪些角互為余角？觀察下面圖形，回答以下問題．

（1）射線OP把平角MON，分成了幾個(gè)角？（2）∠1和∠2具有什么樣的數(shù)量關(guān)系？∠1+∠2=180°2PMON12二、補(bǔ)角定義

如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；簡(jiǎn)稱兩個(gè)角互補(bǔ)。也可以說其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．∠α∠α的補(bǔ)角10°32°15′90°105°108°23′α71°37′170°147°45′90°75°180°－α銳角的補(bǔ)角是鈍角直角的補(bǔ)角是直角鈍角補(bǔ)角是銳角圖中給出的各角中,哪些互為補(bǔ)角?°°°°°°°

（1）圖中互余的角是__________與___________．

（2）圖中互補(bǔ)的角是__________與_______；_______與______．MPONQ∠MOQ∠QOP∠MOP∠PON∠MOQ∠QON練一練一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的余角的2.5倍，求這個(gè)角．解：設(shè)這個(gè)角為x°.180-x=2.5（90-x）180-x=225-2.5x2.5x-x=225-1801.5x=45x=30答：這個(gè)角是30°例題判斷：

1．銳角的余角一定是銳角．（）

2．一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角一定互為補(bǔ)角．（）

3．一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角大90°．（）

4．一個(gè)角的補(bǔ)角一定比這個(gè)角大．（）√×√×練一練2．如果兩個(gè)角互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的3.5倍，則這個(gè)角分別是（）A．60°，210°B．20°，70°C．40°，140°D．30°，150°3．下列敘述正確的是（）A．180°是補(bǔ)角B．130°和50°互為補(bǔ)角C．130°和50°是補(bǔ)角D．40°是50°的補(bǔ)角CB4．（1）若∠α的補(bǔ)角與∠β的余角相等，求∠α，∠β的關(guān)系．解：因?yàn)?80°－∠α＝90°－∠β，所以∠α－∠β＝90°．所以∠α＝∠β＋90°．答：∠α，∠β的關(guān)系為：∠α＝∠β＋90°．∵∠AOB＝90°，

∴∠1+∠BOD＝

90°∵∠COD＝

90°,

∴∠2＋∠BOD＝90°∴∠1＋∠BOD＝∠2+∠BOD，∴∠1＝∠2．答：∠1=∠2．∠AOB=90°，∠COD=90°則∠1與∠2有什么數(shù)量關(guān)系？AOBCD12答：∠1=∠2同角的余角相等．余角的性質(zhì)1知識(shí)要點(diǎn)

如圖∠1與∠2互余，∠３與∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2與∠４相等嗎？為什么？

答：∠2=∠４∵∠1與∠2互余，∴∠2=90°－∠1，∵∠3與∠4互余，∴∠4=90°－∠3．∵∠1＝∠３，∴90°－∠1＝90°－∠3

∴∠2＝∠4．余角的性質(zhì)2等角的余角相等．知識(shí)要點(diǎn)同角或等角的余角相等．歸納

如圖∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠2互補(bǔ)，那么∠1與∠3相等嗎？為什么？∵∠1與∠2互補(bǔ)，∴∠1=180°－∠2；∵∠3與∠2互補(bǔ)，∴∠3=180°－∠2．∴∠1=∠3．

答：∠1=∠3補(bǔ)角的性質(zhì)1同角的補(bǔ)角相等．知識(shí)要點(diǎn)答：∠1與∠3相等．解:∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1=180°－∠2；∵∠3＋∠4＝180°，∴∠3=180°－∠4；∵∠2＝∠4,∴180°－∠2=180°－∠4，∴∠1=∠3．

如圖∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，如果∠2＝∠4，那么∠1與∠3有什么關(guān)系？為什么？補(bǔ)角的性質(zhì)2等角的補(bǔ)角相等．知識(shí)要點(diǎn)同角或等角的補(bǔ)角相等．歸納互余互補(bǔ)對(duì)應(yīng)圖形數(shù)量關(guān)系性質(zhì)12∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°同角或等角的補(bǔ)角相等同角或等角的余角相等21歸納例貨輪O在航行過程中,發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60o的方向上,在它北偏東40o、南偏西10o、西北(即北偏西45o)方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B,貨輪C和海島D.仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示客輪B、貨輪C和海島D方向的射線.O●東南西北●A60°40°BC10°45°D

例：下圖中，OA是表示南偏西30o方向上的一條射線，仿照這條射線，畫出表示下列方向的射線：（1）南偏東25o的射線OB；（2）北偏西50o的射線OC；（3）東北方向（即東偏北45o）的射線OD．A45°25°30°50°BCD西東南北O(jiān)1．余角、補(bǔ)角的概念：2．余角、補(bǔ)角的性質(zhì)：（1）和為90°的兩個(gè)角稱互為余角；（2）和為180°的兩個(gè)角稱互為補(bǔ)角．（1）等角的余角相等；（2）等角的補(bǔ)角相等．課堂小結(jié)射線OC與射線OA所成的角是多少度？射線OB與射線OD的所成的角是多少度？A45°25°30°50°BCD西東南北O(jiān)100°110°1．6小時(shí)，12小時(shí)．2．略．3．（1）116°10′；（2）106°25′．4．如果∠1＝∠2,∠2＝∠3,則∠1＝∠3；如果∠1>∠2,∠2>∠3,則∠1>∠3．5．∠ABC＝∠ACB＝62°．6．（1）∠AOB＋∠BOC＝∠AOC；（2）∠AOC＋∠COD＝∠AOD；（3）∠BOD－∠COD＝∠BOC；（4）∠AOD－∠BOD＝∠AOB．習(xí)題答案7．延長(zhǎng)AO或BO，先測(cè)量∠AOB的補(bǔ)角，然后計(jì)算出∠AOB的大?。?．10°與80°、30°與60°互為余角，10°與

170°、30°與150°、60°與120°、80°與

100°與為補(bǔ)角．9．如圖．北北偏東15°東南偏東60°南西南方向西北偏西30°10．（1）∠BOD＝70°；（2）∠AOB＝40°．11．齒輪有15個(gè)齒，相鄰兩齒中心線的夾角是

24°，如果是22個(gè)齒輪，這個(gè)夾角約為

16°22′．12．如圖．60°30°ABC船的位置13．（1）45°；（2）90°．14．另外一個(gè)角等于135°,四邊形的內(nèi)角和等于360°．15．（1）這些和都等于360°；（2）這些和等于360°，猜想：多邊形外角和等于360°．有理數(shù)的混合運(yùn)算舊識(shí)回顧1、計(jì)算：（1）（2）（3）2、計(jì)算：（1）（2）小學(xué)時(shí)加減乘除混合運(yùn)算順序是？先乘除后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面的。同級(jí)的運(yùn)算要從左至右。1、計(jì)算：（1）（2）2、計(jì)算下列各式：（1）（2）（3）（4）3、找茬：你認(rèn)為下面的解法正確嗎？若不正確，你能發(fā)現(xiàn)下面解法問題出在哪里嗎？正確的解法為：加減乘除混合運(yùn)算法則

1.先算乘除；2.再算加減；3.有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)（先小括號(hào)，再中括號(hào)，最后是大括號(hào)）4.同級(jí)運(yùn)算，按照從左到右.注：對(duì)于混合運(yùn)算中有除法時(shí)，可以運(yùn)用除法法則2先將除法變?yōu)槌朔?；可以適當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律使計(jì)算簡(jiǎn)便。4、計(jì)算：練習(xí)思維拓展計(jì)算下列各式：有理數(shù)的混合運(yùn)算2在算式中，含有加、減、乘除及其乘方等多種運(yùn)算，這樣的運(yùn)算叫做有理數(shù)的混合運(yùn)算.怎樣進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算呢？按什么運(yùn)算順序進(jìn)行呢？通常把六種基本的代數(shù)運(yùn)算分成三級(jí)．加與減是第一級(jí)運(yùn)算，乘與除是第二級(jí)運(yùn)算，乘方與開方是第三級(jí)運(yùn)算．運(yùn)算順序的規(guī)定詳細(xì)地講是：先算高級(jí)運(yùn)算，再算低級(jí)的運(yùn)算；同級(jí)運(yùn)算在一起，按從左到右的順序運(yùn)算；如果有括號(hào)，先算小括號(hào)內(nèi)的，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)．

簡(jiǎn)單地說，有理數(shù)混合運(yùn)算應(yīng)按下面的運(yùn)算順序進(jìn)行：

先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行；

如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的．例1（1）2÷﹙?－2﹚與2÷?－2有什么不同？

（2）﹙－2﹚÷﹙2×3﹚與﹙－2﹚÷2×3有什么不同？例1：計(jì)算下列各題：（1）分析：算式里含有乘方和乘除運(yùn)算，所以應(yīng)先算乘方，再算乘除。解：原式

點(diǎn)評(píng)：在乘除運(yùn)算中，一般把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，以便約分。（2）分析：此題是含有乘方、乘、除、加減法的混合運(yùn)算，可將算式分成兩段?！?”號(hào)前邊的部分為第一段，“-”號(hào)后邊的部分為第二段，運(yùn)算時(shí)，第一步，應(yīng)將第一段的除法變?yōu)槌朔ê陀?jì)算第二段中的乘方；第二步，計(jì)算乘法；第三步，計(jì)算加減法，得出最后結(jié)果。解：原式===（3）

分析：此題應(yīng)先算乘方，再算加減。解：(

23)

22

(

3)3

32

8

4

27

9

24.注意：（4）分析：先算括號(hào)里面的再算括號(hào)外面的。解：原式=

=（5）思路1：先算括號(hào)里面的加減法，再算括號(hào)外面的除法。解法1：原式

7思路2：先將除法化為乘法，再用乘法分配律。解法2：原式=

=

=

=

7點(diǎn)評(píng)：解法2比解法1簡(jiǎn)單，是因?yàn)樵诮夥?中根據(jù)題目特點(diǎn),使用了乘法分配律。在有理數(shù)的混合運(yùn)算中，恰當(dāng)、合理地使用運(yùn)算律,可以使運(yùn)算簡(jiǎn)捷,從而減少錯(cuò)誤，提高運(yùn)算的正確率。

例2

計(jì)算下列各題：（1）

分析：中括號(hào)中各加數(shù)化成帶分?jǐn)?shù)后，其分子都是4的倍數(shù)，所以本題先把除法化乘法后，用乘法分配律簡(jiǎn)單。

（2） 先算乘方和把除法變乘法： 原式= 觀察式子特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，小括號(hào)內(nèi)各分?jǐn)?shù)的分子都是10的因數(shù)，從而想到將小括號(hào)和因數(shù)用結(jié)合律和分配律：

原式====（3）解：原式======點(diǎn)評(píng)：本題中逆用乘法分配律提取，使運(yùn)算簡(jiǎn)便。（4）[53-4×(-5)2-(-1)10]÷(-24-24+24)

分析：在本題中53可以看做5×52，(-5)2=52,對(duì)于 53-4×(-5)2可變形5×52-4×52，然后運(yùn)用乘法 分配律．-24與24是互為相反數(shù)，所以-24+24=0.

解：[53-4×(-5)2-(-1)10]÷(-24-24+24)

=[5×52-4×52-1]÷(-24+24-24)

=[52(5-4)-1]÷(-24)

=(25×1-1)÷(-24)

=24÷(-24)

=

-1.

注意：①53=5×52;②5×52-4×52

=52(5-4)(運(yùn)用乘法分配律)

=25×1

=25.以上主要學(xué)習(xí)了有理數(shù)加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算．進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算法則、運(yùn)算律及運(yùn)算順序，比較復(fù)雜的混合運(yùn)算，一般可先根據(jù)題中的加減運(yùn)算，把算式分成幾段．計(jì)算時(shí)，先從每段的乘方開始，按順序運(yùn)算，有括號(hào)先算括號(hào)里的．同時(shí)，要注意靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。

有理數(shù)的混合運(yùn)算舊識(shí)回顧1、計(jì)算：（1）（2）（3）2、計(jì)算：（1）（2）小學(xué)時(shí)加減乘除混合運(yùn)算順序是？先乘除后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面的。同級(jí)的運(yùn)算要從左至右。1、計(jì)算：（1）（2）2、計(jì)算下列各式：（1）（2）（3）（4）3、找茬：你認(rèn)為下面的解法正確嗎？若不正確，你能發(fā)現(xiàn)下面解法問題出在哪里嗎？正確的解法為：加減乘除混合運(yùn)算法則

1.先算乘除；2.再算加減；3.有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)（先小括號(hào)，再中括號(hào)，最后是大括號(hào)）4.同級(jí)運(yùn)算，按照從左到右.注：對(duì)于混合運(yùn)算中有除法時(shí)，可以運(yùn)用除法法則2先將除法變?yōu)槌朔?；可以適當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律使計(jì)算簡(jiǎn)便。4、計(jì)算：練習(xí)思維拓展計(jì)算下列各式：有理數(shù)的混合運(yùn)算2在算式中，含有加、減、乘除及其乘方等多種運(yùn)算，這樣的運(yùn)算叫做有理數(shù)的混合運(yùn)算.怎樣進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算呢？按什么運(yùn)算順序進(jìn)行呢？通常把六種基本的代數(shù)運(yùn)算分成三級(jí)．加與減是第一級(jí)運(yùn)算，乘與除是第二級(jí)運(yùn)算，乘方與開方是第三級(jí)運(yùn)算．運(yùn)算順序的規(guī)定詳細(xì)地講是：先算高級(jí)運(yùn)算，再算低級(jí)的運(yùn)算；同級(jí)運(yùn)算在一起，按從左到右的順序運(yùn)算；如果有括號(hào)，先算小括號(hào)內(nèi)的，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)．

簡(jiǎn)單地說，有理數(shù)混合運(yùn)算應(yīng)按下面的運(yùn)算順序進(jìn)行：

先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行；

如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的．例1（1）2÷﹙?－2﹚與2÷?－2有什么不同？

（2）﹙－2﹚÷﹙2×3﹚與﹙－2﹚÷2×3有什么不同？例1：計(jì)算下列各題：（1）分析：算式里含有乘方和乘除運(yùn)算，所以應(yīng)先算乘方，再算乘除。解：原式

點(diǎn)評(píng)：在乘除運(yùn)算中，一般把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，以便約分。（2）分析：此題是含有乘方、乘、除、加減法的混合運(yùn)算，可將算式分成兩段?！?”號(hào)前邊的部分為第一段，“-”號(hào)后邊的部分為第二段，運(yùn)算時(shí)，第一步，應(yīng)將第一段的除法變?yōu)槌朔ê陀?jì)算第二段中的乘方；第二步，計(jì)算乘法；第三步，計(jì)算加減法，得出最后結(jié)果。解：原式===（3）

分析：此題應(yīng)先算乘方，再算加減。解：(

23)

22

(

3)3

32

8

4

27

9

24.注意：（4）分析：先算括號(hào)里面的再算括號(hào)外面的。解：原式=

=（5）思路1：先算括號(hào)里面的加減法，再算括號(hào)外面的除法。解法1：原式

7思路2：先將除法化為乘法，再用乘法分配律。解法2：原式=

=

=

=

7點(diǎn)評(píng)：解法2比解法1簡(jiǎn)單，是因?yàn)樵诮夥?中根據(jù)題目特點(diǎn),使用了乘法分配律。在有理數(shù)的混合運(yùn)算中，恰當(dāng)、合理地使用運(yùn)算律,可以使運(yùn)算簡(jiǎn)捷,從而減少錯(cuò)誤，提高運(yùn)算的正確率。

例2

計(jì)算下列各題：（1）

分析：中括號(hào)中各加數(shù)化成帶分?jǐn)?shù)后，其分子都是4的倍數(shù)，