江蘇省濱?？h2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

江蘇省濱海縣2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若拋物線x2=8y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為9，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）A. B.C.6 D.72．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.3．已知等比數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.4．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A.“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B.“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C.“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D.“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”5．在棱長為1的正方體中，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.不存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為90°B.存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為45°C.存在點(diǎn)使得二面角的平面角為45°D.當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為6．現(xiàn)要完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①從某社區(qū)70戶高收入家庭、335戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會(huì)購買能力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況．這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A①簡單隨機(jī)抽樣，②分層抽樣 B.①分層抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣C.①②都用簡單隨機(jī)抽樣 D.①②都用分層抽樣7．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為的面積，則（）A. B.C. D.8．已知集合，,則（）A. B.C. D.9．已知點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.10．已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B.3C.5 D.811．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.312．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，則=（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，且l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)，．若，則弦AB的長是____14．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則______15．某個(gè)年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為____________.16．已知曲線，則以下結(jié)論正確的是______.①曲線C關(guān)于點(diǎn)對稱；②曲線C關(guān)于y軸對稱；③曲線C被x軸所截得的弦長為2；④曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離都不超過2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時(shí)，證明l與C總相交；（2）m取何值時(shí)，l被C截得的弦長最短？求此弦長18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，且，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).19．（12分）隨著生活條件的改善，人們健身意識(shí)的增強(qiáng)，健身器械比較暢銷，某商家為了解某種健身器械如何定價(jià)可以獲得最大利潤，現(xiàn)對這種健身器械進(jìn)行試銷售.統(tǒng)計(jì)后得到其單價(jià)x（單位：百元）與銷量y（單位：個(gè)）的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：單價(jià)x（百元/個(gè)）3035404550日銷售量y（個(gè)）1401301109080（1）已知銷量y與單價(jià)x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若每個(gè)健身器械的成本為25百元，試銷售結(jié)束后，請利用（1）中所求的線性回歸方程確定單價(jià)為多少百元時(shí)，銷售利潤最大？（結(jié)果保留到整數(shù)），附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.參考數(shù)據(jù)：.20．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6.（1）求拋物線的方程；（2）若不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)并求出定點(diǎn)坐標(biāo).21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿足對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱這樣的數(shù)列具有性質(zhì)（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；（3）對于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè)，還是可以無窮多個(gè)？(直接寫出結(jié)論)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)出P的縱坐標(biāo)，利用拋物線的定義列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：拋物線準(zhǔn)線方程為，P點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則，解得：.故選：D2、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷、的真假，應(yīng)用換元法令，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項(xiàng)復(fù)合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.3、D【解析】由已知條件求出公比的平方，然后利用即可求解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，，所以，所以，故選：D.4、C【解析】結(jié)合互斥事件與對立事件的概念,對選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對于選項(xiàng)A,“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對立事件,不符合題意;對于選項(xiàng)B,“至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的,而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對于選項(xiàng)C,“恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對立的兩個(gè)事件,符合題意;對于選項(xiàng)D,“至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對立事件的定義的運(yùn)用,考查了學(xué)生對知識(shí)的理解和掌握,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】由正方體的性質(zhì)可將異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，而當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得，可判斷A；與或重合時(shí)，直線與所成的角最小可判斷B；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，通過計(jì)算可判斷C；過作，交于，交于點(diǎn)，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為90°，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)與或重合時(shí)，直線與所成角最小，為60°，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯(cuò)誤；對于D，過作，交于，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以、分別是、的中點(diǎn)，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因?yàn)椋?，所以四邊形是等腰梯形，作交于點(diǎn)，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.6、B【解析】通過簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣的定義辨析得到選項(xiàng)【詳解】在①中，由于購買能力與收入有關(guān)，應(yīng)該采用分層抽樣；在②中，由于個(gè)體沒有明顯差別，而且數(shù)目較少，應(yīng)該采用簡單隨機(jī)抽樣故選：B7、A【解析】利用三角形面積公式、二倍角正弦公式有，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)及余弦定理化簡求即可.【詳解】由，∴，在中，，∴，解得.故選：A.8、A【解析】由已知得，因?yàn)?，所以，故選A9、C【解析】設(shè)點(diǎn)在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點(diǎn)，故方程為.代入雙曲線方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故的面積為,選C.10、D【解析】使用遞推公式逐個(gè)求解，直到求出即可.【詳解】因?yàn)樗?，，?故選：D11、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：C12、D【解析】數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，然后可算出答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列所以故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】由題意得，再結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳解】由題意得，由拋物線的定義知：，故答案為：4.14、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故答案為：.15、160【解析】∵某個(gè)年級共有980人，要從中抽取280人，∴抽取比例為，∴此樣本中男生人數(shù)為，故答案為160.考點(diǎn)：本題考查了分層抽樣的應(yīng)用點(diǎn)評：掌握分層抽樣的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題16、②④【解析】將x換成,將y換成,若方程不變則關(guān)于原點(diǎn)對稱；將x換成，曲線的方程不變則關(guān)于y軸對稱；令通過解方程即可求得被x軸所截得的弦長；利用基本不等式即可判斷出曲線C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否不超過2，根據(jù)曲線C關(guān)于y軸對稱，即可判斷出曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否都不超過2.【詳解】對于①，將x換成,將y換成,方程改變，則曲線C關(guān)于點(diǎn)不對稱，故①錯(cuò)誤；對于②，將x換成，曲線的方程不變，則曲線C關(guān)于y軸對稱，故②正確；對于③，令得，，解得，即曲線C與x軸的交點(diǎn)為和，則曲線C被x軸所截得的弦長為，故③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，則，即曲線C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2，此曲線關(guān)于y軸對稱，即曲線C上y軸左側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離也不超過2，故④正確；故答案為：②④.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解析】（1）求出直線l的定點(diǎn)，進(jìn)而判斷定點(diǎn)和圓C的位置關(guān)系，最后得到答案；（2）當(dāng)圓心C到直線l的距離最大時(shí)，弦長最短，進(jìn)而求出m，然后根據(jù)勾股定理求出弦長.【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點(diǎn)P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當(dāng)圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時(shí)，弦AB的長度最短，此時(shí)PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當(dāng)時(shí)，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.18、（1）.（2）答案見解析.【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得，，由此可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求得導(dǎo)函數(shù)，分和討論，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，故，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】解：依題意，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，設(shè)，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)，即時(shí)，有唯一零點(diǎn)在區(qū)間上，當(dāng)，即時(shí)，在上無零點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn).19、（1）；（2）確定單價(jià)為50百元時(shí)，銷售利潤最大.【解析】（1）根據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)求出，進(jìn)而求出線性回歸方程；（2）設(shè)出定價(jià)，結(jié)合（1）求出利潤，進(jìn)而通過二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【小問1詳解】由題意，，則，，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得，，所以線性回歸方程為.【小問2詳解】設(shè)定價(jià)為x百元，利潤為，則，由題意，則（百元）時(shí)，最大.故確定單價(jià)為50百元時(shí)，銷售利潤最大.20、（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0).【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可求出結(jié)果；（2）由題意直線方程可設(shè)為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)韋達(dá)定理，化簡求解，即可求出定點(diǎn).【小問1詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)，設(shè)拋物線的方程為，到焦點(diǎn)的距離為6，即有點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，即解得，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】證明:由題意知直線不能與軸平行，故直線方程可設(shè)為,與拋物線聯(lián)立得，消去得,設(shè)，則,則，,由，可得，所以，即，亦即，又，解得，所以直線方程為，易得直線過定點(diǎn).21、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)所給條件先求出首項(xiàng)，然后仿寫，作差即可得到的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)（1）求出的通項(xiàng)公式，觀察是由一個(gè)等差數(shù)列加上一個(gè)等比數(shù)列得到，要求其前項(xiàng)和，采用分組求和法結(jié)合公式法可求出前項(xiàng)和【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，化簡得，∴是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，因此的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）得，∴，∴，∴22、（1）數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析；（2），；（3）有限個(gè).【解析】（1）由題意，由性質(zhì)定義，即可知是否具有性質(zhì).（2）由題設(shè)，存在，結(jié)合已知得且，則，由性質(zhì)的定義只需保證為整數(shù)即可確定公差的所有可能值；（3